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| Aufgabe | Die Funktionsvorschrift [mm] f(x)=\bruch{1}{(x-a)(x-b)} [/mm] gegeben.
Bestimmen Sie a und b so, dass die Funktion f eine Polstelle bei x=2 hat und das sie spiegelsymmetrisch zur vertikalen Achse bei x=4 ist. |
Hallo.
Die oben genannte Aufgabe soll ich lösen:
Zunächst habe ich wiederholt, wann eine Funktion spiegel- bzw. punktsymmetrisch ist und folgendes herausgefunden:
f(-x)=f(x) -> spiegelsymmetrisch
So wie ich die Aufgabe verstanden habe, soll sie die Funktion nur bei x=4 spiegelsymmetrisch zur y-Achse sein und nicht auch zu jedem darauffolgenden Punkt.
Das heißt doch, dass f(4)=f(-4) gelten muss.
Somit:
[mm] \bruch{1}{(4-a)(4-b)}=\bruch{1}{(-4-a)(-4-b)}
[/mm]
Ferner soll x=2 eine Polstelle sein.
Bei direkter Betrachtung der Funktion fällt ja bereits auf, dass wenn eine Klammer im Nenner 0 wird, der Nenner 0 also undefiniert wird.
Demnach muss gelten, dass a oder b 2 ist, sodass x-a oder x-b zu 2-(2) oder 2-(2) wird.
Sehe ich das vom Ansatz richtig so?
Viele Grüße und danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein! speigelsym zu der Geraden x=4 ist sie, wenn du die fkt an x=4 spiegeln kannst und sie dieselbe bleibt. Deine Symmetrie ist zur Geraden x=0
ein Beispiel [mm] f(x)=(x-4)^2 [/mm] ist sym zu x=4 ebenso [mm] f(x)=(x-4)^4+5
[/mm]
wenn du x=4+a einsetz, kommt dasselbe raus, wie wenn du x=4-a einsetzt.
Gruss leduart
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Hallo.
Ja das klingt logisch.
Also f(4)=f(-4) bedeutet ja dann, dass der Wert der Funktion bei x=4 und x=-4 gleich ist. Daraus erst folgt dann doch, dass die Funktion spiegelsymmetrisch zur y-Achse (x=0) bei 4 ist.
Da die Funktion zu x=4 spiegelsymmetrisch sein soll, kann ich dann sagen, dass f(x+4)=(f-x+4) gelten muss?
Theoretisch ist das ja eine Verschiebung des Wertebereiches um 4. Und wenn der um 4 verschobene Wertebereich, dem um 4 verschobenen negativen Wertebereich gleicht, findet eine Spiegelung an der x=4 statt, oder?
Solche Fragen mögen für manche simpel klingen, aber da ich aus der Schule nicht so viel mitgenommen habe, bitte ich dies zu entschuldigen.
Danke :)
und
Grüße!
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Hallo Masseltof,
> Ja das klingt logisch.
> Also f(4)=f(-4) bedeutet ja dann, dass der Wert der
> Funktion bei x=4 und x=-4 gleich ist. Daraus erst folgt
> dann doch, dass die Funktion spiegelsymmetrisch zur y-Achse
> (x=0) bei 4 ist.
Das ist nach wie vor nicht die gesuchte Eigenschaft!
> Da die Funktion zu x=4 spiegelsymmetrisch sein soll, kann
> ich dann sagen, dass f(x+4)=(f-x+4) gelten muss?
> Theoretisch ist das ja eine Verschiebung des
> Wertebereiches um 4. Und wenn der um 4 verschobene
> Wertebereich, dem um 4 verschobenen negativen Wertebereich
> gleicht, findet eine Spiegelung an der x=4 statt, oder?
Nein, das stimmt nicht. Eine Spiegelung an einer vertikalen Achse bedeutet in der Funktionsdarstellung, dass auf der einen Seite x stehen wird, auf der anderen -x. Nun muss aber noch die vertikale Achse ins Spiel kommen. Dabei soll x=4 auf sich selbst abgebildet werden.
Es gilt also f(x)=f(8-x)
Und da Deine Funktion einen Pol bei x=2 haben soll, muss sie (an der Achse x=4 gespiegelt) ja noch einen haben, nämlich bei ... ? Und damit weißt Du dann auch a und b.
> Solche Fragen mögen für manche simpel klingen, aber da
> ich aus der Schule nicht so viel mitgenommen habe, bitte
> ich dies zu entschuldigen.
Schon gut. Dazu ist dieses Forum doch da.
> Danke :)
> und
> Grüße!
Grüße zurück,
reverend
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Hallo und danke für die Antwort.
Leider verstehe ich das irgendwie gerade nicht so ganz.
Nehme ich als Beispiel eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei 4 hat.
Sie ist spiegelsymmetrisch bei x=4.
Ordne ich ihr bei x=5 f(x)=1 zu , so hat sie bei x=4 auch f(x)=1.
Du schreibst:
Eine Spiegelung an einer vertikalen Achse bedeutet in der Funktionsdarstellung, dass auf der einen Seite x stehen wird, auf der anderen -x
Auf der einen Seite steht bei mir nun 5 und auf der anderen 3.
Sowohl 5, als auch 3 sind um 1 (jeweils nach links bzw. rechts) von x=4 verschoben, dennoch verstehe ich nicht, warum die achsensymmetrie durch f(x)=f(8-x) beschrieben wird.
Müsste es nicht zumindestens f(8+x)=f(8-x) heißen?
Dennoch würde sich mir die Frage stellen, warum es sich um eine Verschiebung um 8 handelt.
Vielleicht fehlt mir einfach die Vorstellung dafür, weil ich gäznlich zu dumm für Mathe bin? So langsam fang ich an an mir selbst zu zweifeln.
So was einfaches und ich verstehe es nicht.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
siehe meine Bemerkung zu reverends post
Du hattest mit f(4+x)=f(4-x) recht.
allerdings auch reverend mit seiner Formel
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:14 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo reverend
Der Frager hatte mit
f(4+x)=f(4-x) recht. so kann man die Symmetrie leichter sehen, als bei deiner - auch richtigen - Form f(x)=f(8-x)
zur Klärung für Nachleser: stzt man in
f(4+x)=f(4-x) 4+x=x* alo x=x*-4 dann ist 4-x=8-x*
und man kann statt f(4+x)=f(4-x) schreiben f(x*)=f(8-x*)
am Ende wieder den unnötigen * weglassen
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 23:14 Di 23.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
Deine Darstellung ist verständlicher und übersichtlicher als meine. Vielen Dank dafür!
> Der Frager hatte mit
> f(4+x)=f(4-x) recht.
Das stand da aber nicht, sondern:
> Da die Funktion zu x=4 spiegelsymmetrisch sein soll, kann ich dann
> sagen, dass f(x+4)=(f-x+4) gelten muss?
Daher meine Reaktion.
Aber Hauptsache, jetzt ist alles klar.
Herzliche Grüße! Ich würde mich freuen, wenn wir uns beim Teamtreffen sähen, weiß aber selbst noch nicht, ob ich da eigentlich kann.
reverend
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Hallo.
So, da dass jetzt mit der Achsensymmetrie erklärt ist (und ich es auch verstanden habe, dank euch :) ), muss ich noch die Aufgabe fertig machen.
An x=2 soll die Funktion eine Polstelle haben.
x=2 ist von x=4 um 2 von links verschoben.
Da die Funktion spiegelsymmetrisch zu x=4 ist, sollte sie demnach auch eine Polestelle bei x=6 haben (verschiebung um 2 nach rechts).
f(4-x)=f(4+x)
[mm] \bruch{1}{(4-2-a)*(4-2-b)}=\bruch{1}{(4+2-a)(4+2-b)}
[/mm]
D.h ich kann a=2 bestimmen und b= 6 bestimmen.
Dadurch wird der Nenner bei x=2 und x=6 0.
Ist das so richtig?
Grüße
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Hallo nochmal,
Du musst a und b so finden, dass die Bedingungen erfüllt sind und Du eine Funktion nur in x hast.
Wie sie aussieht, hast Du ja schon in der Aufgabenstellung stehen.
So wie jetzt jedenfalls nicht. 
Grüße
reverend
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich habe mich falsch ausgedrückt.
Das was dort stand, war einfach meine Herleitung.
Als Funktion habe ich folgendes raus:
[mm] \bruch{1}{(x-2)(x-6)}=f(x)
[/mm]
Bei 2 und bei 6 sind Polstellen und spiegelsymmetrisch ist die Funktion bei x=4.
Grüße.
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Ja, so stimmts.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Sorry, wenn ich Dich missverstanden habe. Jetzt ist ja alles gut.
lg
reverend
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