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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{dx}{\wurzel{x^{2}+x+1}}} [/mm] |
Das erste, dass man machen kann ist auf ein vollständiges Quadrat erweitern:
[mm] \integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x+\bruch{1}{2})^{2}+\bruch{3}{4}}}}
[/mm]
Nun führe ich eine Substitution durch, mit [mm] u=x+\bruch{1}{2} [/mm] du=dx,
also habe ich dann folgendes Integral stehen:
[mm] \integral{\bruch{du}{\wurzel{u^{2}+\bruch{3}{4}}}}
[/mm]
Das schaut ein wenig nach dem arkussinus aus, [mm] \integral{\bruch{dx}{1+x^{2}}}, [/mm] aber ich habe keine Idee mit was ich u nun substituieren könnte damit ich einfach zum Ergebnis gelange.
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> [mm]\integral{\bruch{dx}{\wurzel{x^{2}+x+1}}}[/mm]
> Das erste, dass man machen kann ist auf ein vollständiges
> Quadrat erweitern:
>
> [mm]\integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x+\bruch{1}{2})^{2}+\bruch{3}{4}}}}[/mm]
>
> Nun führe ich eine Substitution durch, mit
> [mm]u=x+\bruch{1}{2}[/mm] und du=dx
Richtig. Das führt hier weiter.
> also habe ich dann folgendes Integral stehen:
>
> [mm]\integral{\bruch{du}{\wurzel{u^{2}+\bruch{3}{4}}}}[/mm]
>
> Das schaut ein wenig nach dem arkussinus aus,
> [mm]\integral{\bruch{dx}{1+x^{2}}},[/mm]
dieses Integral würde auf arctan führen, nicht auf arcsin !
Zudem steht bei diesem Integral keine Wurzel im Nenner.
Es eignet sich deshalb hier nicht.
Das Integral, das zu arcsin führt, wäre [mm] \integral{\bruch{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}
[/mm]
Hier passt leider das Vorzeichen bei [mm] x^2 [/mm] nicht, also
kommt man auch hier nicht wirklich weiter. Falls es
aber eine Formel für das Integral
[mm] \integral{\bruch{dz}{\sqrt{1+z^{2}}}}
[/mm]
gäbe, könnte man mit einer geeigneten Substitution
dahin kommen. Such also mal in einer Tabelle von
Integralen danach !
Ach ja, übrigens:
die Funktion f: [mm] x\mapsto \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+x+1}} [/mm] ist keine rationale Funktion !
LG Al-Chw.
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Ja, zufälligerweise bin ich gerade auf den Areasinus Hyperbolicus gestoßen, bei diesem lautet die Ableitung:
[mm] arsinh(x)'=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
Wie kann ich das am besten in das Integral oben einsetzen?
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> Ja, zufälligerweise bin ich gerade auf den Areasinus
> Hyperbolicus gestoßen, bei diesem lautet die Ableitung:
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> [mm]arsinh(z)'=\bruch{1}{\wurzel{z^{2}+1}}[/mm]
(ich habe das x durch z ersetzt)
> Wie kann ich das am besten in das Integral oben einsetzen?
Hallo zézé ,
du warst schon bei $ [mm] \integral{\bruch{du}{\wurzel{u^{2}+\bruch{3}{4}}}} [/mm] $
Nimm hier den Faktor [mm] \frac{3}{4} [/mm] aus der Wurzel heraus:
$ [mm] \integral{\bruch{du}{\wurzel{\bruch{3}{4}}*\wurzel{.....\ *u^{2}+1}}} [/mm] $
Dann siehst du, wie du von u zu z transformieren musst.
LG Al-Chw.
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Ich stehe gerade irgendwie auf der Leitung. Ich kann aus deiner Antwort nicht folgern, was ih für u einsetzen muss.
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> Ich stehe gerade irgendwie auf der Leitung. Ich kann aus
> deiner Antwort nicht folgern, was ih für u einsetzen muss.
$ arsinh(z)'\ =\ [mm] \bruch{1}{\wurzel{z^{2}+1}} [/mm] $
du warst schon bei $ [mm] \integral{\bruch{du}{\wurzel{u^{2}+\bruch{3}{4}}}} [/mm] $
Nimm hier den Faktor $ [mm] \frac{3}{4} [/mm] $ aus der Wurzel heraus:
$ [mm] \integral{\bruch{du}{\wurzel{\bruch{3}{4}}\cdot{}\wurzel{.....\ \cdot{}u^{2}+1}}} [/mm] $
$ [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}}*\integral{\bruch{du}{\wurzel{\underbrace{\bruch{4}{3}\ \cdot{}u^{2}}_{z^2}+1}}} [/mm] $
Alles klar ?
LG Al-Chw.
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Vielen Dank, nun ist mir alles klar.
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