Rationale Normalform / Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:44 Do 05.07.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei $ K $ ein Körper und es sei [mm] K^5 [/mm] mit der Standardbasis B versehen. Es sei [mm] F\in End_K(K^5) [/mm] gegeben durch
[mm] M^B_B(B)=\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie [mm] \chi_F(X).
[/mm]
b) Bestimmen Sie für die beiden Fälle [mm] K=\IR [/mm] und [mm] K=\IC [/mm] jeweils eine Basis des [mm] K^5 [/mm] bezüglich der die entsprechende Matrix zu F Rationale Normalform hat und geben Sie diese Normalform an. |
Hallo! Habe Schwierigkeiten mit dem Teil b) und bräuchte ein wenig Hilfe. :)
In a) ist wohl das char. Polynom der Darstellungsmatrix gesucht. Habe dreimal den Laplaceschen Entwicklungssatz benutzt und komme auf:
[mm] \chi_F(X)=-x^5-3x^4-5x^3-7x^2-6x-2=(x-1)^3(x^2+2)=(x-1)^3(x+\wurzel{2}i)(x-\wurzel{2}i))
[/mm]
Habe das überprüft, sollte richtig sein. Durch Polynomdivision erhalte ich die Faktorisierung rechts.
=> b) Ich weiss, dass die Rationale Normalform aus den "Blöcken" besteht, die gerade die Begleitmatrizen der Faktoren des char. Polynoms sind: [mm] (x-1)^3=x^3+3x^2+3x+1
[/mm]
$ => [mm] B_{(x-1)^3}=\pmat{0&0&-1\\1&0&-3 \\ 0&1&-3}, [/mm] \ \ \ \ [mm] B_{x^2+2}=\pmat{ 0&-2\\ 1&0} [/mm] $
Ist meine gesuchte Rationale Normalform dann [mm] A:=\pmat{0&0&-1&0&0\\1&0&-3&0&0 \\ 0&1&-3&0&0 \\ 0&0&0&0&-2 \\ 0&0&0&1&0} [/mm] ?
Jetzt habe ich schon einiges gelesen aber komme einfach nicht weiter.. wie berechne ich jetzt die gesuchte Basis? Kann das jemand möglichst in "Laiensprache" erklären bzw. ein gutes Beispiel bringen, da ich aus allem was ich bis jetzt dazu gelesen habe nicht schlauer geworden bin.
Wäre super!! Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Fr 06.07.2012 | | Autor: | chesn |
Kann noch jemand was dazu sagen?
Dankeschön!
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 07.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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