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| Aufgabe | Es seien [mm] a,b\in\IR_+ [/mm] und [mm] r,s\in\IQ.
[/mm]
Behauptung: [mm] a^r a^s [/mm] = [mm] a^{r+s}.
[/mm]
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Hallo liebes Forum,
Ich sitze vor dem angegebenen Analysis I-Skriptteil, der "zur eigenen Übung" überlassen wurde und komme nicht weiter. Meine bisherige, sehr bescheidene Beweisidee (eigentlich ist da noch gar nichts passiert, aber ich "haenge" total fest) sieht wie folgt aus:
Ich nehme mir zunaechst m,n und m',n' aus [mm] \IZ [/mm] her, und es seien
r := [mm] \bruch{m}{n} [/mm] und s := [mm] \bruch{m'}{n'}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] a^r \cdot a^s
[/mm]
= [mm] a^\bruch{m}{n} \cdot a^\bruch{m'}{n'}
[/mm]
= [mm] sup\{ x\in\IR | x^n \leq a^m \} \cdot sup\{ x\in\IR | x^{n'} \leq a^m' \}
[/mm]
= [mm] [\ldots [/mm] ? [mm] \ldots]
[/mm]
= [mm] sup\{ x\in\IR | x^{nn'} \leq a^{mn'+m'n} \}
[/mm]
= [mm] a^\bruch{mn'+m'n}{nn'}
[/mm]
= [mm] a^{r+s}
[/mm]
Naja, und der ausgelassene Teil fehlt mir. Wie bekommt man diesen Uebergang hin? Empfiehlt sich die Benutzung der [mm] \varepsilon-Bedingung [/mm] fuer das Supremum, oder sehe ich nur den Wald vor lauter Baeumen nicht?!
Fuer eine hilfreiche Antwort bzw. einen Loesungsansatz waere ich Euch super dankbar, da ich schon eine "ganze Weile" mit dieser Aufgabe verbracht habe :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Fr 20.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das Ganze über den direkten Weg zeigen.#
Also: Wir wissen
[mm] a^{r}*a^{s}=\underbrace{a*\ldots*a}_{r-mal}*\underbrace{a*\ldots *a}_{s-mal}=\underbrace{a*\ldots*a}_{(r+s)-mal}=a^{r+s}
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
Erstmal Danke fuer Deine Antwort.
Wenn r und s natuerliche Zahlen waeren, wuerde ich das auch so machen (z.B. mit Induktion). Aber r und s sind rational, also zum Beispiel gilt auch:
[mm] a^{\bruch{2}{3}} \cdot a^{\bruch{4}{3}} [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
Wie zeige ich das allgemein fuer r, s [mm] \in\IQ [/mm] , dass [mm] a^r \cdot a^s [/mm] = [mm] a^{r+s} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Fr 20.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sorry, das hatte ich nicht bedacht.
Dann musst du halt über den Umweg der Wurzel gehen.
Du weisst, dass [mm] a^{\bruch{m}{n}}=\wurzel[n]{a^{m}}
[/mm]
Also
[mm] r=\bruch{m}{h}, s=\bruch{n}{h}, [/mm] ich nehme mal an, dass die Brüche schon auf den Hauptnenner h erweitert wurden, das macht das Rechnen leichter
Also
[mm] a^{r}*a^{s}=a^{\bruch{m}{h}}*a^{\bruch{n}{h}}=\wurzel[h]{a^{m}*a^{n}}
[/mm]
Da [mm] m,n\in\IN =\wurzel[h]{a^{m+n}}=a^{\bruch{m+n}{h}}=a^{\bruch{m}{h}+\bruch{n}{h}}=a^{r+s}
[/mm]
Marius
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