Rationale Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mo 18.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | | Man zeige : Ist x [mm] \in \IQ [/mm] und gilt |x|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle rationalen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 so folgt x= 0 |
Hallo,
Ich schaue momentan meine Unterlagen durch und sah diese Aufgabe!
Leider habe ich weder eine Idee noch sonst was!
Aufgabengebiet a) war zu zeigen dass [mm] \wurzel{7} [/mm] keine rationale Zahl ist! Was klar ist!
Aber wie zeige ich die obige Aufgabe? Wieso ist x=0???
x [mm] \in \IQ [/mm] = { x= [mm] \bruch{p}{q} [/mm] : p [mm] \in \IZ [/mm] , q [mm] \in \IN [/mm] }
es kann doch auch 0< |x| [mm] <\varepsilon [/mm] richtig sein oder?
Und wenn wir die Beträge "auflösen" dann kann x doch sowohl kleiner als auch größer 0 sein! Da kann ich ja keine Aussage drüber treffen? Folgt daraus dann, dass nur 0 zulässig ist??
Danke schonmal :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 18.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige : Ist x [mm]\in \IQ[/mm] und gilt |x|< [mm]\varepsilon[/mm] für
> alle rationalen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 so folgt x= 0
> Hallo,
>
> Ich schaue momentan meine Unterlagen durch und sah diese
> Aufgabe!
> Leider habe ich weder eine Idee noch sonst was!
> Aufgabengebiet a) war zu zeigen dass [mm]\wurzel{7}[/mm] keine
> rationale Zahl ist! Was klar ist!
> Aber wie zeige ich die obige Aufgabe? Wieso ist x=0???
> x [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x= [mm]\bruch{p}{q}[/mm] : p [mm]\in \IZ[/mm] , q [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> es kann doch auch 0< |x| [mm]<\varepsilon[/mm] richtig sein oder?
Es soll doch |x| [mm]<\varepsilon[/mm] für alle(!) rationalen $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gelten !
Nimm mal an, es wäre x [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist |x|>0 . Wähle [mm] \varepsilon= \bruch{|x|}{2}
[/mm]
dann haben wir [mm] |x|<\bruch{|x|}{2}.
[/mm]
Siehst Du den Widerspruch ?
FRED
> Und wenn wir die Beträge "auflösen" dann kann x doch
> sowohl kleiner als auch größer 0 sein! Da kann ich ja
> keine Aussage drüber treffen? Folgt daraus dann, dass nur
> 0 zulässig ist??
>
> Danke schonmal :)
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mo 18.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Ja den Widerspruch sehe ich! Aber wenn x [mm] \not= [/mm] 0 und man dann [mm] \varepsilon= [/mm] r|x| sei und r [mm] \in \IN [/mm] also einfach ein Vielfaches dann ist es doch kein Widerspruch da |x|<r|x| [mm] \gdw [/mm] 1<r und das ist nur ein Widerspruch für r=1 oder kann man das Epsilon so nicht wählen?
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
> Ja den Widerspruch sehe ich! Aber wenn x [mm]\not=[/mm] 0 und man
> dann [mm]\varepsilon=[/mm] r|x| sei und r [mm]\in \IN[/mm] also einfach ein
> Vielfaches dann ist es doch kein Widerspruch da |x|<r|x| <br="">> [mm]\gdw[/mm] 1
<r und="" das="" ist="" nur="" ein="" widerspruch="" für="" r="1" oder="" kann="" <br="">> man das Epsilon so nicht wählen?
Nein!
Die Ungleichung soll doch für jedes [mm] \varepsilon [/mm] erfüllt sein, nicht nur für eines, das Du wählst und damit festlegst.
Die Ungleichung [mm] |x|<\bruch{|x|}{2} [/mm] ist ja überhaupt nicht zu erfüllen.
Deswegen kann also [mm] \varepsilon=|x| [/mm] nicht gewählt werden, und der einzige mögliche Grund dafür ist der, dass |x|=0 ist.
Grüße
reverend
</r></r|x|>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 18.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Also ist Freds Ansatz der richtige weg? Muss man noch mehr zeigen als diesen Widerspruch? Also
Sei x [mm] \not= [/mm] 0 und sei [mm] \varepsilon [/mm] = |x|/2 => Widerspruch => x=0 ?
Wie kommt man denn auf das "passende epsilon" ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also ist Freds Ansatz der richtige weg?
Ja.
> Muss man noch mehr
> zeigen als diesen Widerspruch?
Nein.
> Also
> Sei x [mm]\not=[/mm] 0 und sei [mm]\varepsilon[/mm] = |x|/2 => Widerspruch
> => x=0 ?
Hier kommt die Schlussfolgerung ein bisschen schnell.
Bisher ist gezeigt, dass es eine Lösung für [mm] x\not=0 [/mm] nicht geben kann.
Da aber [mm] |x|\ge0 [/mm] ist, ist noch x=0 zu prüfen, und das klappt.
> Wie kommt man denn auf das "passende epsilon" ?
Um Himmels willen, was für ein passendes epsilon? Du sollst hier kein [mm] \varepsilon [/mm] ermitteln, sondern eine Behauptung für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] überprüfen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 18.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
> Hier kommt die Schlussfolgerung ein bisschen schnell.
> Bisher ist gezeigt, dass es eine Lösung für [mm]x\not=0[/mm]
> nicht geben kann.
> Da aber [mm]|x|\ge0[/mm] ist, ist noch x=0 zu prüfen, und das
> klappt.
>
> > Wie kommt man denn auf das "passende epsilon" ?
>
> Um Himmels willen, was für ein passendes epsilon? Du
> sollst hier kein [mm]\varepsilon[/mm] ermitteln, sondern eine
> Behauptung für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] überprüfen.
>
Danke!
Ich hab mich glaub ich falsch ausgedrückt :) ich meine das passende epsilon für den Widerspruch! Also mit dem ich den Widerspruch zeige! In unserem fall [mm] \varepsilon [/mm] = |x|/2
Aber wie komme ich da drauf? Klar es klappt auch mit [mm] \varepsilon [/mm] = |x|/q q [mm] \in \IN [/mm]
Gibt's da einen Tipp??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ach so.
> Ich hab mich glaub ich falsch ausgedrückt :) ich meine das
> passende epsilon für den Widerspruch! Also mit dem ich den
> Widerspruch zeige! In unserem fall [mm]\varepsilon[/mm] = |x|/2
> Aber wie komme ich da drauf? Klar es klappt auch mit
> [mm]\varepsilon[/mm] = |x|/q q [mm]\in \IN[/mm]
> Gibt's da einen Tipp??
Es klappt sogar mit [mm] \varepsilon=\bruch{|x|}{s} [/mm] mit [mm] s\in\IQ, [/mm] s>1.
Es ist egal, welche Variante Du da verwendest.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mo 18.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Ok, danke 
|
|
|
|
