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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] L \in Hom(\IR^n,\IR^m) [/mm] mit n,m [mm] \in \IN [/mm] und sei
[mm] M:=\{ \parallel L(x) \parallel_\infty |[/mm] [mm] x \in \IR^n [/mm] und [mm] \parallel x \parallel_\infty = 1 \} [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \parallel L \parallel_{Hom} = \parallel A \parallel = sup M [/mm] gilt.
( A ist m x n Matrix, [mm] \parallel A \parallel [/mm] = Zeilensummennorm) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
erstmal habe ich Probleme mit der Menge M und deshalb komme ich auch sonst nicht weiter.
Meine bisherige Idee:
x ist ein Vektor mit n Zeilen und 1 ist der grösste Eintrag in x.
[mm] \parallel L(x) \parallel_\infty | = Ax [/mm] , es wird also dieser Vektor x von rechts an alle Abbildungsmatrizen A [mm] \in \IR_{mn} [/mm] multipliziert, was einen m-zeiligen Vektor erzeugt. Und der größte Wert dieses Vektors ist dann ein Element von M ?
Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
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> Sei [mm]L \in Hom(\IR^n,\IR^m)[/mm] mit n,m [mm]\in \IN[/mm] und sei
> [mm]M:=\{ \parallel L(x) \parallel_\infty |[/mm] [mm]x \in \IR^n[/mm] und
> [mm]\parallel x \parallel_\infty = 1 \}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel L \parallel_{Hom} = \parallel A \parallel = sup M[/mm]
> gilt.
> ( A ist m x n Matrix, [mm]\parallel A \parallel[/mm] =
> Zeilensummennorm)
Hallo,
etwas rätselbehaftet ist mir im Moment [mm] \paralleL \parallel_{Hom} [/mm] .
Oder steht da [mm] \paralle [/mm] L [mm] \parallel_{Hom} \red{:}=\parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ?
Und A soll sicher die darstellende Matrix von L sein. Genau. So muß es sein.
> erstmal habe ich Probleme mit der Menge M und deshalb
> komme ich auch sonst nicht weiter.
Wir haben also einen fest vorgegebenen Homomorphismus L mit zugehöriger Darstellungsmatrix A und betrachten die Menge M.
> Meine bisherige Idee:
> x ist ein Vektor mit n Zeilen und 1 ist der grösste
> Eintrag in x.
1 oder -1 sind die betragsgrößten Einträge.
Nun betrachten wir für alle diese Vektoren jeweils den Vektor L(x). Der Betrag des jeweils betragsgrößten Eintrages, also [mm] \parallel [/mm] L(x) [mm] \parallel_\infty, [/mm] ist in M.
> [mm]\parallel L(x) \parallel_\infty | = Ax[/mm] ,
L(x)=Ax, also ist [mm] \parallel [/mm] L(x) [mm] \parallel_\infty=\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_\infty.
[/mm]
> es wird also
> dieser Vektor x von rechts an alle Abbildungsmatrizen A [mm]\in \IR_{mn}[/mm]
Nein. An die zu L gehörige Abbildungsmatrix! L und A sind fest.
> multipliziert, was einen m-zeiligen Vektor erzeugt.
Ja.
> Und der
> größte Wert dieses Vektors ist dann ein Element von M ?
Der Betrag des betragsgrößten Eintrages des Vektors.
Gruß v. Angela
P.S.: Falls Du ein Stichwort zum Nachlesen möchtest: "von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm" paßt hier gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
> Oder steht da [mm]\paralle[/mm] L [mm]\parallel_{Hom} \red{:}=\parallel[/mm]
> A [mm]\parallel[/mm] ?
> Und A soll sicher die darstellende Matrix von L sein.
> Genau. So muß es sein.
Da hast du genau recht !!
Vielen Dank für Deine Hilfe !
Es war mir nicht klar, dass es um einen speziellen/festen Homomorphismus geht, also auch um ein festes A.
Danke auch für den Suchtipp !
LG, Susanne.
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