Raumladungsdichte, Ladungsvert < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine nicht leitende Kugel mit dem Radius [mm] r_{K} [/mm] trägt eine Raumladungsdichte ρ_{V}, die antiproportional zum Abstand vom Mittelpunkt ist: ρ_{V} = [mm] A_{0}/r [/mm] für 0 < r < [mm] r_{K}. [/mm] Darin ist [mm] A_{0} [/mm] eine Konstante. Für r > [mm] r_{K} [/mm] ist ρ = 0.
a) Bestimmen Sie die Gesamtladung auf der Kugel für 0 < r < [mm] r_{K}
[/mm]
b) Bestimmen Sie das elektrische Feld [mm] \vec{E} [/mm] außerhalb der Ladungsverteilung.
c) Bestimmen Sie aus dem elektrischen Feld das Potential in Abhängigkeit von r außerhalb der Kugel unter der Annahme, dass das Potential im Unendlichen verschwindet.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab eigentlich erstma zu a) n paar Fragen. Hab die anderen Aufgabenstellungen trotzdem schonmal gepostet, weil ich sicher dazu auch bald fragen haben werde :/
Meine Fragen:
1) Herrscht hier eine homogene oda inhomogene Ladungsverteilung vor? Heißt denn "antiproportional zum Abstand vom Mittelpunkt", dass es eben inhomogen ist, weil abhängig von r?
2) Gesamtladung wär dann Q = [mm] \integral\integral_{V}\integral{ ρ *dV} [/mm] oder? Ansatz richtig? Oda völlig falsch, wie bei mir sonst immer? Oda muss man noch was mit ρ = [mm] A_{0}/r [/mm] machen? Vllt [mm] \integral\integral_{V}\integral{A_{0}/r}*dV? [/mm] Oda ist die schreibweise dQ/dV hier besser?
Hoffe auf hinweise...
ps: falls falsch angezeigt soll ρ_{V} = Rho mit Index V sein und 961; = Rho
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine nicht leitende Kugel mit dem Radius [mm]r_{K}[/mm] trägt eine
> Raumladungsdichte [mm] \rho_{V}, [/mm] die antiproportional zum
> Abstand vom Mittelpunkt ist: [mm] \rho_{V} [/mm] = [mm]A_{0}/r[/mm] für 0 < r
> < [mm]r_{K}.[/mm] Darin ist [mm]A_{0}[/mm] eine Konstante. Für r > [mm]r_{K}[/mm] ist
> [mm] \rho [/mm] = 0.
>
> a) Bestimmen Sie die Gesamtladung auf der Kugel für 0 < r <
> [mm]r_{K}[/mm]
> b) Bestimmen Sie das elektrische Feld [mm]\vec{E}[/mm] außerhalb
> der Ladungsverteilung.
> c) Bestimmen Sie aus dem elektrischen Feld das Potential
> in Abhängigkeit von r außerhalb der Kugel unter der
> Annahme, dass das Potential im Unendlichen verschwindet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab eigentlich erstma zu a) n paar Fragen. Hab die
> anderen Aufgabenstellungen trotzdem schonmal gepostet, weil
> ich sicher dazu auch bald fragen haben werde :/
> Meine Fragen:
>
> 1) Herrscht hier eine homogene oda inhomogene
> Ladungsverteilung vor? Heißt denn "antiproportional zum
> Abstand vom Mittelpunkt", dass es eben inhomogen ist, weil
> abhängig von r?
Ja. Inhomogen bedeutet abhängig vom Ort. Das ist hier sicher der Fall.
> 2) Gesamtladung wär dann Q =
> [mm]\integral\integral_{V}\integral{ \rho *dV}[/mm] oder? Ansatz
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oda völlig falsch, wie bei mir sonst immer? Oda
> muss man noch was mit [mm]\rho = A_{0}/r[/mm] machen? Vllt
> [mm]\integral\integral_{V}\integral{A_{0}/r}*dV?[/mm]
Genau, dieses Integral musst du ausrechnen. Tipp: rechne in Kugelkoordinaten!
Viele Grüße
Rainer
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danke für die schnelle antwort. bin ja schonma froh es soweit gebracht zu haben, obwohl das nur ne formel finden war.
Da [mm] A_{0} [/mm] ja konstant ist, kann ich es vor das integral schreiben. aber r leider nicht, oder? dann hätt ich:
[mm] A_{0}*\integral\integral_{V}\integral{1/r}*dV
[/mm]
In Kugelkoordinaten is ja:
[mm] \vec{r}=\vec{e}_{x}*r*sin(theta)*cos(phi)+\vec{e}_{y}*r*sin(theta)*sin(phi)+\vec{e}_{z}*r*cos(theta)
[/mm]
und
[mm] dV=r^{2}*sin(theta)*dr*dTheta*dPhi
[/mm]
ich habe aber ja nur r und nich [mm] \vec{r} [/mm] oder? also betrag? und wie setze ich die intergrationsgrenzen? gibts vllt n trick, damit ich das integral nich ausrechnen muss? vllt sind komponenten in die gleiche richtung gerichtet? radial nach außen? hebt sich so vllt was auf?
würd mich auf ne antwort freuen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst die Kugel einteilen in Kugelschalen der Dicke dr mit dem Volumen [mm] dV=4\pi*r^2*dr [/mm] in diesem Volumen hast du dann die Ladung [mm] dQ=\rho(r)*dV
[/mm]
dann musst du nur [mm] \rho(r) [/mm] einsetzen und von 0 bis [mm] r_k [/mm] integrieren um Q zu haben.
Meinst du das mit vereinfachen? (das ist aber auch das Integral über [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und [mm] \Theta [/mm] von 0 bis [mm] \pi.)
[/mm]
Da die Dichte nicht von der Richtung, sondern nur vom Betrag von r abhängt hast du mit [mm] \vec{r} [/mm] nichts zu tun.
Gruss leduart
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hi, danke für deine hilfe. hab aber noch n paar fragen:
also um die gesamtladung zu bestimmen, gilt jetzt die gleichung [mm] dQ=\rho(r)*dV? [/mm] wie kann ich da integrieren? und was? is doch garkein integral mehr da!? und was ist mit meinem [mm] A_{0}? [/mm] und was is [mm] \rho(r)? [/mm] muss is einfach
[mm] \integral_{0}^{r_{K}}{dQ} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)}*dV [/mm] = [mm] \integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)}*4\pi*r^{2}*dr [/mm] = [mm] 4\pi*r^{2}\integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)*dr} [/mm] integrieren? wenn ja, [mm] \rho(r) [/mm] heißt ja, dass [mm] \rho [/mm] abhängig von r is. aber was is [mm] \rho(r)? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hi, danke für deine hilfe. hab aber noch n paar fragen:
> also um die gesamtladung zu bestimmen, gilt jetzt die
> gleichung [mm]dQ=\rho(r)*dV?[/mm] wie kann ich da integrieren? und
> was? is doch garkein integral mehr da!? und was ist mit
> meinem [mm]A_{0}?[/mm] und was is [mm]\rho(r)?[/mm] muss is einfach
> [mm]\integral_{0}^{r_{K}}{dQ}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)}*dV[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)}*4\pi*r^{2}*dr[/mm] =
> [mm]4\pi*r^{2}\integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)*dr}[/mm] integrieren?
1. wie kannst du aus einem Integral, das über r geht r rausziehen?
2. Wieso ist [mm] \rho(r) [/mm] unabhängig von r? die Abhängigkeit von r steht doch in der Aufgabe! lies die doch nochmal durch!
> wenn ja, [mm]\rho(r)[/mm] heißt ja, dass [mm]\rho[/mm] abhängig von r is.
> aber was is [mm]\rho(r)?[/mm]
wenn du f(x) liest sagst du doch auch nicht f ist unabhängig von x.
Vielleicht verwechselst du r, die Variable mit [mm] r_k [/mm] ddem Radius der Kugel?
Die Ladungsdichte nimmt nach Aufgabe von innen nach aussen ab! ist also bei [mm] r_k [/mm] am kleinsten, in der Mitte de Kugel am größten. in jeder Schicht anders!
Gruss leduart
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hoi,
ok, dass ich [mm] r^{2} [/mm] nich vors integral ziehen kann is mir klar. hab ich wohl nich nachgedacht.
> 2. Wieso ist [mm]\rho(r)[/mm] unabhängig von r? die Abhängigkeit
> von r steht doch in der Aufgabe! lies die doch nochmal
> durch!
ich hab doch garnich gesagt, dass sie unabhängig ist, ich hab doch gesagt, sie ist abhängig: [mm] \rho(r) [/mm] heißt ja, dass [mm] \rho [/mm] abhängig von r is.
also ist jetzt
[mm] \integral_{0}^{r_{K}}{\rho(r)*r^{2} dr} [/mm] zu berechnen?
jetzt bleibt aber immernoch eine frage, was is [mm] \rho(r)? [/mm] oder kann ich dafür nix einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das steht in deiner Aufgabe, allerdings steht da [mm] \roh(V) [/mm] da das aber Sinnlos ist muss es wohl [mm] \rho(r) [/mm] heissen.
Gruss leduart
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du meinst, [mm] \rho_{V} [/mm] = [mm] \rho(V) [/mm] = [mm] \rho(r)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Ja
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*g* ok, vielen dank! wenn ich das so mache kommt auch n anständiges errechenbares ergebnis raus! danke!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 26.11.2007 | | Autor: | ajahte |
Hallo,
sitze gerade an der gleichen Aufgabe! Wir sollen ja die gesamtladung für r>0 berechnen, also kann die Intervallgrenze doch nicht 0 sein, oder? hab aber keine Ahnung, was man da macht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 26.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
alle Werte >0 wenn du willst kannst du bei [mm] \epsilon [/mm] beliebig klein anfangen!
In der Kugel mit Radius [mm] \epsilon [/mm] Volumen [mm] 4\pi/3epsilon^3 [/mm] sind dann etwa [mm] 4\pi/3epsilon^3*A*1/epsilon [/mm] Ladungen. Dass man r=0 nicht mitrechnen darf ist eigentlich richtig, weil die Dichte da [mm] \infty [/mm] würde. (mach aber insgesamt wegen des auch winzigen Volumens nix aus.
Gruss leduart
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so, hab ne frage zu b)
und zwar soll ich ja elektrisches feld außerhalb der ladungsverteilung bestimmen. elektrisches feld is ja die gesamtheit der feldvektoren in allen raumpunkten. also was andres als feldstärke, aber [mm] \vec{E} [/mm] ist ja die feldstärke. was soll ich denn nun bestimmen?
[mm] \vec{E}=(Q/4\pi\varepsilon_{0}r^{2})*\vec{e_{r}} [/mm]
wir haben aber doch garkeine ladung außerhalb der ladungsverteilung, oda? was ich gefunden hab, is folgendes:
[mm] \vec{E}=\vec{e_{r}}*E(r)=\vec{e_{r}}*(\rho_{0}/3\varepsilon_{0})*(a^{3}/r^{2})
[/mm]
für [mm] r>r_{K}
[/mm]
hab kein plan, ob das richtig is bzw wie man es richtig macht.
und zu c) hab ich folgende fragen:
das potential is ja
[mm] \phi_{1}=-\integral_{0}^{1}{\vec{E}\circ d\vec{s}}
[/mm]
jetzt muss man doch die feldstärke aus b einsetzen. aber was is [mm] d\vec{s}? [/mm] das is doch irgendwie das wegintegral oda wegelement oda so!? gibts dafür n konkreten wert oda ne berechnungsweg?
wär schön, wenn mir noch jemand helfen könnte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 26.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das elektrische Feld gibt man an, indem man die el. Feldstärke in jedem Punkt des Raumes angibt.also hier [mm] \vec{E(r)}.
[/mm]
2. Deine Formel $ [mm] \vec{E}=(Q/4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\cdot{}\vec{e_{r}} [/mm] $
ist richtig ausserhalb [mm] r_k [/mm] wenn du für Q ddie errechnete Ladung innerhalb [mm] R_k [/mm] nimmstt.
Was das a in deiner zweiten Gleichung sein soll weiss ich nicht, drum kann ich darüber nix sagen.
Das Potential, das du hingeschrieben hast ist die Potentialdifferenz zwischen 0 und 1. nach der ist nicht gefragt, sondern nach dem Potential gegenüber unendlich! (das steht da!)
War in der Aufgabe nicht auch nach der Feldstärke für [mm] r
Gruss leduart
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danke für deine erneute schnelle antwort.
also muss ich denn jetzt [mm] \vec{E(r)} [/mm] oda [mm] \vec{E} [/mm] berechnen? oda erst [mm] \vec{E} [/mm] und dann [mm] \vec{E(r)}? [/mm] oder muss ich jetzt einfach nur mein Q von a) in [mm] \vec{E}=(Q/4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\cdot{}\vec{e_{r}} [/mm] einsetzen? und wenn ich [mm] \vec{E(r)} [/mm] berechnen muss, wie mach ich das? das heißt doch nur, dass die Feldstärke abhängig von r ist. ist sie das denn? also die Raumladungsdichte is ja abhängig von r. ist dann die feldstärke das auch?
die zweite gleichung vergess ich dann mal schnell wieder *g*
zum potential:
also muss ich von 0 bis [mm] \infty [/mm] integrieren?
also nach der feldstärke für [mm] rr_{K}.
[/mm]
tut mir leid wenn ich dich mit fragen überschwemme, aber ich hab garkein plan im moment von etechnik. werd mich ma nach ner "nachhilfe" umsehen müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 26.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt keinen Unterschied zwischen [mm] \vec{E} [/mm] und [mm] \vec{E(r)} [/mm] oft lässt man einfach das r weg, weil es klar ist, dass E immer irgendwie vom Ort abhängt.
und du darfst nicht so sehr an Formeln hängen! es ist dir sicher eigentlich klar, dass die Kraft auf ne Probeladung immer kleiner wird, je weiter man von ner geladenen Kugel weggeht! und E gibt doch nur diese Kraft (geteilt durch die Größe der Probeladung) an. Also denk bei E immer aan F=q*E und nicht an irgendwas abstraktes! Du versuchst Physik mit Formeln zu bewältigen, das ist falsch! du musst versuchen dir Bilder im Kopf zu machen! hier z. Bsp stell dir vor, du gehst mit ner Ladung, die an nem Faden hängt in die Nähe der Kugel sie wird stark angezogen, wenn du weiter weg gehst immer weniger. und sie wird immer genau auf dem Mittelpunkt der Kugel hin gezogen bzw. abgestossen.
Wen du dir jetzt noch die Arbeit vorstellst, um ne Ladung von einem Punkt weit [mm] weg,(\infty) [/mm] bis zu einem Punkt nahe an der Kugel r zu transportieren hast du dir auch das Potential "vorgestellt"!
Vielleicht suchst du mal nach nem Schulbuch , Oberstufe, Leistungskus zur elektrostatik, da wird ein bissel ausführlicher erklärt.
Aber das beste viel besser als nachhilfe ist Teamwork mit anderen Kursteilnehmern. Man lernt durch nix so gut als durch Reden über ein Thema.
Gruss leduart
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dann dank ich dir vielmals für deine geduldige hilfe und ich werd ma schaun, wie ich etechnik ma begreifen kann *g* tu is leider so abstrakt...werd wohl wexln müssn. danke nochmal!
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