matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungRaumseil
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integralrechnung" - Raumseil
Raumseil < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Raumseil: Aufgabe für Interessierte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mi 29.01.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Für alle Interessierten mit Hintergrund in Integralrechnung und etwas Physik möchte ich eine interessante Aufgabe stellen, die nicht allzu schwere Anforderungen stellt.

Schon lange gibt es die Idee, einen []Weltraumlift oder "Space Elevator" zu konstruieren, um anstatt mittels Raketen mit einem gewöhnlichen Aufzug von der Erde aus z.B. zu einer Raumstation in einer geostationären Umlaufbahn zu gelangen.

Die technischen Schwierigkeiten, diese Idee zu realisieren, sind zwar gewaltig und vielleicht nie überwindbar - aber eine mathematische Berechnung zum Thema ist recht anregend. Es geht um die Berechnung der minimalen Länge eines (theoretisch) absolut unzerreißbaren Seils, das vom Erdboden aus senkrecht in die Höhe, durch die Atmosphäre und in den Weltraum hinaus gespannt werden soll. Das Seil habe eine durchwegs konstante "Längendichte" $ [mm] \rho [/mm] $ der Dimension  [ $ [mm] \rho [/mm] $ ] = kg / m .
Auf das Seil wirken dann einerseits Gravitationskräfte (gemäß Newtonschem Gravitationsgesetz) und ferner Fliehkräfte infolge der Erddrehung (wobei wir vereinfachend annehmen, dass sich das Raumseil ständig radial ausgespannt mit der Erde mitdreht). Wir nehmen auch an, dass die gesamte Masse des Seils gegenüber der Erdmasse absolut vernachläßigbar sein soll (damit es nicht etwa die Erdrotation in Unwucht versetzen kann).

Nun stellt sich die Frage, wie lang das Seil (von dem Verankerungspunkt an der Erdoberfläche bis zu seinem Ende weit draußen im All) mindestens sein müsste, damit die gesamte Fliehkraft die gesamten Schwerkräfte gerade aufhebt.

Hinweise:  Die auftretenden Integrale sind recht elementar, und am Ende stößt man für die Berechnung der minimalen Länge L des Raumseils auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung.
Ich biete diese Aufgabenstellung hier also nicht an, weil sie schwierig, sondern weil sie mit erstaunlich einfachen Mitteln zu lösen ist.

Viel Vergnügen !

(Das Ergebnis, also die minimal nötige Länge des Raumseils, kann man in Beiträgen zum Thema im Internet durchaus finden. Aber die Rechnungen selber geschafft zu haben, gibt einfach ein sehr gutes Gefühl !)


        
Bezug
Raumseil: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Mi 08.04.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag an alle, die hier mal noch reingucken !

Ich habe nun versucht, den Lösungsweg zu dieser nach meiner Meinung sehr schönen Physik- und Matheaufgabe so elegant darzustellen, wie mir das etwa möglich ist.

Bezeichnungen:

M = Masse der Erde ≈ $\ 5.9723 [mm] \cdot 10^{24}\ [/mm] kg$
R = Erdradius (am Aequator) ≈  $\ 6378.1\ km$
L = Länge des Raumseils
    (vom Verankerungspunkt am Aequator bis zum Ende weit draußen im All)
S := R + L
x :  Ortskoordinate für die Integration über dem Intervall [R,S]
[mm] $\gamma$ [/mm] = Allgemeine Gravitationskonstante ≈ $\ 6.6742 [mm] \cdot 10^{-11}\ \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$ [/mm]
[mm] $\omega$ [/mm] =  Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation (siderisch) ≈ $\ [mm] 7.2921\cdot 10^{-5}\ [/mm] Hz$
[mm] $\rho$ [/mm] =  Längen-Dichte des Raumseils  ( Maßeinheit  [mm] $\frac{kg}{m}\,$ [/mm] )


Für die gesamte Schwerkraft, welche die Erde auf das Seil ausübt, gilt nun:

$\ [mm] F_{grav.}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{R}^{S} \gamma \cdot \frac{M \cdot \rho}{x^2}\ [/mm] dx\ \ =\ \ [mm] \gamma\ [/mm] * M * [mm] \rho [/mm] * [mm] \left[\frac{-1}{x}\right]_{R}^{S}\ [/mm] \ =\  [mm] \gamma\ [/mm] * M * [mm] \rho [/mm] * [mm] \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{S} \right)$ [/mm]

Die gesamte auf das Seil wirkende Zentrifugalkraft infolge der Rotation ist:

$\ [mm] F_{fug.}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{R}^{S} [/mm] x * [mm] \omega^2 [/mm] * [mm] \rho\ [/mm] dx\ \ =\ \ [mm] \rho [/mm] * [mm] \omega^2 [/mm] * [mm] \left[\frac{x^2}{2}\right]_{R}^{S}\ [/mm] \ =\  [mm] \frac{\rho * \omega^2}{2}\ [/mm] * [mm] \left(S^2 - R^2\right)$ [/mm]

Gleichsetzen von  $\ [mm] F_{grav.}$ [/mm]  und  $\ [mm] F_{fug.}$ [/mm]  führt auf eine Gleichung, aus welcher man den gemeinsamen Faktor  [mm] $\rho$ [/mm]  sofort rauskürzen kann. Damit hat man:

   [mm] $\gamma\ [/mm] * M * [mm] \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{S} \right)\ [/mm] \ =\ \ [mm] \frac {\omega^2}{2}\ [/mm] * [mm] \left(S^2 - R^2\right)$ [/mm]

   [mm] $\gamma\ [/mm] * M * [mm] \left(\frac{S-R} {R*S} \right)\ [/mm] \ =\ \ [mm] \frac {\omega^2}{2}\ [/mm] * [mm] \left(S^2 - R^2\right)$ [/mm]

Nun kann man noch mit  (S-R)  kürzen und kommt zur Gleichung:

   [mm] $\gamma\ [/mm] * M * [mm] \left(\frac{1} {R*S} \right)\ [/mm] \ =\ \ [mm] \frac {\omega^2}{2}\ [/mm] * [mm] \left(S+R\right)$ [/mm]

   $  [mm] \underbrace{\frac{2*\gamma\ * M}{\omega^2}}_A\ [/mm] \ =\ \ \ R*S * (S+R)$

Mit der Abkürzung A  für die Konstante auf der linken Seite haben wir also schließlich für die gesuchte Größe S die quadratische Gleichung:

   $\  R * [mm] S^2 [/mm]  + [mm] R^2 [/mm] * S - A = 0$

Von den beiden Lösungen:

$\ [mm] S_{1,2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{-R^2 \pm \sqrt{R^4 + 4*A*R}}{2 * R}$ [/mm]

kommt natürlich nur die positive in Frage, also:

$\ S\ =\ [mm] \frac{\sqrt{R^4 + 4*A*R }-R^2}{2 R}$ [/mm]

Durch Einsetzen der oben angegebenen Zahlenwerte erhält man:

$\ A\ =\ [mm] 1.4992*10^{23}\, m^3 [/mm] \ =\ [mm] 1.4992*10^{14}\, km^3$ [/mm]

$\ S\ [mm] \approx\ [/mm] 150159\ km $

Damit verbleiben für die Länge L des Raumseils (gerundet) :

    L = S - R  ≈ 143780 km

Das Raumseil müsste also etwa viermal so hoch über dem Aequator enden
als es der "Flughöhe" von geostationären Kommunikationssatelliten entspricht.

So, und jetzt noch beste Wünsche an Euch alle in dem "Hausarrest", den wir
uns nicht selber ausgesucht haben. Bleibt gesund und interessiert !





Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]