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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:36 Di 26.04.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe da eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.
Sei [mm]A \in \IC^{nxn}[/mm] gegeben und zu [mm]x \in \IC^{n}[/mm] der Rayleigh-Quotient p(x) durch [mm]p(x) \equiv x^{\*}Ax/(x^{\*}x)[/mm] definiert.
Sei nun A hermitsch, also [mm]A^{\*}=A[/mm]. Sei [mm] \lambda[/mm] ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v mit [mm]||v||_{2}=1[/mm]. Zeige, dass ein [mm]C>0[/mm] existiert, so dass
[mm]|\lambda - p(x)| \le C*||v-x||_{2}^{2}[/mm] [mm]\forall x \in \IC^{n} mit ||x||_{2}=1[/mm].
Hinweis: [mm] C = max \{| \lambda - \lambda^{\sim}|: \lambda^{\sim} \in \sigma(A)\}[/mm] [mm](\lambda^{\sim}[/mm] soll Lambda-Schlange heißen)
Bislang habe ich auf der linken Seite angefangen und habe den Term auf die Form
[mm] |v^{\*}*lambda [/mm] *v- [mm] x^{\*}*A*x|
[/mm]
Dabei habe ich den Rayleigh-Qutienten benutzt und die Tatsache, dass die 2-Norm beider Vektoren 1 ist.
Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Speziell she ich auch nicht, warum A ausgerechnet hermitisch sein muss.
Ich hoffe jemand hat eine Idee und kann mir weiterhelfen?
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Hallo [mm] \wurzel{\pi},
[/mm]
> Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Speziell she
> ich auch nicht, warum A ausgerechnet hermitisch sein muss.
Ich denke das genau wie hier eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Bzw. existiert U mit [mm] U^T=U^{-1} [/mm] und [mm] A=UDU^T [/mm] wobei die Spalten von U eben gerade die Eigenvektoren sind.
Folgendes könnte auch nützlich sein:
[mm]||x||_2=1 \gdw ||Ux||_2=1 \gdw ||U^Tx||_2=1[/mm]
Das waren meine Ideen. Lässt sich was draus machen?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Das ist sicherlich ein guter Tip.
Nur leider verstehe ich auch nicht ganz, wie ich vom Betrag auf die 2-Norm "wechseln kann"?
Vielleicht kann mir da noch jemand helfen?
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Hallo [mm] \wurzel{\pi},
[/mm]
Wenn nicht gerade jemand auf meiner Leitung steht sind die einfach gleich.
viele Grüße
mathemaduenn
Edit: natürlich nicht im allgemeinen aber im vorliegenden Fall.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo [mm] \wurzel{\pi}!
[/mm]
Ich habe es mal so versucht:
[mm]|\lambda - p(x)|[/mm]
= [mm]|\lambda - \bruch{x^{\*}Ax}{x^{\*}x}|[/mm]
= [mm]|\lambda - x^{\*}Ax|[/mm] da [mm]||x||_{2}=1[/mm]
= [mm]|v^{\*} v \lambda - x^{\*}Ax|[/mm] da [mm]||v||_{2}=1[/mm]
= [mm]|v^{\*} \lambda v - x^{\*}A^{\*}x|[/mm] da [mm] A^{\*}= A [/mm]
= [mm]|v^{\*} \lambda v - x^{\*}\lambda^{\*}x|[/mm]
= [mm]|(v^{\*}\lambda)^{\*}v - (x^{\*}\lambda^{\*})^{\*}x|[/mm]
= [mm]|\lambda^{\*}*vv - \lambda^{-}*xx|[/mm] da [mm]\lambda^{-} \in \sigma(A)[/mm]
= [mm]|\lambda*vv - \lambda^{-}xx|[/mm] da [mm]Av = \lambda*v
\Rightarrow A^{\*}v = \lambda^{\*}v \Rightarrow \lambda = \lambda^{\*}[/mm]
= [mm]|\lambda*v^{2} - \lambda^{-}x^{2}|[/mm]
[mm] \le[/mm] [mm] |\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]
[mm] \le[/mm] [mm]max_{\lambda^{-} \in \sigma(A)} |\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]
= [mm]C*||v-x||^{2}_{2}[/mm].
Weiß nicht ob es stimmt, ist nur ein Ansatz! Kannst ja mal drüber schauen!
Gruß
Joergi
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Hallo Joergi,
> = [mm]|\lambda*v^{2} - \lambda^{-}x^{2}|[/mm]
> [mm]\le[/mm] [mm]|\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]
Das stimmt i.A. nicht Bsp.: reelle Zahlen x=v=1 , [mm] \lambda=2 [/mm] , [mm] \lambda^-=1
[/mm]
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hi!
Danke, dass Du uns hilfst!
Im ähnlichen Stile wei Jörg habe ich das auch versucht.
Ich komme aber zu keiner sauberen Formulierung.
Fällt DIr da ein Weg ein?
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Hallo Wurzelpi,
Ich hatte folgende Idee:
Betrachte eine Transformation des Problems in den Vektorraum der die Eigenvektoren von A als Basis hat. Dann wird die Abbildung durch eine Diagonalmatrix beschrieben. und ||v-x|| wäre Einheitsvektor minus x. Das sollte die Argumentation vereinfachen.
Noch ein ![[]](/images/popup.gif) link Allerdings steht da positiv definit. Ob/Wie man das auf nicht positiv definite Matrizen übertragen kann weiß ich auch nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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