Re. u Im bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 29.01.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Besimmen Sie alle z= x+iy [mm] \in \IC [/mm] ohne {1}, für die
[mm] \bruch{1+z}{1-z}
[/mm]
a) reell is.
b) rein imaginär is, d.h. der Realteil 0 ist. |
Hab mal die alten Hausaufgaben durchgeblettert und hier ist mir folgendes nicht ganz klar:
z:= x+yi -> [mm] \bruch{1+x+yi}{1-x+yi}
[/mm]
nun erweitere ich den bruch mit dem ko. kompl., so dass ich im nenner das i wegbekomme:
a)
[mm] \bruch{(1+x+yi)(1-x-yi)}{(1-x+yi)(1-x-yi)}
[/mm]
Zähler ausmult. und im nenner binom angewendet ergibt:
[mm] \bruch{1-x^{2}+y^{2}+2iy}{(1-x)^{2}+y^{2}}
[/mm]
und jetzt, wos eigtl. um das lösen der aufgabe geht verstehe ich das aufgeschriebene nicht:
[mm] \bruch{1+z}{1-z} \in \IR [/mm] <-> [mm] 1-x^{2}+y^{2}+2iy \in \IR
[/mm]
<-> 2y=0 <-> y=0 <-> [mm] z\in \IR [/mm] ohne {1}
sagen wir hier, dass wenn unser bruch in R ist, ist auch der Zahler in R. und da wir im zähler in R sein soll muss das y =0 sein, da somit der Im.teil eleminiert wird???
uuuund wie haben wir unser z nun eigtl. bestimmt? hier steht ja nichts von z=...
b)
[mm] Re(\bruch{1+z}{1-z})=0
[/mm]
[mm] <->Re(1-x^{2}+y^{2}+2iy=0
[/mm]
wir nehmen also den nenner in dem der realteil 0 werden muss
der realteil ist [mm] 1-x^{2}+y^{2} [/mm] =0
<-> [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] <-> x+y=1
wie kommen wir jetzt auf die aussage
<-> |z|=1 und [mm] z\not=1 [/mm]
kann mir die lösungen vill. iwer näher bringen? würd mich echt freun :)
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Fr 29.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Besimmen Sie alle z= x+iy [mm]\in \IC[/mm] ohne {1}, für die
> [mm]\bruch{1+z}{1-z}[/mm]
> a) reell is.
> b) rein imaginär is, d.h. der Realteil 0 ist.
> Hab mal die alten Hausaufgaben durchgeblettert und hier
> ist mir folgendes nicht ganz klar:
>
> z:= x+yi -> [mm]\bruch{1+x+yi}{1-x+yi}[/mm]
>
> nun erweitere ich den bruch mit dem ko. kompl., so dass ich
> im nenner das i wegbekomme:
> a)
> [mm]\bruch{(1+x+yi)(1-x-yi)}{(1-x+yi)(1-x-yi)}[/mm]
>
> Zähler ausmult. und im nenner binom angewendet ergibt:
>
> [mm]\bruch{1-x^{2}+y^{2}+2iy}{(1-x)^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> und jetzt, wos eigtl. um das lösen der aufgabe geht
> verstehe ich das aufgeschriebene nicht:
> [mm]\bruch{1+z}{1-z} \in \IR[/mm] <-> [mm]1-x^{2}+y^{2}+2iy \in \IR[/mm]
>
> <-> 2y=0 <-> y=0 <-> [mm]z\in \IR[/mm] ohne {1}
>
> sagen wir hier, dass wenn unser bruch in R ist, ist auch
> der Zahler in R. und da wir im zähler in R sein soll muss
> das y =0 sein, da somit der Im.teil eleminiert wird???
Ja!
> uuuund wie haben wir unser z nun eigtl. bestimmt? hier
> steht ja nichts von z=...
Na, Lösung sind alle komplexen Zahlen z, bei denen der Imaginärteil y den Wert 0 annimmt (also nicht vorhanden ist). Das sind alle reellen Zahlen (mit Ausnahme von 1).
>
> b)
>
> [mm]Re(\bruch{1+z}{1-z})=0[/mm]
> [mm]<->Re(1-x^{2}+y^{2}+2iy=0[/mm]
>
> wir nehmen also den nenner in dem der realteil 0 werden
> muss
> der realteil ist [mm]1-x^{2}+y^{2}[/mm] =0
> <-> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] <-> x+y=1
>
> wie kommen wir jetzt auf die aussage
> <-> |z|=1 und [mm]z\not=1[/mm]
Ach, jetzt sehe ich erst den Fehler weiter oben.
Im Nenner steht 1-z, und das ist NICHT 1-x+iy, sondern 1-(x+iy) und somit 1-x-iy.
Somit muss anders erweitert werden (mit 1-x+iy), und damit ändern sich die ganzen Terme.
Gruß Abakus
>
> kann mir die lösungen vill. iwer näher bringen? würd
> mich echt freun :)
> danke!
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