Re: Stochastik 4 < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan! (Denn nur Du weißt ja genau, worum es geht  )
Ich bin nicht sicher, ob ich Deinen Einwand richtig verstanden habe. Du schriebst, ich sollte Definition 3.3.2 im Oksendal ergänzen. Aber die habe ich bis auf den letzten Satz ziemlich genau in B.21. Was ich allerdings nicht gemacht habe, ist den Abschnitt darunter anzuschauen. Also habe ich noch eine Definition hinzugefügt (wie Du es vorgeschlagen hast), die die Definition des Ito-Integrals wiederholt, dabei aber einen anderen Konvergenzbegriff benutzt (wenn ich es richtig verstehe). Vorher verwendet man ja die Quadratmittel-Konvergenz, hier ist es nur noch Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Stimmt das so? Meinst Du, ich sollte das auch noch in die Definition mit reinschreiben, damit klar ist, welcher Grenzwertbegriff jeweils gemeint ist? Außerdem hoffe ich, dass ich die Sache mit den Treppenfunktionen richtig aufgeschrieben habe, speziell
[mm]\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\int_0^t|f(\tau,\omega)-f_n(\tau,\omega)|^2\,d\tau> \epsilon\right)=0. [/mm]
Ich habe das immer noch nicht verinnerlicht :-(
Ferner habe ich versucht, die Sache mit der Adaptiertheit anzugleichen. In Def. B.16 und B.21 habe ich in (ii) jetzt die von Dir präferierte Schreibweise eingefügt. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich ja in B.16 [mm] $({\cal F}_\tau)_{\tau\in[s,t]}$ [/mm] verwende,
und in B.21 [mm] $({\cal H}_t)_{t\ge 0}$ [/mm] . Ich finde die verschiedenen Indexbereiche ein wenig unschön, aber so macht es halt der Öksendal. Du hattest in Deiner Mail [mm] $({\cal H}_t)_{t\in [0,t]}$ [/mm] geschrieben, ich nehme an, Du meintest [mm] $({\cal H}_t)_{t\in[0,T]}$, [/mm] aber das wäre nicht korrekt, oder? Hier ist ja $t$ nach oben erst mal nicht beschränkt. Oder Du hast es schon gleich auf das Integral bezogen, das von 0 bis $t$ definiert wird. Bitte sag mir noch mal, was Du dabei im Sinn hattest.
Außerdem habe ich bei B.21 den Ausdruck "Familie monoton wachsender [mm] $\sigma$-Algebren" [/mm] durch "Filtration" ersetzt. Das ist doch damit gemeint, oder?
So, das war's erst mal. Ich gehe jetzt was essen, schaue aber später auf jeden Fall noch mal rein.
Danke und liebe Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Ich bin nicht sicher, ob ich Deinen Einwand richtig
> verstanden habe. Du schriebst, ich sollte Definition 3.3.2
> im Oksendal ergänzen. Aber die habe ich bis auf den letzten
> Satz ziemlich genau in B.21. Was ich allerdings nicht
> gemacht habe, ist den Abschnitt darunter anzuschauen. Also
> habe ich noch eine Definition hinzugefügt (wie Du es
> vorgeschlagen hast), die die Definition des Ito-Integrals
> wiederholt, dabei aber einen anderen Konvergenzbegriff
> benutzt (wenn ich es richtig verstehe).
Ja, das meinte ich natürlich. Klar. Für mich zählte das zur Definition 3.3.2 dazu.
> Vorher verwendet
> man ja die Quadratmittel-Konvergenz, hier ist es nur noch
> Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Stimmt das so?
Ja.
> Meinst Du,
> ich sollte das auch noch in die Definition mit
> reinschreiben, damit klar ist, welcher Grenzwertbegriff
> jeweils gemeint ist? Außerdem hoffe ich, dass ich die Sache
> mit den Treppenfunktionen richtig aufgeschrieben habe,
> speziell
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty} P\left(\int_0^t|f(\tau,\omega)-f_n(\tau,\omega)|^2\,d\tau> \epsilon\right)=0. [/mm]
> Ich habe das immer noch nicht verinnerlicht :-(
So eine Folge gibt es, richtig. Und dann wird das stochastische Integral als stochastischer Limes definiert.
> Ferner habe ich versucht, die Sache mit der Adaptiertheit anzugleichen. In Def. B.16 und B.21 habe > ich in (ii) jetzt die von Dir präferierte Schreibweise eingefügt. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich ja
> in B.16 [mm]({\cal F}_\tau)_{\tau\in[s,t]}[/mm] verwende,
> und in B.21 [mm]({\cal H}_t)_{t\ge 0}[/mm] . Ich finde die verschiedenen Indexbereiche ein wenig > unschön, aber so macht es halt der Öksendal.
Dann gleich es vielleicht doch besser an. Vermutlich kommst du ja doch mit [mm] ${\cal F}$ [/mm] aus.
> Du hattest in Deiner Mail [mm]({\cal H}_t)_{t\in [0,t]}[/mm] geschrieben, ich nehme an, Du
> meintest [mm]({\cal H}_t)_{t\in[0,T]}[/mm],
Ja, das meinte ich. (Das kommt davon, wenn man in Mails texen will und keine Vorschau hat. )
> aber das wäre nicht korrekt, oder?
Doch, ich denke schon. Das ist ja die ganz allgemeine Definition, wie sie z.B. auch im Arnold steht und bei der auch [mm] $T=+\infty$ [/mm] zugelassen wird und $[0,T]$ in diesem Fall als [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] zu lesen ist. Ist halt eine Konvention. Da du in deiner Diss aber immer [mm] $T<\infty$ [/mm] annimmst, solltest du es besser ändern. Ich habe aber auf solche Details in der Mail auch nicht geachtet, sondern wollte nur schnell die Idee rüberbringen.
> Hier ist ja [mm]t[/mm] nach oben erst mal nicht beschränkt. Oder Du hast es schon gleich auf das
> Integral bezogen, das von 0 bis [mm]t[/mm] definiert wird. Bitte sag mir noch mal, was Du dabei im > Sinn hattest.
siehe oben
> Außerdem habe ich bei B.21 den Ausdruck "Familie monoton wachsender [mm]\sigma[/mm]-
> Algebren" durch "Filtration" ersetzt. Das ist doch damit gemeint, oder?
Ja, das ist das gleiche. "Filtration" ist aber schöner.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ich habe jetzt gerade auch die Mail mit Anhang bekommen. Daher jetzt zu der noch offenen Frage:
> Meinst Du,
> ich sollte das auch noch in die Definition mit
> reinschreiben, damit klar ist, welcher Grenzwertbegriff
> jeweils gemeint ist?
Ja, auf jeden Fall, sonst ist es unsauber. Du müsstest rein theoretisch auch erst einmal schreiben, dass der stochastische Limes überhaupt existiert (denn das ist ja nicht klar), aber das kann man in einem Anhang vielleicht weglassen. Aber auf jeden Fall gehört ein "$P-$" vor das [mm] "$\lim$".
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Do 22.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ich versuche es trotzdem noch mal
[mm] $\mathfrak{F}$ [/mm] und [mm] ${\cal F}$ [/mm] ist doch unterschiedlich, oder?
Und ersteres habe ich fälschlicherweise noch in Def. B.15 (ii) stehen gehabt. Bitte schau noch mal in alten Versionen. Das ist alles, was ich meinte. Natürlich ist damit das [mm] ${\cal F}$ [/mm] gemeint, das ganz am Anfang von B.3 steht. Aber dort ist es im Zusammenhang mit [mm] $X_t$, [/mm] nicht mit [mm] $W_t$.
[/mm]
Bei der Def. der Elementarfunktion wollte ich nichts anderes schreiben als Du. Auch wenn es sich vielleicht so angehört hat. Sorry!
Das ist klar.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Do 22.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also, es tut mir echt leid, ich bin überfordert.
> [mm]\mathfrak{F}[/mm] und [mm]{\cal F}[/mm] ist doch unterschiedlich, oder?
Ja, klar. Das wollte ich auch nie bestreiten.
> Und ersteres habe ich fälschlicherweise noch in Def. B.15
> (ii) stehen gehabt. Bitte schau noch mal in alten
> Versionen. Das ist alles, was ich meinte.
Gut, das war mir schon klar, aber das löst meine Verwirrung nicht.
> Natürlich ist
> damit das [mm]{\cal F}[/mm] gemeint, das ganz am Anfang von B.3
> steht. Aber dort ist es im Zusammenhang mit [mm]X_t[/mm], nicht mit
> [mm]W_t[/mm].
Und das ist mein Problem. Du legst dort eine Filtration für $X$ fest. Dann definierst du einen Wiener-Prozess, indem du sagst, dass er an diese Filtration adaptiert sein soll. Wenn du eine andere Filtration meinst (was ich mittlerweile vermute, du schreibst es ja auch), dann solltest du nicht den Buchstaben verwenden. Ich meine, du schreibst ja einfach nur: Einen stochastischen Prozess nennt man Wiener-Prozess bezüglich [mm] $\mathbb{F}$, [/mm] wenn... (sinngemäß). Wenn du nicht willst, dass man dieses [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] mit dem vorherigen identifizierst, dann solltest du als ersten Satz in der Definition B.13 noch einmal schreiben: "Es sei [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] eine Filtration." Sonst denkt man doch, dass du die Filtration von vorher meinst, oder nicht? Denn die Stelle, wo du [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] einführst, ist ja übergeordnet. Also denke ich doch als dummer Leser, dass immer, wenn [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] vorkommt, das übergeordnete [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] gemeint ist, das ganz am Anfang des Abschnittes genannt wird. Jedenfalls solange nichts anderes gesagt wird. Ich würde sowieso, wie gesagt, den einleitenden Satz in B.3 in die erste Definition mit reinnehmen. Denn sonst sieht es so aus, als wäre er für den Abschnitt übergeordnet, aber du brauchst die Dinge ja später gar nicht mehr und verwendest sogar [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] ansonsten stets in einem anderen Zusammenhang.
Jetzt noch etwas: Da du ja sowieso [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] nicht als kanonische Filtration benennst (eigentlich nirgendswo, oder aber ich sehe es nicht), macht es auch keinen Sinn mehr an einer Stelle später die Filtration anders zu bezeichnen, nämlich mit [mm] $({\cal H}_t)_{t \ge 0}$. [/mm] denn was unterscheidet das [mm] $({\cal H}_t)_{t \ge 0}$ [/mm] denn jetzt noch von dem ursprüglichen [mm] $({\cal F}_t)_{t \ge 0}$? [/mm] Eigentlich gar nichts. Als ich dir geraten hatte [mm] $({\cal H}_t)_{t \ge 0}$ [/mm] zu wählen, war ich noch davon ausgegangen, dass du mit [mm] $({\cal F}_t)_{t \ge 0}$ [/mm] die kanonische Filtration bezeichnest, aber das sehe ich jetzt nicht mehr.
Ich hoffe ich habe mich jetzt klarer ausgedrückt und wir reden nicht wieder aneinander vorbei.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Do 22.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ich weiß jetzt, was Du meinst. Allerdings dachte ich, ich hätte nun alles verstanden. Aber mittlerweile weiß ich gar nicht mehr, was ich eigentlich schreiben soll und welche Filtration (kanonisch oder nicht) wo hingehört. Das liegt aber nicht an Dir, sondern an meinem Unwissen. Ich werde jetzt noch mal über alles nachdenken und nachlesen und präsentiere Dir dann hoffentlich irgendwann eine vernünftige Lösung. War denn sonst alles OK, mal abgesehen von dem Filtrationsproblem?
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Do 22.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also, ich versuche jetzt noch einmal alles so zusammenfassen was ich meine. Wenn du das dann alles einfach so änderst, müsste es in Ordnung sein.
1) Streiche den Satz vor Definition B.12.
2) Füge diesen Satz stattdessen in die Definition B.12 ein. Bei den "üblichen Bedingungen" würde ich auf die entsprechende Definition verweisen (B.4).
3.) In Definition B.13 würde ich schreiben: ... nennt man Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess) bzgl. einer Filtration [mm] ${\mathbb F}\red{=({\cal F}_t)_{t \ge 0}}$, [/mm] falls er folgende Eigenschaften besitzt: ...
4.) Definition B.21 Es seien $0 [mm] \le [/mm] s < t < [mm] \infty$ [/mm] beliebig gewählt und [mm] $(W_{\tau})_{\tau \in [s,t]}$ [/mm] ein Wiener-Prozess bezüglich einer Filtration [mm] $({\cal F}_{\tau})_{\tau \in [s,t]}$. [/mm] Mit [mm] ${\cal W}(s,t)$ [/mm] (als Erweiterung von [mm] ${\cal V}(s,t)$) [/mm] bezeichnen wir die Klasse von Funktionen
$f : [mm] [0,\infty) \times \Omega \to \IR$
[/mm]
mit den Eigenschaften:
(i) $f$ ist [mm] ${\cal B}([0,\infty)) \otimes {\cal A}$-messbar,
[/mm]
(ii) $f$ ist an [mm] $({\cal F}_{\tau})_{\tau \in [s,t]}$ [/mm] adaptiert,
(iii) [mm] $\int_s^t f(\tau,\omega)^2 d\tau [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] $P-f.s.$.
Ferner setzen wir [mm] ${\cal W}= \bigcap\limits_{u>0}{\cal W}(0,u)$.
[/mm]
5.) Dementsprechend Definition B.22 und B.23 angleichen.
> Das liegt
> aber nicht an Dir, sondern an meinem Unwissen.
Das ist natürlich Quatsch. Offenbar habe ich es mal wieder überhaupt nicht geschafft mein Problem vernünftig zu vermitteln. Traurig, aber wahr.
> Ich werde
> jetzt noch mal über alles nachdenken und nachlesen und
> präsentiere Dir dann hoffentlich irgendwann eine
> vernünftige Lösung.
Ich denke es geht jetzt, so wie oben skizziert, gut durch.
> War denn sonst alles OK, mal abgesehen
> von dem Filtrationsproblem?
Ich habe mir die anderen Dinge jetzt nicht noch einmal näher angeschaut. Aber ich habe auch den Überblick komplett verloren. Am besten du arbeitest das jetzt mal ein und schickst mir dann noch mal eine neue Fassung. Dann schaue ich den ganzen Anhang noch einmal komplett durch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ich sollte sorgfältiger lesen:
> Ich finde die verschiedenen Indexbereiche ein wenig unschön, aber so macht es halt der Öksendal.
Dir ging es also gar nicht um [mm] ${\cal H}$ [/mm] oder [mm] ${\cal F}$ [/mm] (umso besser, dann lass [mm] ${\cal H}$), [/mm] sondern um den Indexbereich. Entschuldige. 
Ja, das würde ich anpassen: Als Grundvoraussetzung schreibst du vielleicht ganz am Anfang in die Definition: Es existiere eine Filtration [mm] $({\cal H}_{\tau})_{\tau \in [s,t]}$, [/mm] so dass [mm] $(W_t,{\cal H}_{\tau})_{\tau \in[s,t]}$ [/mm] ein Martingal ist.
Mit ...blablabla...
(ii) $f$ ist adaptiert an [mm] $({\cal H}_{\tau})_{\tau \in [s,t]}$.
[/mm]
Das ist viel schöner so, auf jeden Fall, da gebe ich dir Recht. Ich weiß nicht, warum der Oksendal das so schlecht macht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Wie kommst du eigentlich auf den Betreff "Stochastik 4"?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Vielen Dank für all Deine Antworten. Da habe ich ja heute doch wieder einiges verstanden
Das Problem ist wohl, dass später bei der Definition des Ito-Prozesses das Integral auch nur für [mm] $\int_0^t$ [/mm] und nicht für [mm] $\int_s^t$ [/mm] definiert wird. Meinst Du, ich sollte das an der Stelle allgemeiner halten (in Analogie zur Einführung des Ito-Integrals)? Ich bin da wirklich unsicher, wie man das am besten aufschreibt, obwohl es wahrscheinlich völlig belanglos ist.
Wenn ich beim einen dann P-lim schreibe, muss ich aber auch den Limes im Quadratmittel erläutern. Wäre es dann nicht einfacher, das in Worten dahinter zu schreiben? Oder ich führe noch qm-lim ein (oder ähnlich, so stand es glaube ich im Arnold), dann wird auch mein Syntaxverzeichnis etwas größer
Liebe Grüße
Brigitte
P.S.: Den Betreff habe ich anders gewählt, aber nicht darauf geachtet, dass beim Aktualisieren der Vorschau wieder ein anderer Betreff gewählt wurde (der war defaultmäßig eingestellt; weiß nicht, wieso).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Das Problem ist wohl, dass später bei der Definition des
> Ito-Prozesses das Integral auch nur für [mm]\int_0^t[/mm] und nicht
> für [mm]\int_s^t[/mm] definiert wird. Meinst Du, ich sollte das an
> der Stelle allgemeiner halten (in Analogie zur Einführung
> des Ito-Integrals)?
Ja doch, das solltest du schon. Schließlich kann es doch sein, dass in deiner Arbeit auch mal stochastische Integrale von $t$ bis $T$ vorkommen, oder? Und jetzt, an der eingefügten Stelle kurz vor der neu definierten Ito-Prozessen, definierst du ja erst das stochastische Integral in der allgemeinen Form (das war mir bisher gar nicht aufgefallen, dass du das noch gar nicht gemacht hattest, sonst hätte ich da schon vorher was zu gesagt). Sprich: Die neu eingefügte Definition ist nicht nur für die Ito-Prozesse wichtig, sondern erst die eigentliche Definition des stochastischen Integrals in der (in diesem Zusammenhang) allgemeinsten Form. Und diese Definition sollte möglichst allgemein gehalten werden.
> Wenn ich beim einen dann P-lim schreibe, muss ich aber auch
> den Limes im Quadratmittel erläutern.
Huups, stand da bisher auch einfach nur [mm] $\lim$ [/mm] ? Dann habe ich das ebenfalls bisher übersehen. :-( Da muss auf jeden Fall was davor. Statt $qm-$ wie im Arnold würde ich eher [mm] ${\cal L}^2-$ [/mm] schreiben, denn das ist einprägsamer (weil es ja ein [mm] $L^2$-Limes [/mm] ist). Den könnte man dann auch noch kurz erläutern. Meinetwegen so: [mm] ${\cal L}^2-\lims \ldots [/mm] = [mm] \ldots$, [/mm] d.h. [mm] $\ldots$
[/mm]
Ich formuliere das morgen aus, wenn ich deine Diss vor mir liegen habe.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Do 22.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also, ich würde es jetzt so machen (ist nur ein Vorschlag):
Definition B.19 Für eine Funktion $f [mm] \in {\cal V}(s,t)$ [/mm] ist das Itô-Integral von $s$ bis $t$ definiert durch
[mm] $\int_s^t f(\tau,\omega) \, dW_{\tau}(\omega) [/mm] = [mm] {\cal L}^2\mbox{-}\lim\limits_{n \to \infty} \int_s^t \phi_n(\tau,\omega)\, dW_{\tau}(\omega)$,
[/mm]
d.h. es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] E [mm] \left[ \left( \int_s^t f(\tau, \omega) \, dW_{\tau}(\omega) - \int_s^t \phi_n(\tau, \omega)\, dW_{\tau}(\omega) \right)^2 \right] [/mm] =0$,
wobei [mm] $(\phi_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge von Elementarfunktionen ist mit
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] E [mm] \left[ \int_s^t (f(\tau,\omega) - \phi_n(\tau,\omega))^2\, d\tau \right] [/mm] = 0$.
Kannst du dir ja überlegen...
Liebe Grüße
Stefan
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