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Reaktion - erwünscht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Sa 19.05.2018
Autor: Maxi1995

Aufgabe
Um vom (Tunnel-)Eingang bis zur Stelle x + h zu kommen, braucht die Ameise die Zeit t(x + h), bis zur Stelle x benötigt sie die Zeit t(x), also braucht sie, um von der Stelle x bis zur Stelle x + h voranzukommen, die Zeit t(x + h) - t(x).

Was lässt sich über diese Zeitspanne aussagen?

Nun, stellen wir uns h als ein Sandkorn vor. Die Zeitspanne, um dieses Korn zum Tunneleingang zu tragen (und dort in die Tiefe fallen zu lassen), wird von der Weglänge x abhängen. Ist x etwa 2 cm, so wird die Ameise für das Hin­ und Herlaufen doppelt so lange brauchen wie für 1 cm - gleichbleibende Emsigkeit (Geschwindigkeit) vorausgesetzt. Zur doppelten Tunnellänge x gehört also (bei festem kleinen h) der doppelte Zuwachs an Bauzeit. Wir setzen also an:

Zuwachs der Bauzeit an der Stelle x proportional zu x oder

(2) | t(x + h) - t(x) proportional zu x | (h fest)

Man beachte, dass (2) nur bei festgehaltenem h gilt (nur dann hat man ein festes Sandvolumen, das transportiert wird).

Wie steht es, wenn nun bei festgehaltenem x der Zuwachs h variiert? Damit die Änderung von h keinen nennenswerten Einfluss auf die Laufstrecke hat, stellen wir uns vor, dass h nur innerhalb der Greifweite der Ameise variiert, d. h. genügend klein ist. Unter dieser Voraussetzung ist es vernünftig davon auszugehen, dass der Zeitbedarf t(x + h) - t(x) bei festem x proportional ist zum Tunnelvortrieb h. Wir setzen also an:

(3) | t(x + h)-t(x) proportional zu h| (x fest, h klein)

(Um die Berechtigung dieses Ansatzes einzusehen, mache man sich klar, dass eine Verdoppelung von h eine Verdoppelung des wegzuschaffenden Sandvolumens bedeutet, die Ameise denselben Weg x also doppelt so oft laufen muss.)

Die Ableitung kommt ins Spiel

Jetzt gilt es, die Abhängigkeiten (2) und (3) zusammenzuführen. Dazu erinnern wir uns, dass eine Größe, die zu zwei anderen proportional ist, auch zu deren Produkt proportional ist. Also haben wir

|t (x + h) - t(x) proportional zu x h| (für kleine h), d.h.

(4) |t(x + h) - t(x) = kxh| (für jedes x und kleine h).


Hallo,
ich poste bewusst hier, weil ich die fraglichen Punkte auf einem meiner Meinung nach analytisch vertieften Niveau betrachten will.
Es geht mir konkret darum es formal suaber zu zeigen, dass die Proprtionalitäten (2), (3) und (4) gelten. Meine Idee wäre gewesen, die Länge des Tunnels äquidistant mit h anzusetzen und hierdurch die Proportionalitäten bei (2) und (3) zu zeigen, dh. nachzuweisen, dass
für (2) bei h fest und x variabel [mm] $\frac{t(x+h)-t(x)}{x}*\frac{y}{t(y+h)-t(y)}=1$ [/mm] gilt
und für (3) bei x fest und h (klein) variabel [mm] $\frac{t(x+h_1)-t(x)}{h_1}*\frac{h_2}{t(y+h_2)-t(y)}=1$ [/mm] gilt.
Jetzt stehen ja oben schon Argumente, ich würde es gerne aber formal zeigen. Ich stehe jetzt vor dem Problem, dass ich mit dem äquidistanten Ansatz für (2) etwas zeigen konnte, mir aber nicht sicher bin, ob es passt. Bei (3) stehe ich leider ziemlich auf dem Schlauch, weil ich es nicht hinkriege, auf 1 zu kürzen.
Allgemein war meine Idee, die Erkenntnisse zu der Proportionalität auf Basis der äquidistanten Zerlegung auf stetige Abläufe hochzukriegen. In anderen Worten soll $h [mm] \rightarrow [/mm] 0$ gelten, was mich aber vor das Problem stellt, dass dann die Wegstrecke der Ameise gegen unendlich geht. Hat nämlich ein Tunnel die Länge x und ich teile ihn in n Teile, so ist die Länge h dieser Teile [mm] $h=\frac{x}{n}$. [/mm] Lasse ich dieses h jetzt gegen 0 gehen, so gilt $n [mm] \rightarrow \infty$. [/mm] Für die zurückgelegte Wegstrecke s gilt (also alle Hin- und Herbewegungen zum Ausräumen eines Tunnelstückes der Länge x), dass $s(x)=n(n+1)h$. Aber mit unserem h wird s(x) zu $(n+1)x$, in anderen Worten wird die Ameise also niemals fertig.
Grundsätzlich stellt sich also die Frage, wie zeige ich es allgemein? Kennt jemand einen Beweis zu (4)?
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe, da ich das für eine Prüfung brauche.


        
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Reaktion - erwünscht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Sa 19.05.2018
Autor: leduart

Hallo
ich verstehe deinen Ansatz nicht, die Ameise läuft mit konsanter Geschwindigkeit v den Weg 2x
dann ist 2x=t*v  oder t(x)= 2/v*x  t(x+h)-t(x)=2/v*2h  und sicher nicht proportional zu x . unabhängig davon, wie groß h ist . Anscheinend suchst du eine Differentialgleichung? Aber da die funktion unter deiner Annahme so einfach ist idt wohl die einzige mögliche Dgl dx/dt=v=konst.
Gruß ledum

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Mo 21.05.2018
Autor: Maxi1995

Lieber Leduart,
ich danke dir für deine Antwort. Ich kann es leider nicht mehr in einen Fragenartikel umwandeln. Genau, das letzte Ziel ist die Suche nach einer DGL, die uns t liefert. Leider scheint sich aber ein Missverständnis eingeschlichen zu haben, die Zeit t gibt an, wie lange die Ameise für einen Tunnel der Länge x braucht, damit kann man also auch mehrere Wegpassagen haben um etwas zum Tunnelausgang zu tragen. Das t zu dem wir letzten Endes wollen ist eine Funktion 2-ten Grades.

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Do 24.05.2018
Autor: leduart

Hallo
ist es nicht richtig, dass x die Länge des Weges der Ameise bedeutet? diesen läuft sie mit fester Geschwindigkeit v, und kann dabei ein Sandkorn tragen? (oder läuft sie auch mit 2 Sk und dann langsamer?)
dann ist immer noch [mm] t(x)=x/v_i; [/mm] ( i= Zahl der getragenen Sk)
jetz kommt offensichtlich die Zeit um ein Sandkorn zu greifen dazu, dann wäre t(x+h)-t(x) =Arbeitszeit
irgendwie verstehe ich deinen Ansatz mit (t(x+h)-t(x) proportional x nicht.
wenn du eine quadratische Funktion vermutest, warum setzt du nicht einfach eine an und bestimmst die Koeffizienten aus deinen Annahmen.
Sandkorn hat die Länge h und Ameise kann h weit greifen? wieviel länger wird der Tunnel bei Wegtransport von 1 oder n Sk?
Gruß leduart

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mo 18.06.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Leduart,
es handelt sich hierbei um einen Unterrichtsvorschlag für eine 11. Klasse. Der Vorschlag soll im Rahmen der Differenzialrechnung die Möglichkeit bieten die Vorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate zu vertiefen. Entsprechend wird über die 2 Proportionalität versucht einen Differenzenquotienten zu kriegen, mit dem man dann die Vorstellung der Ableitung aufgreift und zu der Funktion 2. Grades gelangt. Im Endeffekt ist also die Antwort auf deine Frage, warum diese Vorgehensweise verwendet wird, weil es der Unterrichtsvorschlag so vorsieht.
Die Proportionalität zu x habe ich schon, wohingegen die Proportionalität zu h bei (3) wesentlich schwieriger zu finden ist. Im Endeffekt ist die Idee dann zu sagen, dass die Funktion in einer Variablen proportional zu x bzw. h ist und somit proportional zu xh. Dann kann man durch h teilen und erhält einen Differenzenquotienten.

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Reaktion - erwünscht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 Do 24.05.2018
Autor: meili

Hallo Maxi,

meiner Ansicht nach gelten (2) und (3) wegen den Vorausetzungen der
Aufgabe, des Ameisenmodells und stehen formal schön genug da.

Daraus wird dann (4) gefolgert. Zum Beweis wird ein Satz sinngemäß zitiert.


Um nun weiter zu einer Funktion t(x) zu kommen, würde ich folgendermaßen vorgehen:

Für h klein, aber h [mm] $\not=0 [/mm] (4) durch h teilen:

[mm] $\bruch{t(x+h)-t(x)}{h} [/mm] = kx$


Linke Seite sieht aus wie der Differenzenquotient der Funktion t(x).
Mit dem Grenzübergang [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}$, [/mm] entsteht der Differenzialquotient,
also erhält man die Ableitung (auf der rechten Seite ist
kein h dabei, so ändert sich nichts beim Grenzübergang):

$t'(x) = kx$


Um zu t(x) zukommen, integrieren:

$t(x) = [mm] \bruch{1}{2}kx^2 [/mm] +c$

Wenn t(0)=0 vorausgestzt werden kann, ist c = 0.

Gruß
meili

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Reaktion - erwünscht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mo 18.06.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Meili,
ich danke dir für deine Antwort. Mein Kommilitone und ich haben versucht das allgemeiner zu zeigen, weil uns die dargebotenen Argumente nicht ausgereicht haben. Wir haben den Ansatz gewählt $d(x,h)=t(x+h)-t(x)$, was mit festem [mm] $x_0$ [/mm] zu [mm] $d(x_0,h)$ [/mm] wird. Offenbar ist für h kleiner der maximalen Traglast der Ameise die Annahme passend, dass sie ohne Verzögerung zugreift und wendet. Mit dieser Annahme erhält man [mm] $d(x_0,h)=2*\text{Zeit zum Ausgang}$, [/mm] gehen wir jetzt über zur physikalischen Arbeit und unterstellen eine pro Zeiteinheit konstante Arbeit $ A _ Z $, so ergibt sich [mm] $d(x_0,h)=2*\text{Zeit zum Ausgang} =\frac{A}{A_Z} [/mm] $, was man weiter unter Verwendung von $A = [mm] F*x_o$ [/mm] sowie F = m*a umformen konnte (insbesondere ist die Masse proportional zu h vermittelst der Formel m=„Tunnelquerschnitt“*h).

Man erhält abschließend:

[mm] $d(x_0,h)=\frac{a*x_0*\text{Tunnelquerschnitt}}{A_Z}*h$. [/mm]

Geht man von vereinfachenden Annahmen aus, so kann man den 1. Teil als konstant annehmen. Allerdings bereitete uns a Kopfzerbrechen, weil bei einer konstanten Geschwindigkeit die Beschleunigung ja 0 ist. Dementsprechend könnten wir mit diesem Ansatz höchstens für eine sehr kleine konstante Beschleunigung [mm] $\epsilon>0 [/mm] $ eine Aussage treffen.
Wie würdest du diesen Ansatz einschätzen und siehst du eventuell einen Weg, der diese Zusatzannahme der konstanten Beschleunigung umgehen würde?

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Reaktion - erwünscht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Do 21.06.2018
Autor: leduart

Hallo
so wie die Diskussion hier läuft ist das sicher keine gute aufgabe um bei der einführung oder Vertiefung von differentiation zu helfen.
Für mich ist die Aufgabe wieterhin nicht klar.
1. bewegt sich die Ameise in dem Tunnel mit konstanter Geschwindigkeit, oder hängt die Geschwindigkeit von ihrer Last, also etwa 1 oder 2 Sandkörnern ab? geht sie langsamer, je weiter der Weg ist? weil sie ermüdet? usw dann muss man aber sagen dass  (x+h-x)/(t(x+h)-t(x)) also die Geschwindigkeit auf dem Stück h deiner Meinung nach proportional zu 1/x ist also um so kleiner je länger der Weg? aber davon steht nichts in dem Modell. Also ist deine Proportionalität von (t(x+h)-t(x)=k*x einfach eine Annahme über die Art der Ermüdung der A.
irgendwie erscheint mir das eigenartig.
Am Ende willst du etwas haben wie [mm] t(x)=ax^2+bx+c? [/mm] wegen t(0) =0  c=0 oder t(0)=Abladezeit?
Falls sie sich mit fester Geschwindigkeit bewegt, sehe ich nicht ein dass  (t(x+h)-t(x)) proportional zu x sein soll, denn egal wie weit x ist, x+h ist eben nur h weiter und wieso sollte die Zeitdifferenz (nicht die Zeit selbst) von x abhängen. wenn du mir das nicht erklären kannst, dann sicher auch nicht SuS!
falls du so etwas wie [mm] t(x)=ax^2+bx [/mm] haben willst ist dt/dx=1/v=2ax+b
also ihre Geschwindigkeit von der Länge des Weges abhängig mit v=1/(2ax+b)
wie willst du das begründen, wenn du jemals Ameisen zugesehen hast?
Gruß ledum

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:37 Fr 22.06.2018
Autor: HJKweseleit

Wenn du mal angibst, wie die DGL überhaupt aussehen soll (also unabhängig von der Geschichte) oder die gesuchte Funktion, ist es leichter, sich deine Argumentation zu erklären und dir ggf. Tipps zu geben.

Im ersten Moment dachte ich, du willst auf eine e-Funktion hinaus (Änderungsrate prop. zur bereits vorhandenen Zeit und prop. zu einer Spanne h), dann sehe ich, dass jemand mit einer quadratischen Funktion hantiert und dann geht es um Beschleunigungen.

Du schreibst z.B.
"Zuwachs der Bauzeit an der Stelle x proportional zu x",
aber nicht der Zuwachs, sondern die Bauzeit selber ist proportional zu x (oder: Der Zuwachs der Bauzeit ist prop. zum Zuwachs von x).

Ich verstehe weder

$ [mm] \frac{t(x+h_1)-t(x)}{h_1}\cdot{}\frac{h_2}{t(y+h_2)-t(y)}=1 [/mm] $

noch
(4) |t(x + h) - t(x) = kxh| (für jedes x und kleine h).
Meinst du hier: |t(x + h) - t(x)| = kxh?  oder k*h?

Wie soll ein Schüler der 11 damit klarkommen???

Soll das Ziel sein, überhaupt zu erklären, was eine DGL ist, oder willst du auf eine ganz bestimmte Lösung hinaus?

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Fr 22.06.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Leduart und  HJKweseleit,
Ich möchte bemerken, dass ich mir nicht diese Aufgabe überlegt habe, sondern dass sie aus einer Materialsammlung der ISTRON-Gruppe stammt, entsprechend kann man hier auch von einer Peerreview ausgehen.
Ich werde für mich eure Bemerkungen verarbeiten und an der Klarheit und wohl auch Richtigkeit des Vorschlages tüfteln. Ich danke euch für eure Hilfe.

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Mo 25.06.2018
Autor: HJKweseleit

Mir ist immer noch nicht klar, wohin alle diese Überlegungen führen sollen: Willst du auf Differenzen hinaus, die zum Differenzenquotienten führen sollen (Einstieg in die Differenzialrechnung), auf Differenzialgleichungen oder eine spezielle Lösung solch einer Differenzialgleichung. In dem Beispiel sollte doch auch stehen, was man am Ende als Ergebnis erwartet. Wenn wir das wissen, können wir dir auch Tipps geben.

Ich habe den Vorgang bisher so verstanden:

Eine Ameise fängt an, einen Tunnel zu graben. Ihre Armlänge ist h. Sie räumt einen Gang der Länge h frei und legt den Abraum draußen ab, geht dann einen Schritt h vorwärts in den Tunnel, räumt das nächste h frei und geht h zurück zum Ausgang, um das Material abzulegen. Dann geht sie 2 h vorwärts, räumt h ab, 2 h rückwärts zur Materialablage, 3 h vorwärts, 3 h rückwärts  usw. usw.

Wenn die Gesamtlänge x = (n+1)*h beträgt, ist sie zuletzt vom Eingang bis n*h und zurück gegangen. Dann ging sie insgesamt die Länge
[mm] 2*(h+2h+3h+...+nh)=2h(1+2+3+...n)=2h\bruch{n(n+1)}{2}=hn(n+1)=(x-h)(n+1)\approx [/mm] x*n  (falls h viel kleiner als x und damit n ganz groß wird).

(Anschaulich klar: Wenn x=h*n ist, räumt die Ameise n mal ab und muss 2n Hin-und Rückwege zurücklegen. Der erste Weg hat die Länge 0, der letzte die Länge x, also ist jeder Weg wegen des linearen Zusammenhangs im Durchschnitt x/2 lang, und damit legt sie 2n*x/2 = nx, also n mal den Weg x zurück.)

Dauert das einmalige Zurücklegen der Strecke x die Zeit T, so dauert nun der ganze Vorgang die Zeit t=n*T.

Das bedeutet:
Für festes h ist die Zeit T propotional zu x und eben so zu n, also t proportional zu [mm] x*x=x^2. [/mm]
Für festes x ist T fest und damit t proportional zu n, geht also mit kleiner werdendem h gegen [mm] \infty [/mm] (Ameise kommt kaum vorwärts, rennt aber andauernd hin und her).

Willst du das damit zeigen? Versteht das jemand in Klasse 11? Welchen Mehr- oder Nährwert hat das für den Unterrichtsstoff, außer, dass man so vielleicht zur Summenformel für die Zahlen von 1 bis n angeregt wird?


Im Übrigen stimmt deine Aussage
"Unter dieser Voraussetzung ist es vernünftig davon auszugehen, dass der Zeitbedarf t(x + h) - t(x) bei festem x proportional ist zum Tunnelvortrieb h" nicht: Wenn der Tunnelvortrieb größer wird, die Ameise also im nächsten Schritt mehr schafft, aber mit der selben Geschwindigkeit den Abraum wegschafft, ist bei gleichem (!) Zeitzuwachs (ein Hin- und Rücklauf) der Vortrieb größer. Meine Formel oben zeigt: Größere Schritte dann kleineres n dann weniger Zeit.



Im nächsten Artikel mache ich dir einen Vorschlag.

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Reaktion - erwünscht: Vorschlag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mo 25.06.2018
Autor: HJKweseleit

Hier ein Vorschlag, falls es das ist, was du suchst:

Eine Ameise gräbt einen Tunnel. (Der Abraum wandert per Fließband nach draußen). Mit jedem Schritt wächst der Tunnel um die Länge h, aber für jeden Schritt wächst die Zeit für das Zurücklegen von h proportional zur schon zurückgelegten  Weglänge x, weil die Arbeit schwer ist und die Ameise schnell ermüdet. (Oder: Die Vortriebszeit pro mm wächst proportional zur zurückgelegten Strecke x, weil die Steinhärte linear mit x ansteigt.)

Bisher zurückgelegt: x
Dauer für den nächsten Schritt: k*x*h , k = Ameisenkonstante
Zeitzunahme für den nächsten Schritt: t(x+h)-t(x).

Das Ganze führt zur Gleichung

dt=kxdx und damit auf t = [mm] 0,5x^2 [/mm] (+C)


Bei diesem Modell wäre die Zeit t=0 für x=0, die Ameise wäre anfangs unendlich schnell. Realistischer ist, dass die Zeit (oder die Steinhärte) mit einem festen Wert a beginnt und linear ansteigt:

dt = (a+kx)dx, das führt auf t = ax + [mm] 0,5kx^2 [/mm]  (+C).

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Mi 27.06.2018
Autor: Maxi1995

Hallo HJKweseleit,
die Idee ist die Schüler einen Modellierungskreislauf durchlaufen zu lassen, damit ist der konkrete Lerneffekt, der angestrebt wird, dass die Schüler sozusagen vorbereitend wissenschaftliche Arbeitsweisen kennenlernen. Der Vorschlag stammt aus den Materialien der ISTRON-Gruppe, was nach meinem Kenntnisstand auch eine Peerreview einschließt. Das Ziel dieses Vorschlages ist es aus einigen Grundannahmen, die ich auf Basis meines obigen Textzitates angedeutet habe eine Funktion abzuleiten. Entsprechend ist das Ziel unklar, was konstitutiv ist für diesen Aufgabentyp und wir wollen sehen wohin uns die Proportionalitäten führen.
Wenn die Ameise an der Stelle x steht, und wir unterstellen es gibt eine maximale Zuladung, dann gilt, wenn wir annehmen, dass sie für das Wenden  keine Zeit braucht und sie auch nicht ermüdet, sich also mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, dass die Strecke x mit konstanter Geschwindigkeit gelaufen wird und wir für die Zeitdifferenz $t(x+h)-t(x)$ nach einem geraden vielfachen der Zeit zum Ausgang (abhängig von x) suchen, die ich für eine Weglänge x brauche. h wird hier so interpretiert, dass es innerhalb der Greifweite der Ameise liegt, sodass sie immer von x aus zugreifen kann und dann ohne Zeitverlust wendet und mit konstanter Geschwindigkeit zurücklaufen kann.
Ich habe mich allerdings auch schon gefragt, ob der Vorschlag für Schüler der 11. Klasse adäquat ist. Mich würde interessieren, welche Verständnisproblematiken du hier sehen würdest.
Viele Grüße
Maxi

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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:03 Do 28.06.2018
Autor: HJKweseleit

Das ganze Problem krankt daran, dass die Situation unklar dargestellt wird. Du schreibst:


Aufgabe
Um vom (Tunnel-)Eingang bis zur Stelle x + h zu kommen, braucht die Ameise die Zeit t(x + h), bis zur Stelle x benötigt sie die Zeit t(x), also braucht sie, um von der Stelle x bis zur Stelle x + h voranzukommen, die Zeit t(x + h) - t(x).

Was lässt sich über diese Zeitspanne aussagen?

Und dann bekommst du Schwierigkeiten mit h.


Korrektur:

Eine Ameise gräbt einen Tunnel. Den Abraum kann sie immer nur in winzigen, festen Portionen der Menge r zum Ausgang zurücktragen. Dabei läuft sie den ganzen Tag mit der selben Geschwindigkeit. Im Gegensatz zur Laufzeit benötigt sie für das Graben (fast) keine Zeit, weil der Boden ganz locker ist. Rest wie oben.

Jetzt ist klar: Wenn die Ameise nun ihren Arm länger ausstreckt und sich damit der Vortrieb h verdoppelt, muss sie auch doppelt so oft laufen (wobei sich x nicht verlängert, sie macht nur ihren Arm länger), und somit verdoppelt sich der Zeitzuwachs. Die für ein festes x benötigte Laufzeit wird jetzt proportional zum Vortrieb h, und du hast auch keine Probleme mehr mit den Proportionalitäten: Wenn h kleiner als r ist, gräbt sie erst mal (ohne Zeitverlust) weiter, so dass auch hier kein Problem entsteht. (Ein Schlauberger könnte fragen, was geschieht, wenn h = 1,5r ist: Dann trägt die Ameise r weg und geht dann noch r/2 vor, hat also beim nächsten Wegtragen einen etwas längeren Weg?)

Ohne Korrektur gäbe es keinen Grund, wieso dt [mm] \sim [/mm] h sein sollte, denn bei größerem h könnte die Ameise eben mehr wegtragen, und dt würde sich nicht ändern.

Auch kommst du nicht zu unendlichen Laufzeiten, weil r fest ist, sondern tatsächlich zu dt [mm] \sim [/mm] x*h = x dx, was bei deinen Überlegungen vorher irgendwie nicht der Fall war.

(Tatsächlich ergibt sich die in meinem anderen Beitrag hergeleitete Summenformel, auf die du aber hier gar nicht eingehen musst.)

Das Produkt aus dem Differenzenquotienten und dem auf dem Kopf stehenden Differenzenquotienten mit y (was sollte y sein?) zu 1 habe ich überhaupt nicht verstanden: Es gibt nur einen Differenzenquotient, den hättest du durch x*h dividieren müssen, und dann muss nicht 1, sondern irgendein Proportionalitätsfaktor herauskommen.

Dass die Eigenschaften t [mm] \sim [/mm] x bei festem h und t [mm] \sim [/mm] h bei festem x auf t [mm] \sim [/mm] hx führt, lässt sich leicht an Beispielen zeigen. Das solltest du aber in der Stunde vorher erledigen, damit die Schüler nicht mit mehreren Problemen gleichzeitig kämpfen müssen.

Ohne die obige Korrektur ist die ganze Situation unklar, du musst dann nachträglich Zusatzannahmen einfließen lassen, während die Schüler schon in eine ganz andere Richtung gedacht haben und dadurch nicht mehr klar kommen.


Abstrakter Beweis:
A [mm] \sim [/mm] x bei festem h
A [mm] \sim [/mm] h bei festem x

Wir bilden den Bruch [mm] \bruch{A}{hx}. [/mm]

Was geschieht, wenn wir x verdoppeln, verdreifachen, halbieren,..., aber h konstant lassen?

Dann verdoppelt, verdreifacht,... sich A wegen der Proportionalität im Zähler und x im Nenner, der Bruch verändert seinen Wert aber nicht!

Wenn wir nun daa selbe mit h machen und x konstant halten, verändert sich der Wert des Bruches ebenfalls nicht. Also hat der Bruch immer den selben Wert k=konstant, und es ist

A=kxh.



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Reaktion - erwünscht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Do 28.06.2018
Autor: leduart

Hallo Maxi
kannst du mal die Orginalseite von INSTRON angeben, wo man diesen vorschlag findet, ich hab mal danach gesucht, aber nur vernünftiger Vorschläge gefunden. von Peer review merkt man allerdings auf den Seiten nichts.
gruß ledum

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Reaktion - erwünscht: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:21 So 01.07.2018
Autor: Maxi1995

Lieber HJKweseleit,
ich antworte hier und auch gleich noch auf deinen unteren Post. Ich möchte dir erst einmal für deine ganzen Tipps danken. Auf deine Frage, woher du das alles weißt, würde ich antworten, weil es in deinem Profil steht, dass du Lehrer bist. :)
Ansonsten finde ich den Ansatz unten zur Proportionalität zu kxh, ansprechend.
Ich hatte für mich nach einem abstrakten Beweis gesucht, warum die Proportionalitäten, die du dort voraussetzt gelten. Entsprechend hatte ich dann beim 1. Teil keine weiterführenden Probleme, und habe dann für die Proportionalität A $ [mm] \sim [/mm] $ h bei festem x versucht über den Arbeitsbegriff hier auf die Proportionalität zu kommen. Da ich in der Grundannahme die konstante Geschwindigkeit hatte, war der gesamte Ausdruck [mm] $\frac{A}{A_{\text{pro Zeiteinheit}}}$ [/mm] 0 geworden (da Beschleunigung=0), weswegen ich dann um zumindest in Näherung von einer Proportionalität sprechen zu können von einer sehr kleinen konstanten Beschleunigung ausgegangen bin, um noch in etwa im Rahmen der Modellannahmen bleiben. Siehst du mit den Annahmen aus deinem beitrag einen Weg, das auszubügeln?

Lieber Leduart,
das findet sich in Bad 7 der ISTRON-Materialien, die noch bei Franzbecker erschienen sind. Die beiden Autoren sprechen dort von einem Hinweis auf eine problematische Diskretisierung des Problems, auf die sie von einem Dritten hingewiesen worden seien.

Ich wünsche euch beiden noch einen schönen Tag.


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Reaktion - erwünscht: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 09.07.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Reaktion - erwünscht: Tipps
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 01.07.2018
Autor: HJKweseleit

Hier noch ein paar Tipps für Unterrichtsbesuche von einem Klugscheißer (falls du das nicht schon weißt):

1. Gib keine Hausaufgaben zu einer solchen Stunde auf, es sei denn, sie dienen der direkten Vorbereitung auf das Thema (z.B. "Schauen Sie sich noch mal die Definition des Differenzenquotienten an" usw.).
Wenn du Hausaufgaben aufgibst, wirst du sie auch kontrollieren. Wozu gibst du sie sonst auf? Das könntest du ja dann auch unterlassen, wie ich dir empfehle. Wenn dann ein Schüler Fragen dazu stellt, müsstest du schon darauf eingehen, denn wozu kontrollierst du sonst? Und wenn du darauf eingehst und die Fragen nicht sofort zufriedenstellend beantworten kannst, geht dir die Zeit flöten, die du für dein eigentliches Thema brauchst.

2. Sag den Schülern vorher, dass du Besuch bekommst, dass nicht sie, sondern du bewertet werden sollst und dass gute Mitarbeit sehr hilfreich wäre. Wenn die Schüler den Eindruck haben, dass sie bewertet werden sollen, halten sie sich zurück, und du führst evtl. nur Selbstgespräche.

3. Gehe auf alle Fragen und Impulse flexibel ein, aber nicht unbedingt so, dass du allem nachgehst. Auf die Frage "Was ist denn, wenn zwei Ameisen den Tunnel graben?" antworte mit " dann brauchen sie natürlich nur halb so lange, aber wir wollen ja hier keinen umgekehrten Dreisatz üben und beschränken uns deshalb erst mal auf eine Ameise."
Auf die Frage "Was ist, wenn die Ameise mehr Abraum auf einmal wegschaffen kann?" (größeres r in meinem Beispiel) antworte mit "das Problem werden wir klären, wenn wir erst mal die Lösung für ein bestimmtes r gefunden haben. Denken Sie jetzt nicht mehr weiter darüber nach, sondern konzentrieren Sie sich auf ein festes r, das ist schon knifflig genug" usw.

Dies setzt natürlich voraus:

4. Behandle nie ein Problem, dass du selber nicht VÖLLIG verstanden hast, sonst kannst du unter 3. gar nicht adäquat reagieren.

Und jetzt rate mal, woher ich das alles wohl weiß...



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