Real- und Imaginärteil < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | [mm] w=\bruch{(1+i)(1+2i)(1+3i)}{(1-i)(1-2i)(1-3i)}=\bruch{(1+i)^2(1+2i)^2(1+3i)^2}{2*5*10} [/mm] |
Wie geht das, und warum geht das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]w=\bruch{(1+i)(1+2i)(1+3i)}{(1-i)(1-2i)(1-3i)}=\bruch{(1+i)^2(1+2i)^2(1+3i)^2}{2*5*10}[/mm]
> Wie geht das, und warum geht das?
Es wurde mit $(1+i)(1+2i)(1+3i)$ erweitert.
Es ist $z* [mm] \bar [/mm] z= [mm] |z|^2$
[/mm]
Wie Du siehst, wird dadurch der Nenner reell.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] z^5=-1-i\qquad r=\wurzel{2}\qquad\varphi=\bruch{\pi}{4}+\pi
[/mm]
[mm] z=\wurzel[10]{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}\qquad sin\bruch{\pi}{4}=Re\qquad cos\bruch{\pi}{4}=Im [/mm] |
Was habe ich falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Aufgabe
Bestimmen Sie den Betrag und Argument sowie Real- und Imaginärteil von z im ersten Quadranten!
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Hallo gotoxy86,
> [mm]z^5=-1-i\qquad r=\wurzel{2}\qquad\varphi=\bruch{\pi}{4}+\pi[/mm]
>
> [mm]z=\wurzel[10]{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}\qquad sin\bruch{\pi}{4}=Re\qquad cos\bruch{\pi}{4}=Im[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Wenn man wüsste, was du da vorhast?!
Die obere Zeile kann ich mir zusammenreimen, aber was soll [mm]\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=Re[/mm] bedeuten?
Ich vermute, du willst die 5-ten Wurzeln berechnen.
Es gibt 5 Lösungen ...
Richtig ist, dass [mm]\left|z^5\right|=|z|^5=\sqrt{2}[/mm] ist und damit [mm]|z|=\sqrt[10]{2}[/mm]
Aber wie kommst du auf den Winkel?
Den kannst du doch im Koordinatensystem ablesen, die Zahl [mm]-1-i[/mm] liegt im 3.Quadranten auf der Winkelhalbierenden, schließt also mit der x-Achse einen Winkel von [mm]\frac{5}{4}\pi[/mm] ein.
Also [mm]\varphi=\frac{5}{4}\pi[/mm]
Dann stimmt aber die Formel oben nicht.
Die Lösungen berechnen sich zu [mm]z_k=\sqrt[10]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\frac{\varphi+2k\pi}{5}}, \ k=0,1,2,3,4[/mm]
Rechne das nochmal nach ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] \frac{\varphi+2k\pi}{5}
[/mm]
Wie kommt man darauf?
Irgendwie habe ich das komplett falsch gelernt, ich finde den hacken nicht in meiner Rechnung.
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Hallo nochmal,
> [mm]\frac{\varphi+2k\pi}{5}[/mm]
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> Wie kommt man darauf?
Schaue auf Wikipedia rein, wie sich die n-ten Wurzeln berechnen!
>
>
> Irgendwie habe ich das komplett falsch gelernt,
Welche Formel habt ihr benutzt? (oder benutzt ihr?)
> ich finde den hacken nicht in meiner Rechnung.
Brauchst du auch nicht, finde besser den Haken 
Wenn du deine Rechnung nicht postest, können wir bei der Suche nicht helfen ...
Die Formel für die n-ten Wurzeln ergibt sich ziemlich direkt aus der Formel von Moivre ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
So hab ich das bisher immer gemacht.
1. Betrag ausrechen [mm] r=\wurzel{Im^2+re^2}
[/mm]
2. Winkel ausrechen [mm] \varphi=\tan^{-1}\bruch{Im}{Re}+Quadrant*\pi
[/mm]
3. Polarform bilden [mm] z^n=re^{i\varphi}
[/mm]
4. Potenzieren/Radizieren
5. Ausrechnen
sin [mm] 1/n\varphi*r^{1/n}=Im
[/mm]
cos [mm] 1/n\varphi*r^{1/n}=Re
[/mm]
Ich weiß nicht, wie das k einbauen kann?
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Hallo gotoxy86,
> So hab ich das bisher immer gemacht.
> 1. Betrag ausrechen [mm]r=\wurzel{Im^2+re^2}[/mm]
> 2. Winkel ausrechen
> [mm]\varphi=\tan^{-1}\bruch{Im}{Re}+Quadrant*\pi[/mm]
> 3. Polarform bilden [mm]z^n=re^{i\varphi}[/mm]
> 4. Potenzieren/Radizieren
> 5. Ausrechnen
> sin [mm]1/n\varphi*r^{1/n}=Im[/mm]
> cos [mm]1/n\varphi*r^{1/n}=Re[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie das k einbauen kann?
Das k baust Du beim Winkel ein.
Es steht dann da:
[mm]\varphi=\tan^{-1}\bruch{Im}{Re}+Quadrant*\pi+\blue{2*k*\pi}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Okey, sind das immer [mm]2k\pi[/mm]?
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Hallo gotoxy86,
> Okey, sind das immer [mm]2k\pi[/mm]?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Di 08.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
So hab ich das bisher immer gemacht.
1. Betrag ausrechen [mm] r=\wurzel{Im^2+re^2}
[/mm]
2. Winkel ausrechen [mm] \varphi=\tan^{-1}\bruch{Im}{Re}+Quadrant*\pi
[/mm]
3. Polarform bilden [mm] z^n=re^{i\varphi}
[/mm]
4. Potenzieren/Radizieren
5. Ausrechnen
sin [mm] n^{-1}\varphi*r^n^{-1}=Im
[/mm]
cos [mm] n^{-1}\varphi*r^n^{-1}=Re
[/mm]
Ich weiß nicht, woher das k kommen soll?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] S=\summe_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\right)^n
[/mm]
Brechnen sie [mm]S=a+ib[/mm] mit [mm] a,b\in\IR [/mm] |
Ich hab keine Ahnung welchen Anstz ich da auswählen soll!
Soll ich Cauchy-Kriterium anwenden?
Kann ich sagen [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\right=z [/mm] oder [mm] =z+z_0?
[/mm]
Oder welchen Ansatz benötigt diese Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Auch im Komplexen gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] konvergiert für |z|<1 und es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z}
[/mm]
Was ist in obiger Aufgabe das z ??
Beachte : in der Aufgabe handelt es sich um die Summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] und nicht um [mm] \summe_{n=0}^{\infty}
[/mm]
Es gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}z^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] -1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Heheh, ich hab mich verschreiben, es sind schon n=0^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Also hätte ich dann [mm] S=\summe_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^nz^n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ist es dann [mm] S=\summe_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^nz^n?
[/mm]
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Hi,
> Ist es dann [mm]S=\summe_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^nz^n?[/mm]
In einer anderen Mitteilung hast du noch geschrieben, dass die Summe bei 0 beginnt. Was nun?
Du hast die Summe noch nicht ausgerechnet, bisher hast du nur substituiert mit [mm] $z=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\right$. [/mm] Du musst aber auch noch das [mm] (-1)^n [/mm] unterbringen.
Damit du nun die Formel für die Konvergenz der geometrischen Reihe anwenden kannst, musst du erst einmal zeigen |z|<1. Danach rechne den Grenzwert nach der dir bereits gegebenen Formel aus.
Gruß
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich hab mich verschreiben, es fängt bei 0 schon an.
Ganz erhlich, stellt mich die Aufgabe vor komplett böhmischen dörfern, ich bräuchte eine Anleitung, oder eine Beispielrechnung, wo das schon irgendwie gemacht wurde.
Desto mehr ich efahre, desto mehr Fragen kommen auf.
wo bringe ich die [mm] (-1)^n [/mm] unter, und wie?
[mm] \wurzel{(1/2)^2+(1/2)^2}=\wurzel{1/2}
[/mm]
Also darf ich Konvergenz aus rechnen, aber womit jetzt?
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> Ich hab mich verschreiben, es fängt bei 0 schon an.
> Ganz erhlich, stellt mich die Aufgabe vor komplett
> böhmischen dörfern, ich bräuchte eine Anleitung, oder
> eine Beispielrechnung, wo das schon irgendwie gemacht
> wurde.
>
> Desto mehr ich efahre, desto mehr Fragen kommen auf.
>
> wo bringe ich die [mm](-1)^n[/mm] unter, und wie?
$ [mm] S=\summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i\right)^n [/mm] $ Setze nun [mm] z=-(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i)
[/mm]
Dann [mm] S=\summe_{n=0}^{\infty}z^n
[/mm]
Und nun die Formel für die geometrische Summe 
>
> [mm]\wurzel{(1/2)^2+(1/2)^2}=\wurzel{1/2}[/mm]
>
> Also darf ich Konvergenz aus rechnen, aber womit jetzt?
Ok. Siehe oben
Kamaleonti
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