Real- und Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 05.03.2013 | | Autor: | Sosa |
| Aufgabe | | Es bezeichnet Re(z) den Real-, Im(z) den Imaginärteil von z und [mm] \overline{z} [/mm] die zu z konjugiert komplexe Zahl. Gebe sämtliche Zahlen z [mm] \in \IC [/mm] an, für die [mm] $f(z)=Re(e^z)-i*e^{Re(z)}*sin(Im(\overline{z})) [/mm] komplex differenzierbar ist. |
Hallo,
bin mir hier nicht ganz sicher was ich einsetzen muss.
Ich weiß, dass
$z=x+iy$
[mm] \overline{z}=x-iy
[/mm]
$Im(z)=y$
$Re(z)=x$ ist.
Allerdings weiß ich jetzt nicht was ich für [mm] $Re(e^z)$ [/mm] usw. einsetzen soll. Würde das jetzt erstmal so machen:
[mm] 1.$Re(e^z) [/mm] = [mm] Re(e^{x+iy})$ [/mm] und der Realteil davon ist dann doch [mm] e^x [/mm] ??
2. [mm] $e^{Re(z)} [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
3. [mm] $sin(Im(\overline{z})) [/mm] = sin(-y)$
Ist das bis hier schon mal richtig?
MfG Sosa
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> Es bezeichnet $Re(z)$ den Real-, $Im(z)$ den Imaginärteil
> von $z$ und [mm]\overline{z}[/mm] die zu $z$ konjugiert komplexe
> Zahl. Gebe sämtliche Zahlen $z$ [mm]\in \IC[/mm] an, für die
> [mm]$f(z)=Re(e^z)-i*e^{Re(z)}*sin(Im(\overline{z}))[/mm]
> Hallo,
> bin mir hier nicht ganz sicher was ich einsetzen muss.
> Ich weiß, dass
> [mm]z=x+iy[/mm]
> [mm]\overline{z}=x-iy[/mm]
> [mm]Im(z)=y[/mm]
> [mm]Re(z)=x[/mm] ist.
> Allerdings weiß ich jetzt nicht was ich für [mm]Re(e^z)[/mm] usw.
> einsetzen soll. Würde das jetzt erstmal so machen:
> 1.[mm]Re(e^z) = Re(e^{x+iy})[/mm] und der Realteil davon ist dann
> doch [mm]e^x[/mm] ??
> 2. [mm]e^{Re(z)} = e^x[/mm]
> 3. [mm]sin(Im(\overline{z})) = sin(-y)[/mm]
>
> Ist das bis hier schon mal richtig?
>
> MfG Sosa
Hallo Sosa,
in der Gleichung, die du angibst, kommt noch eine
Funktion f vor, die du jedoch gar nicht definierst.
Somit erscheint deine Fragestellung sinnlos.
Hast du irgendwas vergessen oder verwechselt ?
LG , Al-Chw.
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> Es bezeichnet Re(z) den Real-, Im(z) den Imaginärteil von
> z und [mm]\overline{z}[/mm] die zu z konjugiert komplexe Zahl. Gebe
> sämtliche Zahlen z [mm]\in \IC[/mm] an, für die
> [mm]$f(z)=Re(e^z)-i*e^{Re(z)}*sin(Im(\overline{z}))[/mm]
>
> Hallo,
> bin mir hier nicht ganz sicher was ich einsetzen muss.
> Ich weiß, dass
> [mm]z=x+iy[/mm]
> [mm]\overline{z}=x-iy[/mm]
> [mm]Im(z)=y[/mm]
> [mm]Re(z)=x[/mm] ist.
> Allerdings weiß ich jetzt nicht was ich für [mm]Re(e^z)[/mm] usw.
> einsetzen soll. Würde das jetzt erstmal so machen:
> 1.[mm]Re(e^z) = Re(e^{x+iy})[/mm] und der Realteil davon ist dann
> doch [mm]e^x[/mm] ??
> 2. [mm]e^{Re(z)} = e^x[/mm]
> 3. [mm]sin(Im(\overline{z})) = sin(-y)[/mm]
>
> Ist das bis hier schon mal richtig?
>
> MfG Sosa
Mal abgesehen von der Unklarheit bezüglich der
Funktion f:
Die Idee, $\ z\ =\ [mm] x\, +\, [/mm] i*y$ (mit [mm] x,y\in\IR) [/mm] zu setzen, ist gut.
Für [mm] e^z [/mm] gilt dann:
$\ [mm] e^z\ [/mm] =\ [mm] e^{x+i\,y}\ [/mm] =\ [mm] e^x\,*\,e^{i*y}\ [/mm] =\ [mm] e^x*(cos(y)+i*sin(y))$
[/mm]
und
$\ [mm] Re(e^z)\ [/mm] =\ [mm] e^x*cos(y)$ [/mm]
Natürlich ist auch $\ [mm] e^{Re(z)}\ [/mm] =\ [mm] e^x$
[/mm]
und ferner
$\ [mm] -i*e^{Re(z)}*sin(Im(\overline{z}))\ [/mm] =\ [mm] -i*e^x*sin(-y)\ [/mm] =\ [mm] i*e^x*sin(y)$
[/mm]
So, und nun würde uns doch noch interessieren, was
du mit der Funktion f gemeint hast ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 06.03.2013 | | Autor: | Sosa |
So, ich hab das jetzt mal versucht zu rechnen:
[mm] f(z)=Re(e^z)-i\cdot{}e^{Re(z)}\cdot{}sin(Im(\overline{z})) [/mm]
$ f(z)= [mm] e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)+i*e^x*sin(y) [/mm] $
$ f(z)= [mm] e^x*cos(y)+i*2*e^x*sin(y) [/mm] $
Dann ist der Realteil $ [mm] e^x*cos(y) [/mm] $ und der Imaginärteil $ [mm] 2*e^x*sin(y) [/mm] $.
Mit den Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen [mm] u_{x}=v_{y} [/mm] und [mm] u_{y}=-v_{x} [/mm] weiter gemacht:
$ du/dx $ [mm] e^x*cos(y)= e^x*cos(y)
[/mm]
$ du/dy $ [mm] e^x*cos(y)= -e^x*sin(y)
[/mm]
$ dv/dx $ [mm] 2e^x*sin(y)= 2e^x*sin(y)
[/mm]
$ dv/dy $ [mm] 2e^x*sin(y)= 2e^x*cos(y)
[/mm]
[mm] e^x*cos(y)=2e^x*cos(y)
[/mm]
[mm] -e^x*sin(y)=-2e^x*sin(y)
[/mm]
Ist das bis dahin richtig?? Und muss ich jetzt noch weiter auflösen?
Sosa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> So, ich hab das jetzt mal versucht zu rechnen:
>
> [mm]f(z)=Re(e^z)-i\cdot{}e^{Re(z)}\cdot{}sin(Im(\overline{z}))[/mm]
> [mm]f(z)= e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)+i*e^x*sin(y)[/mm]
???? Wo kommt denn der letzte Summand her ? ???
Es ist [mm] f(z)=e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)=e^z [/mm] !!!
FRED
> [mm]f(z)= e^x*cos(y)+i*2*e^x*sin(y)[/mm]
>
> Dann ist der Realteil [mm]e^x*cos(y)[/mm] und der Imaginärteil
> [mm]2*e^x*sin(y) [/mm].
>
> Mit den Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm] und [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm] weiter gemacht:
> [mm]du/dx[/mm] [mm]e^x*cos(y)= e^x*cos(y)[/mm]
> [mm]du/dy[/mm] [mm]e^x*cos(y)= -e^x*sin(y)[/mm]
>
> [mm]dv/dx[/mm] [mm]2e^x*sin(y)= 2e^x*sin(y)[/mm]
> [mm]dv/dy[/mm] [mm]2e^x*sin(y)= 2e^x*cos(y)[/mm]
>
> [mm]e^x*cos(y)=2e^x*cos(y)[/mm]
> [mm]-e^x*sin(y)=-2e^x*sin(y)[/mm]
>
> Ist das bis dahin richtig?? Und muss ich jetzt noch weiter
> auflösen?
>
> Sosa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 06.03.2013 | | Autor: | Sosa |
Ach ja, ich hab für [mm] Re(e^z) [/mm] Real- und Imaginärteil eingesetzt, anstatt nur den Realteil.
Also müsste es heißen:
$ f(z)= [mm] e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y) [/mm] $
Dann ist der Realteil [mm] e^x*cos(y) [/mm] und der Imaginärteil [mm] e^x*sin(y).
[/mm]
Mit den Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen ist dann:
$ [mm] e^x\cdot{}cos(y)=e^x\cdot{}cos(y) [/mm] $
$ [mm] -e^x\cdot{}sin(y)=-e^x\cdot{}sin(y) [/mm] $
Also ist [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] y\in\IR.
[/mm]
Danke für die Korrektur! Ist denn nun alles richtig???
Sosa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ach ja, ich hab für [mm]Re(e^z)[/mm] Real- und Imaginärteil
> eingesetzt, anstatt nur den Realteil.
> Also müsste es heißen:
> [mm]f(z)= e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)[/mm]
>
> Dann ist der Realteil [mm]e^x*cos(y)[/mm] und der Imaginärteil
> [mm]e^x*sin(y).[/mm]
>
> Mit den Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen ist
> dann:
> [mm]e^x\cdot{}cos(y)=e^x\cdot{}cos(y)[/mm]
> [mm]-e^x\cdot{}sin(y)=-e^x\cdot{}sin(y)[/mm]
So würde ich das nicht schreiben !
Mit [mm]u(x,y):=e^x*cos(y)[/mm] und [mm]v(x,y):=e^x*sin(y)[/mm] gilt:
[mm] u_x=v_y [/mm] und [mm] u_y=v_x [/mm] auf [mm] \IR^2
[/mm]
Damit sind die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen in jedem z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] erfüllt.
Da f auch noch in jedem (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] reell differenzierbar ist, ist f in jedem z [mm] \in \IC [/mm] komplex differenzierbar.
FRED
>
> Also ist [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]y\in\IR.[/mm]
>
> Danke für die Korrektur! Ist denn nun alles richtig???
>
> Sosa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mi 06.03.2013 | | Autor: | Sosa |
Hallo,
und danke für die schnelle Antwort. Ich hab in der Aufgabenstellung den letzten teil vergessen. Habs jetzt korrigiert!
Jetzt weiß ich ja schon mal was ich da einsetzen muss. Werde die Aufgabe dann mal so weiter rechnen.
Sosa
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> Hallo,
> und danke für die schnelle Antwort. Ich hab in der
> Aufgabenstellung den letzten teil vergessen. Habs jetzt
> korrigiert!
Naja, wenn ich schon zu Beginn gewusst hätte, dass
du da nur knapp mehr als die erste Hälfte eines
kompletten Satzes wiedergegeben hattest, dann
hätte ich mir vielleicht nicht mal die Mühe gegeben,
eine vernünftige Antwort zu suchen und zu formulieren ...
LG
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