Rechen und Schätzen von Integr < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Vereinfachen Sie soweit wie möglich
2) Schätzen Sie das Integral (siehe im Post) mithilfe von zwei Funktionen nach oben und nach unten ab. |
// Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, das ist dann mal mein erster Post in diesem Forum; hoffe er ist doch regelkonform (PS: irgendwie gelingt mir die Formatierung nicht );)
Vorwissen: Hauptsatz der Integralrechnung und heute in der Stunde , die im unserem Buch so gekennzeichneten Sätze, Intervalladditivität des Integrals, Linearität des Integrals und Monotonie des Integrals
Bei der ersten Aufgabe habe ich jeweils drei Teilaufgaben:
a) [mm] \integral_{a}^{0}{x_{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{x_{2} dx}
[/mm]
Wir hatten im Untericht gesagt (jedoch nicht bewiesen, bzw auf eine Regel hingewiesen), dass wir bei vertauschten Integrationsgrenzen (wie in diesem Fall), als Integral 0 erhalten, da wir dann quasi den Betrag mit anderem Vorzeichen addieren und somit 0 erhalten.
Daher hab ich einfach geschrieben
[mm] \integral_{a}^{0}{x_{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{x_{2} dx} [/mm] = 0
b)
[mm] \integral_{a}^{0}{x_{2} dx} [/mm] - [mm] \integral_{-a}^{0}{x_{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{-a}^{a}{x_{2} dx}
[/mm]
Meine Rechnungen:
= F(0) - F(a) - F(0) + F(-a) + F(a) - F(-a)
= 0
F stellt dann die Stammfunktion dar. (ok zugegeben, so kann ichs net aufschreiben, wenn ich nich vorher [mm] x_{2} [/mm] durch f(x) ersetze)
c)
[mm] \integral_{a}^{2a}{(x_{2}+ x_{3}) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{2a}{x_{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{2a}{- x_{3} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{2a}{( x_{2}+ x_{3} - x_{2}-x_{3}dx} [/mm] ( kann ich das beim zweiten summanden überhaupt so zusammenfassen, nur weil da nen minus vor dem integral steht?
= [mm] \integral_{a}^{2a}{0 dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] hmm, richtig oder falsch?
Aufgabe 2:
Schätzen Sie [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] mithilfe von zwei Funktionen nach oben und nach unten ab.
Joa da hab ich mir gedacht, nehm ich doch mal jeweils 2 Funktionen, die nahe dran sind, wie z.b.
1) h1(x) = [mm] \bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}
[/mm]
2) h2(x) = [mm] \bruch{1}{x+\bruch{1}{2}}
[/mm]
3) h3(x) = [mm] \bruch{1}{x-\bruch{1}{4}}
[/mm]
4) h4(x) = [mm] \bruch{1}{x-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ich kann ja dann angeben, das
[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{2}}dx} [/mm] < [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}dx} [/mm] < [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] < [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x-\bruch{1}{4}}dx} [/mm] < [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x-\bruch{1}{2}}dx}
[/mm]
Beispiel aus dem Buch:
Schätzen Sie das Integral [mm] \integral_{2}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}dx} [/mm] nach oben ab.
Lösung:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt: [mm] \bruch{3}{x_{2}+1} [/mm] < [mm] \bruch{3}{x_{2}}
[/mm]
Mit Satz 2 (Monotonie des Integrals) folgt:
[mm] \integral_{2}^{4}{\bruch{3}{x_{2}+1} dx} [/mm] < [mm] \integral_{2}^{4}{\bruch{3}{x_{2}} dx} [/mm] = [ - [mm] \bruch{3}{x} [/mm] ] dazu dann noch eine 4 hochgestellt und eine 2 tiefergestellt, also also die Integrationsgrenzenen 2 und 4
Die Folgerung daraus ist, das [mm] _\bruch{3}{4} [/mm] eine obere Schranke für das Integral ist. Leider kann ich dort dem ersten Gleichheitszeichen nicht mehr folgen, sprich, wie das was dahinter steht folgt
Ich habe überlegt mit Stammfunktionen zu argumentieren, jedoch scheitere ich in diesem Fall schon daran, diese zu bilden
So, ich hoffe ihr versteht so einiger maßen, was ich will. ;)
frohes Posten
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 11.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Soinapret
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Was das [mm] x_{2} [/mm] in deinen Aufgaben soll versteh ich nicht. i.A. bezeichnet man ne feste Stelle von x so. Ich nehm mal an du meinst f(x) wenn du [mm] x_{2} [/mm] schreibst und g(x) statt [mm] x_{3}.
[/mm]
> Vorwissen: Hauptsatz der Integralrechnung und heute in der
> Stunde , die im unserem Buch so gekennzeichneten Sätze,
> Intervalladditivität des Integrals, Linearität des
> Integrals und Monotonie des Integrals
>
>
> Bei der ersten Aufgabe habe ich jeweils drei Teilaufgaben:
>
> a) [mm]\integral_{a}^{0}{x_{2} dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{a}{x_{2} dx}[/mm]
>
> Wir hatten im Untericht gesagt (jedoch nicht bewiesen, bzw
> auf eine Regel hingewiesen), dass wir bei vertauschten
> Integrationsgrenzen (wie in diesem Fall), als Integral 0
> erhalten, da wir dann quasi den Betrag mit anderem
> Vorzeichen addieren und somit 0 erhalten.
[mm] Intervalladitivität:\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{c}{f(x) dx}+\integral_{c}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
also [mm] \integral_{0}^{0}{f(x) dx}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}+\integral_{a}^{0}{f(x) dx} [/mm] und dass [mm] \integral_{0}^{0}{f(x) dx}=0 [/mm] ist
klar.
>
>
> Daher hab ich einfach geschrieben
> [mm]\integral_{a}^{0}{x_{2} dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{a}{x_{2} dx}[/mm]
> = 0
>
> b)
> [mm]\integral_{a}^{0}{x_{2} dx}[/mm] - [mm]\integral_{-a}^{0}{x_{2} dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{-a}^{a}{x_{2} dx}[/mm]
wieder besser :[mm]\integral_{-a}^{a}{x_{2} dx}=\integral_{-a}^{0}{x_{2} dx}+integral_{0}^{a}{x_{2} dx}[/mm]
und dann vereinfachen. und wegen a) [mm]\integral_{a}^{0}{x_{2} dx}=[-\integral_{0}^{a}{x_{2} dx}[/mm][/mm]
> Meine Rechnungen:
> = F(0) - F(a) - F(0) + F(-a) + F(a) - F(-a)
> = 0
aber auch die Rechnung ist natürlich richtig, nur hast du eure Sätze nicht benutzt.
> F stellt dann die Stammfunktion dar. (ok zugegeben, so kann
> ichs net aufschreiben, wenn ich nich vorher [mm]x_{2}[/mm] durch
> f(x) ersetze)
>
> c)
> [mm]\integral_{a}^{2a}{(x_{2}+ x_{3}) dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{2a}{x_{2} dx}[/mm] + [mm]\integral_{a}^{2a}{- x_{3} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{2a}{( x_{2}+ x_{3} - x_{2}-x_{3}dx}[/mm] (
> kann ich das beim zweiten summanden überhaupt so
> zusammenfassen, nur weil da nen minus vor dem integral
> steht?
> = [mm]\integral_{a}^{2a}{0 dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] hmm, richtig oder falsch?
>
richtig, hier hast du die Linearität benutzt :
[mm] \integral_{a}^{b}{-f(x) dx} =-\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)+g(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{a}^{b}{g(x) dx}.
[/mm]
>
>
> Aufgabe 2:
> Schätzen Sie [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] mithilfe
> von zwei Funktionen nach oben und nach unten ab.
>
>
> Joa da hab ich mir gedacht, nehm ich doch mal jeweils 2
> Funktionen, die nahe dran sind, wie z.b.
> 1) h1(x) = [mm]\bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}[/mm]
> 2) h2(x) = [mm]\bruch{1}{x+\bruch{1}{2}}[/mm]
> 3) h3(x) = [mm]\bruch{1}{x-\bruch{1}{4}}[/mm]
> 4) h4(x) = [mm]\bruch{1}{x-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ich kann ja dann angeben, das
>
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{2}}dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x-\bruch{1}{4}}dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x-\bruch{1}{2}}dx}[/mm]
>
Das ist zwar alles nicht falsch, gibt dir aber ja keine "Abschätzung" des Integrals
für 1/x gilt in dem Intervall (1,4) 1/x>1 und 1/x<1/4
Integral damit kleiner als (4-1)*1 und größer als (4-1)*1/4
Bessere Abschätzungen bekommt man wenn man die Funktion durch die Sehne
ersetzt, die liegt immer drüber, und eine Tangente in der Mitte oder am Ende die liegt immer drunter.
> Beispiel aus dem Buch:
> Schätzen Sie das Integral
> [mm]\integral_{2}^{4}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{4}}dx}[/mm] nach oben
> ab.
hier versteh ich wieder nicht was [mm] x_{2} [/mm] ist, und du musst was falsch abgeschrieben haben!
> Lösung:
> Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt: [mm]\bruch{3}{x_{2}+1}[/mm] <
> [mm]\bruch{3}{x_{2}}[/mm]
>
> Mit Satz 2 (Monotonie des Integrals) folgt:
> [mm]\integral_{2}^{4}{\bruch{3}{x_{2}+1} dx}[/mm] <
> [mm]\integral_{2}^{4}{\bruch{3}{x_{2}} dx}[/mm] = [ - [mm]\bruch{3}{x}[/mm] ]
Das ist nicht in Ordnung so!
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Schätzen Sie das Integral [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] mithilfe von zwei Funktionen nach oben und nach unten ab. |
Sorry erstmal zu der Verwirrung mit [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}, [/mm] ich woltle eigentlich [mm] x^{2} [/mm] bzw [mm] x^{3} [/mm] schreiben, und nicht als index.
Aufgabe 1)
a) klar
b)
[mm] \integral_{a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] - [mm] \integral_{-a}^{0}{x^{2} dx}+ \integral_{-a}^{a}{x^{2} dx}
[/mm]
teilverlegung des integrals [mm] \integral_{-a}^{a}{x^{2} dx} [/mm] in [mm] \integral_{-a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{x^{2} dx}
[/mm]
dann sieht die aufgabe so aus
[mm] \integral_{a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] - [mm] \integral_{-a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{-a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{x^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{0}{x^{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{x^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{a}{x^{2} dx} [/mm] = 0
c)
[mm] \integral_{a}^{2a}{(x^{2}+ x^{3}) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{2a}{x^{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{2a}{- x^{3} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{a}^{2a}{( x^{2}+ x^{3} - x^{2}-x^{3})dx} [/mm]
= [mm] \integral_{a}^{2a}{ 0 dx} [/mm] = 0
Aufgabe 2)
Ich kann dir bei deiner erklären mit der Integralabschätzung leider nicht ganz folgen.
bis jetz hab ich verstanden, das der wert der rauskommt ja zwischen [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und 1 liegen muss.
Ich wäre dir sehr verbunden, das ganze noch weiter auszuführen =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Di 12.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Soinapret
Wenn du das Integral abschätzen willst (grob) dann musst du 1/x durch eine Funktion ersetzen, die man einfach integrieren kann.
Die einfachste Funktion zu integrieren ist eine Konstante, denn das Integral ist dann Länge des Integrationsintervalls*Konstante.
da 1/x zwischen 1 und 4 monoton fällt ist es klar dass es bei x=1 am größten ist also [mm] :\integral_{1}^{4}{1/x dx}<\integral_{1}^{4}{1 dx}=3*1
[/mm]
Und entsprechend ist es bei x=4 am kleinsten, d.h. 1/x>1/4 in (1,4)
deshalb [mm] \integral_{1}^{4}{1/x dx}>\integral_{1}^{4}{1/4 dx}=3*1/4
[/mm]
andre Möglichkeit: rechne die Sehne von (1,1) bis (4,1/4) also f(x)=-1/4*x+3/4 die liegt oberhalb 1/x zwischen 1 und 4.
d.h. [mm] \integral_{1}^{4}{1/x dx}<\integral_{1}^{4}{-1/4x+3/4 dx}
[/mm]
die Tangente in (4,1/4) liegt unterhalb, wenn du sie ausrechnest t(x) gilt wieder [mm] \integral_{1}^{4}{1/x dx}>\integral_{1}^{4}{t(x) dx}.
[/mm]
Ob ihr dann Geraden schon integrieren könnt oder nur so allgemein über Integrale redet weiss ich ja nicht.
Die Methode der Abschätzung der Integrale benutzt man aber oft, wenn man Integrale nicht genau ausrechnen kann.
Gruss leduart
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so ich habs nochma ein wenig probiert, und deine erste lösung eingebaut:
[mm] f_{0} [/mm] (x) = [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] f_{1} [/mm] (x) = [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] f_{2} [/mm] (x) = [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{2*x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] f_{3} [/mm] (x) = [mm] \integral_{1}^{4}{1 dx} [/mm] = 3 * 1 // hier dann die frage, ob das denn überhaupt so stimmt, denn die ableitung der stammfunktion müsste ja dann 1 ergeben
[mm] f_{4} [/mm] (x) = [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4} dx} [/mm] = 3 * [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f_{3}(x) \le f_{0}(x) \le f_{1}(x) \le f_{2}(x) [/mm]
=> 0,75 [mm] \le \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} \le [/mm] 0,75 [mm] \le [/mm] 1,5
Ich muss ja die noch ne zweite Funktion finden, die kleiner ist als [mm] f_{3}
[/mm]
Ich hoffe, das geht in die richtige Richtung ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 12.09.2006 | | Autor: | Soinapret |
Ich meinte natürlich:
[mm] f_{4}(x) \le f_{0}(x) \le f_{1}(x) \le f_{2}(x) [/mm]
=> 0,75 [mm] \le \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} \le [/mm] 0,75 [mm] \le [/mm] 1,5
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 12.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Soinapret
Ich versteh nicht ganz was du machst:
Die Aufgabe war doch: schätze $ [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $ durch 2 Funktionen nach oben und unten ab.
Ein bestimmtes Integral hat als Ergebnis eine Zahl, die sollst du eingrenzen. wir hatten 3/4<$ [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $<3
damit bist du fertig.
Die 2 Funktionen, die wir dazu benutzt haben waren : f=1/4<1/x in (1,4) und g=1>1/x in (1,4).
Die Frage ist nicht so gemeint, dass du 2 kleinere und 2 größere bestimmen sollst.
Wenn man die Stammfkt kennt, muss man keine Abschätzung machen!
wenn man die Stammfkt von 1/x nicht kennt, kennt man auch die von 1/(x+0.1) usw nicht!
Natürlich kannst du in dem Intervall auch schreiben [mm] 1/x^{2}<1/x [/mm] und dann die Stammfkt von [mm] 1/x^{2} [/mm] nehmen!
Die Abschätzung: Maximum de Funktionswertes des Integranden im Intervall mal Intervallänge größer gleich dem Integral stimmt immer, entsprechend mit kleiner und Minimum des Integranden.
Zu der Nebenfrage: Stammfkt von 1 ist x, Ableitung 1 , dann kannst du
natürlich $ [mm] \integral_{1}^{4}{1 dx} [/mm] $ auch mit der Stammfkt ausrechnen. (das ist allerdings um den Flächeninhalt eines Rechteck auszurechnen viel Aufwand!
Zu deiner Schreibweise: [mm] f_{0}/(x)=$ \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $
das ist falsch. denn das hängt ja gar nicht von x ab, sondern ist eine Zahl genauer 1,3862944.....,entsprechend für die anderen.
Unter dem Integral stehen Funktionen von x! wenn oben oder unten am Integral z stünde, dann hättest du ein f(z) weil der Wert des integrals ja von den Grenzen abhängt.
Frag ruhig nach, wenn was nicht klar ist, der Anfang der Integralrechnung ist gewöhnungsbedürftig.
Gruss leduart
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Di 12.09.2006 | | Autor: | Soinapret |
Ok, leuchtet mir alles ein.
Das einzige was ich mich jetz noch frage ist, wieso das denn überhaupt so stimmt. haste da vielleicht nen link zu nem beweis?
Und da hab ich noch ne andere Frage:
Wodran kann ich schnell ablesen, das ein Integral größer ist als das andere?
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{3} dx}
[/mm]
als beispiel: Müsste ich jetz sagen welcher der beiden Integranten größer ist, so würde ich den zweiten wählen. Ist denn auch jedes Integral größer, wenn der Integrant größer ist?
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So, ich bumpe hier noch mal meinen Post hoch, in der Hoffnung, das mir jemand erklärt, wie man, wenn man ein Integral abschätzen muss, einfach sagen kann das der minimale Funktionswert * Intervallänge die Untergrenze und der maximale Funktionswert * Intervallänge die Obergrenze ist ;)
Gibts da irgendwelche Beweise oder ähnliches zu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 14.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Soinapret
Unser Forum ist nett, wir begrüßen uns und sagen was nettes am Ende!
Ich dachte, ihr habt die Monotonie des Integrals behandelt.
Die sagt doch aus, dass wenn in einem GANZEN Intervall [a,b] f(x)<g(x) gilt, dann folgt für dieses Intervall:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}<\integral_{a}^{b}{g(x) dx}.
[/mm]
Wenn du das Integral als Grenzwert einer Summe kennst ist das auch klar, wenn du für beide die gleichen Intervallängen für die [mm] \Delta [/mm] x nimmst, ist jedes [mm] f(xi)*\Delta xi
Die konstante Funktion f=minimalwert von g in {a,b} ist immer kleiner g.
Wenn du dir irgend ne Funktion erst mal ne positive zwischen a und b einzeichnest, ist das Integral der Flächeninhalt unter der Kurve. Jetzt eine Gerade parallel zur x Achse durch den tiefsten Punkt. Der Flächeninhalt darunter zw. a und b ist sicher kleiner als der unter der Kurve. Entsprechend durch den höchsten Punkt, der ist sicher größer!
Jetzt zu deinem [mm] x^{3} [/mm] und [mm] x^{2} [/mm] :
[mm] x^{3}>x^{2} [/mm] für x>1 [mm] x^{3}
D.h. ob deine Behauptung richtig ist hängt von dem Intervall ab.
so gilt :
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{3} dx} [/mm] > [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2} dx} [/mm] wenn a>1 und b>a
für b<1 a<b dreht sich das Vorzeichen um.
Ohne 2 Funktionen genauer zu untersuchen, kannst du nicht einfach sagen die eine ist allgemein größer als die andere.
Das mit dem Min und Max der Funktionswerte ist nur die einfachste Abschätzung. es gibt "genauere" aber die sind nicht für alle Funktionen gültig!
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Soinapret |
Sorry das ich das erst jetz schreibe, aber ich wollte mich für deine Hilfe bedanken ;)
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