Rechenregeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
ich komme irgendwie mit den Rechenregeln von Erwartungswerten und Zufallsvariablen durcheinander:
Mir liegt beispielsweise der Beweis fuer den Verschiebungssatz vor:
V(X) = [mm] E((X-E(X))^2 [/mm] = [mm] E(X^2 [/mm] - 2XE(X) + [mm] [E(X)]^2) [/mm] = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] [E(X)]^2
[/mm]
Da mir das alles zu schnell geht, hab ich es mal versucht, nachzuvollziehen:
V(X) = [mm] E((X-E(X))^2 [/mm] = [mm] E(X^2 [/mm] - 2XE(X) + [mm] [E(X)]^2) [/mm] = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] 2E(X^2) [/mm] - [mm] [E(X)]^2
[/mm]
Wieso ist jetzt - [mm] 2E(X^2) [/mm] = [mm] -2[E(X)]^2)
[/mm]
Schliesslich gilt
E(X * Y) = E(X) * E(Y)
nur wenn X und Y unabhaengig sind (was ja hier wohl ganz klar nicht der Fall ist..
lg
martin
|
|
| |
|
Hi, sancho,
> ich komme irgendwie mit den Rechenregeln von
> Erwartungswerten und Zufallsvariablen durcheinander:
>
> Mir liegt beispielsweise der Beweis fuer den
> Verschiebungssatz vor:
>
> V(X) = [mm]E((X-E(X))^2[/mm] = [mm]E(X^2[/mm] - 2XE(X) + [mm][E(X)]^2)[/mm] = [mm]E(X^2)[/mm] -
> [mm][E(X)]^2[/mm]
>
> Da mir das alles zu schnell geht, hab ich es mal versucht,
> nachzuvollziehen:
>
> V(X) = [mm]E((X-E(X))^2[/mm] = [mm]E(X^2[/mm] - 2XE(X) + [mm][E(X)]^2)[/mm] = [mm]E(X^2)[/mm] -
> [mm]2E(X^2)[/mm] - [mm][E(X)]^2[/mm]
Ich schreib's mal ausführlich auf:
V(X) = [mm] \summe_{i=1}^{k}(x_{i} [/mm] - [mm] E(X))^{2}*P(X=x_{i})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}^{2}*P(X=x_{i}) [/mm] - 2*E(X)* [mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}*P(X=x_{i}) [/mm] + [mm] (E(X))^{2}*\summe_{i=1}^{k}P(X=x_{i})
[/mm]
Nun ist natürlich
[mm] \summe_{i=1}^{k}P(X=x_{i}) [/mm] = 1 (Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Verteilung!)
und
[mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}*P(X=x_{i}) [/mm] = E(X) (so ist der Erwartungswert ja definiert!)
und somit:
V(X) = [mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}^{2}*P(X=x_{i}) [/mm] - 2*E(X)* E(X) + [mm] (E(X))^{2}*1
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}^{2}*P(X=x_{i}) [/mm] - [mm] (E(X))^{2}
[/mm]
Da man den ersten Summanden als Erwartungswert der Zufallsgröße [mm] X^{2} [/mm] auffassen kann, ergibt sich so:
V(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] (E(X))^{2} [/mm] ("Verschiebungssatz")
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:03 Do 28.06.2007 | | Autor: | bellybutton |
Ja genau, nur dass der Erwartungswert nur im diskreten Fall so als Summe berechnet wird.
[mm] E(X-EX)^2 [/mm] = [mm] E(X^2 [/mm] -2X*EX [mm] +(EX)^2)= EX^2 [/mm] -2EX*EX + [mm] (EX)^2 [/mm] (EX ist Konstante, deshalb ist E(EX)=EX, ebenso ist [mm] E((EX)^2)=(EX)^2 [/mm] !) = [mm] EX^2 -2*(EX)^2 +(EX)^2 [/mm] = [mm] EX^2 -(EX)^2.
[/mm]
Noch einmal zur Ergänzung: Erwartungswerte können als Summe im diskreten und als Integral im stetigen aufgefasst werden. Sie beschreiben den erwarteten Wert einer ZV (dies ist sozusagen eine Funktion von [mm] \omega, [/mm] je nachdem welches Ereignis eintritt) Habt Ihr nun, z.B. [mm] \sum [/mm] -2*x , dann könnt ihr die -2 rausziehen, ebenso beim Integral.
|
|
|
|
