Rechenregeln für Gruppen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Sa 19.01.2008 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Es sei $(G, [mm] \circ)$ [/mm] eine Gruppe und $a, b [mm] \in [/mm] G$ seien beliebig. Beweisen Sie die folgende Rechenregel:
$(a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich verzweifle gerade an obiger Aufgabe. Habe keinen Ansatz für den Beweis. Ich kenne die Eigenschaften, die eine Menge mitsamt einer Verknüpfung erfüllen muss um eine Gruppe darzustellen. Jedoch komme ich nicht darauf, wie sich diese Rechenregel ohne Kommutativität beweisen lässt. Kommutativität ist ja nicht gegeben, da die Gruppe nicht abelsch ist.
Würde mich über einen Gedankenanstoß sehr freuen.
lg jboss
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> Es sei [mm](G, \circ)[/mm] eine Gruppe und [mm]a, b \in G[/mm] seien
> beliebig. Beweisen Sie die folgende Rechenregel:
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> [mm](a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
> Hallo zusammen,
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> ich verzweifle gerade an obiger Aufgabe. Habe keinen Ansatz
> für den Beweis. Ich kenne die Eigenschaften, die eine Menge
> mitsamt einer Verknüpfung erfüllen muss um eine Gruppe
> darzustellen. Jedoch komme ich nicht darauf, wie sich diese
> Rechenregel ohne Kommutativität beweisen lässt.
> Kommutativität ist ja nicht gegeben, da die Gruppe nicht
> abelsch ist.
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> Würde mich über einen Gedankenanstoß sehr freuen.
Um zu zeigen, dass $(a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] gilt, musst Du einfach zeigen, dass [mm] $b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] die (eindeutig bestimmte) Inverse von [mm] $a\circ [/mm] b$ ist. Das heisst, Du musst nur zeigen, dass gilt:
[mm](a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})=e[/mm]
wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe sei. - Und wie beweist man dies? - Indem man die Assoziativität von $e$ und die Eigenschaften [mm] $b\circ b^{-1}=e$, $a\circ [/mm] e=a$ sowie [mm] $a\circ a^{-1}=e$ [/mm] verwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Sa 19.01.2008 | | Autor: | jboss |
Jetzt hat s "Klick" gemacht! Vielen Dank für die ungeheuer schnelle Antwort 
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