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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 10.06.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende 3x3 Matrizen:
[mm] A=\pmat{ 5 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 1 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
[mm] C=\pmat{ 378 & 331 & 156 \\ 102 & 89 & 42 \\ 240 & 210 & 99 }
[/mm]
[mm] X=\pmat{ x1 & x2 & x3 \\ x4 & x5 & x6 \\ x7 & x8 & x9 }
[/mm]
Berechnen Sie die Matrix X, welche die Matrizen-Gleichung AXB=C löst. |
Hallo,
brauche Hilfestellung beim lösen der Aufgabe.
Die Musterlösung ist:
[mm] X=A^{-1}CB^{-1}=\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 }
[/mm]
Was ich nicht verstehe ist der Ansatz im Ergebnis: [mm] X=A^{-1}CB^{-1}
[/mm]
Ich hätte das folgendermaßen Umgestellt: [mm] X=CA^{-1}B^{-1}. [/mm] Damit komm ich aber nicht auf das richtige Ergebnis also kann man das wohl nicht so einfach machen...
Es wäre super, wenn mir jemand die einzelnen Umformungsschritte anhand der Aufgabe erklären könnte und die Regel nache der man Umformt. Danke!!
MfG
Stefan
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Hi,
du musst aufpassen, von welcher Richtung du die Matrizen dranmultiplizierst
Also zunächst mal müssen ja A und B invertierbar sein:
Die Gleichung ist
AXB=C Wenn du hier auf beiden Seiten von rechts [mm] A^{-1} [/mm] ranmultiplizierst hast du [mm] AXBA^{-1}=CA^{-1} [/mm] Das bringt also nix. Du musst erreichen, dass sich [mm] AA^{-1} [/mm] und [mm] BB^{-1} [/mm] zur Identität wegheben.
Dazu multiplizieren wir von links [mm] A^{-1} [/mm] dran:
[mm] A^{-1}AXB=A^{-1}C [/mm] die Matrizenmultiplikation ist zum Glück assoziativ, also können wir auf der linken Seite zuerst [mm] A^{-1}A [/mm] rechnen:
[mm] \mathbb{E}XB=A^{-1}C\Rightarrow XB=A^{-1}C [/mm] Nun das gleiche Spiel mit [mm] B^{-1} [/mm] aber von rechts
[mm] XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\Rightarrow X\mathbb{E}=A^{-1}CB^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 10.06.2007 | | Autor: | polyurie |
WOW,
das ging verdammt schnell!!! Vielen Dank für die verständliche Antwort!!!!!!!!! Aber eine kleine Frage hab ich noch. Gibt es einen Trick wie ich die Multiplikation mit der Matrix C umgehen kann (wegen der großen Zahlen), oder muss ich da durch? Wäre ja prinzipiell kein Problem mit dem Falk Schema oder so, aber so hohe Zahlen sind untypisch für unseren Prof...
Nochmals danke für die schnelle Antwort
Stefan
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Hi Stefan,
hmm, ich kenne keine Abkürzung, ich würde "zu Fuß" rechnen oder es mit nem Programm berechnen lassen - es gibt auch Seiten im Netz, die Inverse Matrizen und Matrixprodukte berechnen.
zB. auf http://www.mathetools.de/ im linken Reiter unter "Studium"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 10.06.2007 | | Autor: | polyurie |
ok, hab ich mir fast gedacht. denke für den link
Stefan
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