Rechenregeln für einen Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für einen Körper:
a) Für [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=0 [/mm] gilt: [mm] (a\timesb)^{-1}=a^{-1}\timesb^{-1}
[/mm]
b) Für [mm] b\not=0 [/mm] und [mm] d\not=0 [/mm] gilt [mm] \bruch{a}{b}+\bruch{c}{d}=\bruch{ad+bc}{bd}
[/mm]
c) Ist [mm] a^2=b^2, [/mm] so gilt a=b oder a=-b |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Teilaufgabe c) ist mir klar, weil logisch, wenn [mm] a^2=b^2 [/mm] ist, dann muss notwendigerweise a=b sein, allerdings wäre ich mir bei -b nicht so sicher, es sei denn da stünde a=|-b| - das ist es was ich nicht versteh.
Teilaufgabe a) hab ich eine ganze Weile drüber nachgedacht und bin aber nicht besonders weit gekommen.
[mm] (a\timesb)^{-1}=a^{-1}\timesb^{-1} [/mm] ist doch äquivalent zu
[mm] \bruch{1}{a\timesb}=\bruch{1}{a}\times\bruch{1}{b}
[/mm]
Und b) ist mir leider auch sowas von gar nicht klar - ich kann nicht mehr denken, sitz schon den ganzen Tag an Mathe.
Mein Problem liegt glaub ich in dem Beweisen an sich. Ich hab sowas bisher nie machen müssen und mir fehlt noch so vollständig das Verständnis dafür. Ich weiß nicht mal so genau um was für einen Körper es sich hier handelt, nur dass das ganze was mit den Axiomen zu tun hat.
Ich würde mich freuen wenn mir da einer weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Sa 22.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. fuer b) muss die Vereinbarung gelten dass [mm] a*\bruch{1}{a}=1 [/mm] dass also [mm] \bruch{1}{a}=a^{-1} [/mm] also das multiplikativ inverse zu a ist.
a) ist schlecht geschrieben, es muss heissen [mm] (a^{-1})^{-1}=a
[/mm]
anders kann das nicht gemeint sein. In Worten:
das Inverse des Inversen einer Zahl ist wieder die Zahl
also 1/2 ist das Inverse zu 2, das Inverse zu 1/2 ist 2.
oder in der dir vertrauten Bruchschreibweise:
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a
[/mm]
ich zeig dir den Beweis von a;
nach Definition von [mm] a^{-1} [/mm] gilt:
[mm] a*a^{-1}=1 [/mm] und [mm] a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=1
[/mm]
multipliziere die erst gleichung mit [mm] (a^{-1})^{-1}.
[/mm]
verwende das Assotiativgesetz (ab)*c=a*(b*c)
und du hast [mm] (a*a^{-1})*(a^{-1})^{-1}=1*(a^{-1})^{-1}
[/mm]
<=> [mm] a*(a^{-1}*(a^{-1})^{-1})=(a^{-1})^{-1}
[/mm]
[mm] <=>a*1=(a^{-1})^{-1} [/mm] was zu zeigen war
bei b) multiplizierst du den linken ausdruck mit [mm] b*\bruch{1}{b}*d*\bruch{1}{d} [/mm] und stellst mit kommutativ und Assoziativgesetz um bis du das Ergebnis hast.
zu c) brauchst du , dass (-1)*(-1)=1 ist also daraus auch [mm] (-b)^2=b^2
[/mm]
Bei b) musst du nachsehen ob ihr 1/a als inverses zu a eingefuehrt habt oder wie a/b bei euch definiert ist.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | a) Für [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=0 [/mm] gilt: [mm] (a\times b)^{-1}=a^{-1} \times b^{-1} [/mm] |
Vielen dank für die schnelle Antwort.
Das ist mir jetzt gerade noch aufgefallen. Es tut mir leid. Hab das gar nicht bemerkt, weil ich es genauso für [mm] b^{-1} [/mm] wie für ^{-1} gemacht habe und er hats nicht genommen. Stimmt der Beweis jetzt immer noch oder ändert sich jetzt etwas Grundlegendes?
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> a) Für [mm]a\not=0[/mm] und [mm]b\not=0[/mm] gilt: [mm](a\times b)^{-1}=a^{-1} \times b^{-1}[/mm]
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> Vielen dank für die schnelle Antwort.
>
> Das ist mir jetzt gerade noch aufgefallen. Es tut mir leid.
> Hab das gar nicht bemerkt, weil ich es genauso für [mm]b^{-1}[/mm]
> wie für ^{-1} gemacht habe und er hats nicht genommen.
> Stimmt der Beweis jetzt immer noch
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was für eine Frage! Natürlich stimmt der Beweis zu a), den leduart Dir gesagt hat, nicht mehr. Es ist doch eine völlig andere Aufgabe...
Aber rechne doch einfach mal nach, ob [mm] a^{-1} \times b^{-1} [/mm] das Inverse von [mm] a\times [/mm] b ist.
Gruß v. Angela
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