Rechenregeln für uneig. Konv. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 22.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
| Aufgabe | | f: [mm] \IR \rightarrow \IR, x_0 \in \IR, [/mm] f(x)>0 [mm] \forall x\in \IR [/mm] ohne [mm] \{x_0\}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] \limes_{x\rightarrow x_0, x \not= x_0}f(x) \Leftrightarrow \limes_{x\rightarrow x_0, x \not= x_0}\bruch{1}{f(x)}=\infty. [/mm] |
Klingt erstmal logisch, nur fehlt mir irgendwie der Ansatz.
[mm] "\Rightarrow": \limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{1}{f(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}=f(\bruch{1}{x}). [/mm] Betrachte beliebige Folge [mm] \{\Bruch{1}{x_n}\} [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \bruch{1}{x_n}\rightarrow x_0. [/mm] Dann geht [mm] f(\bruch{1}{x_n}) [/mm] gegen [mm] \infty, [/mm] da [mm] f(\bruch{1}{x_n})=\bruch{1}{f(x_n)} [/mm] mit [mm] f(x_n)\rightarrow [/mm] 0 nach Vorraussetzung [mm] \Rightarrow [/mm] beliebige Folge [mm] \{\bruch{1}{x_n}\} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] gegen [mm] x_0 \Rightarrow f(\bruch{1}{x_n}) [/mm] gegen [mm] \infty \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{1}{f(x)}=\infty.[/mm]
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Hiho,
erstmal: Deine Aufgabe soll sicherlich heißen
$ [mm] \lim_{\stackrel{x\rightarrow x_0}{x \not= x_0}}f(x) [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow \lim_{\stackrel{x\rightarrow x_0}{x \not= x_0}}\bruch{1}{f(x)}=\infty. [/mm] $
> Klingt erstmal logisch, nur fehlt mir irgendwie der Ansatz.
Das geht ganz einfach über die Definition.
Wann gilt denn [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = 0$ und wann gilt [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = [mm] \infty$?
[/mm]
Und deine Umformungen sind grundlegend falsch, denn im Allgemeinen gilt:
[mm] $f\left(\bruch{1}{x}\right) \not= \bruch{1}{f(x)}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 22.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Ja, ich bin doch in die Definition gegangen:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=0 \Rightarrow [/mm] für jede beliebige Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_n \rightarrow x_0 [/mm] folgt [mm] f(x_n) \rightarrow [/mm] 0.
Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty \Rightarrow [/mm] für jede beliebige Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_m \rightarrow x_0 [/mm] folgt [mm] f(x_m) \rightarrow \infty. [/mm] Weil [mm] f(x_n) \rightarrow [/mm] 0 folgt: [mm] f(x_m)=bruch{1}{f(x_n)}\rightarrow \infty.
[/mm]
Geht das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, ich bin doch in die Definition gegangen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=0 \Rightarrow[/mm] für jede
> beliebige Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_n \rightarrow x_0[/mm] folgt [mm]f(x_n) \rightarrow[/mm]
> 0.
>
> Wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty \Rightarrow[/mm] für
> jede beliebige Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_m \rightarrow x_0[/mm] folgt
> [mm]f(x_m) \rightarrow \infty.[/mm] Weil [mm]f(x_n) \rightarrow[/mm] 0 folgt:
> [mm]f(x_m)=bruch{1}{f(x_n)}\rightarrow \infty.[/mm]
Da gehts aber drunter und drüber !!!
>
> Geht das?
Nein.
>
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] x_n \ne x_0 [/mm] für alle n.
Setze [mm] y_n=f(x_n) [/mm] und zeige:
[mm] y_n \to [/mm] 0 [mm] \gdw 1/y_n \to \infty
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Do 23.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
was geht denn da drunter und drüber? ich bin nach der Definition gegangen, warum ist das falsch und wie geht es denn dann besser???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> was geht denn da drunter und drüber?
Das:
" $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty \Rightarrow [/mm] $ für jede beliebige Folge in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ [mm] x_m \rightarrow x_0 [/mm] $ folgt $ [mm] f(x_m) \rightarrow \infty. [/mm] $ Weil $ [mm] f(x_n) \rightarrow [/mm] $ 0 folgt: $ [mm] f(x_m)=bruch{1}{f(x_n)}\rightarrow \infty. [/mm] $"
Einmal sagst Du $ [mm] f(x_m) \rightarrow \infty$, [/mm] dann plötzlich $ [mm] f(x_n) \rightarrow [/mm] 0 $ und dann kommt noch der Unfug
[mm] f(x_m)=\bruch{1}{f(x_n)}
[/mm]
> ich bin nach der
> Definition gegangen, warum ist das falsch
Ist es Dir nun klar geworden ?
> und wie geht es
> denn dann besser???
Das hab ich Dir in meiner letzten Antwort gesagt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 23.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Sorry, aber genau dieser Tipp wurde mir in der vorherigen Antwort gegeben. Ich kann ja nichts dafür, wenn mir da Unfug vorgeschlagen wird und ich es verwende.
Ich weiß nicht genau, was das ganze mit folgen zu tun hat. Ich habe nur die Definition.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 23.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, aber genau dieser Tipp wurde mir in der vorherigen
> Antwort gegeben.
wo? Ich finde das weder in Freds noch in Gonos Antworten, nur bei Deinen
Fragen!
> Ich kann ja nichts dafür, wenn mir da
> Unfug vorgeschlagen wird und ich es verwende.
Unabhängig von dieser Aufgabe: Doch, das ist Deine Verantwortung. Du
hast selbst zu verantworten, was Du machst, und ob Du das einfach nur
glaubst, oder erst auf Wahrheit prüfst.
Wenn ich Dir sage: "Geschwindigkeitsbeschränkungen kannst Du in
Deutschland einfach ignorieren", die Polizei Dich dann in einer Ortschaft
mit 120 blitzt, werden die Dich auch nicht mit 'ner Verwarnung davon
kommen lassen, nur, weil Du sagst, dass ich Dir aber doch gesagt hätte,
dass Du hier so schnell fahren darfst, wie Du willst.
Also: Diese Naivität musst Du ablegen!
> Ich weiß nicht genau, was das ganze mit folgen zu tun hat.
> Ich habe nur die Definition.
Wie lautet denn Eure Definition?
Bekannt ist etwa: Ist [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $D\,$ [/mm] (nicht notwendig [mm] $x_0 \in [/mm] D$) und
ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR,$ [/mm] so heißt [mm] $G\,$ [/mm] der Funktionsgrenzwert von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0,$ [/mm] wenn für alle Folgen
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit
$D [mm] \ni x_n \not=x_0$ [/mm] (für alle [mm] $n\,$) [/mm] und [mm] $x_n \to x_0$ [/mm]
gilt, dass
[mm] $f(x_n) \to [/mm] G.$
Wir schreiben dann auch
[mm] $\lim_{x_0 \not=x \to x_0}f(x):=G\,.$
[/mm]
(Falls das nicht Eure Definition ist, wäre es gut, wenn ihr in einem Satz/Lemma/whatever
festgehalten habt, dass das obige dazu äquivalent ist!)
Zu Deiner Aufgabe:
Am besten setzt Du erstmal [mm] $g(x):=1/f(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0\},$ [/mm] was möglich ist, da
insbesondere $f(x) [mm] \not=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{x_0\}$ [/mm] gilt.
(Beachte, dass [mm] $g\,$ [/mm] dann zwar "nur" auf [mm] $\IR \setminus \{x_0\}$ [/mm] definiert ist, aber [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt
von [mm] $\IR \setminus \{x_0\}$ [/mm] ist!)
"Beweis von [mm] $\Rightarrow$":
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt: Sind [mm] $r_n \in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $x_0 \not=r_n \to x_0 \,,$ [/mm] dann wissen wir schon, dass
$0 < [mm] f(r_n) \to [/mm] 0$
gilt.
Zu zeigen ist nun: Sind [mm] $\IR \setminus \{x_0\} \ni \blue{x_n} \to x_0,$ [/mm] so folgt schon
[mm] $g(x_n) \to \infty.$
[/mm]
Seien also [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0\,.$ [/mm] Dann gilt mit [mm] $y_n:=f(x_n)$ [/mm] (für alle [mm] $n\,$) [/mm] sofort
[mm] $g(x_n)=\frac{1}{f(x_n)}=\frac{1}{y_n}\,.$
[/mm]
Nach Voraussetzung muss [mm] $f(x_n) [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] sein, und zudem [mm] $f(x_n) \to [/mm] 0$ gelten.
Also gilt $0 < [mm] y_n \to 0\,.$ [/mm] Und damit ist, wenn man die Aufgabe (äquivalent) umforliert,
somit nur zu zeigen:
Aus $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ folgt schon [mm] $\frac{1}{y_n} \to \infty.$
[/mm]
Du hast an dieser Stelle also noch zu zeigen: Ist $C > [mm] 0\,$ [/mm] fest, so gibt es ein
[mm] $N=N_C \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $\frac{1}{y_n} \;\ge\;C$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
gilt. (Tipp dazu: Ist $C > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es wegen $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ zu [mm] $\epsilon:=1/C [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] ein [mm] $N_1=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|y_n-0|=y_n \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1.$)
[/mm]
"Beweis von [mm] $\Leftarrow$": [/mm]
Das geht ziemlich analog (weshalb man meist eine solche Aufgabe wie hier
direkt in einem Äquivalenzbeweis verpackt - aber wenn es, so wie hier, hapert,
denke ich, dass es besser ist, den [mm] $\gdw$-Beweis [/mm] in zwei Teilbeweise: [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und
[mm] $\Leftarrow$, [/mm] zu zerlegen!)
Versuch' nun mal, das genauso (sauber) aufzuschreiben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 23.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Ich habe die Gedankengänge verstanden. Aber wieso kann man nicht direkt Schlussfolgern: da [mm] y_n \rightarrow [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{y_n}\rightarrow \infty? [/mm]
Weil [mm] y_n [/mm] gegen 0 konvergiert, existiert [mm] \varepsilon>0 [/mm] fest, sodass [mm] y_n [/mm] ab einem bestimmten [mm] n_0\in \IN [/mm] beliebig klein wird. Jetzt muss ich wohl den Abstand [mm] \bruch{1}{y_n}>\varepsilon [/mm] betrachten. Dafür müsste ja dann gelten [mm] \bruch{1}{y_n} \rightarrow \infty.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 23.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe die Gedankengänge verstanden. Aber wieso kann man
> nicht direkt Schlussfolgern: da [mm]y_n \rightarrow[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{y_n}\rightarrow \infty?[/mm]
weil man, nur, weil uns das logisch erscheint, auf einen Beweis dieser
Behauptung nicht verzichten kann - es sei denn, ihr habt das schonmal
bewiesen!
(Übrigens könnte man i.a. etwa nur folgern: Wenn alle [mm] $y_n \not=0$ [/mm] sind, dann gilt:
[mm] $y_n \to [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $|1/y_n| \to 0\,.$
[/mm]
Ich meine, bei [mm] $y_n \to [/mm] 0$ könnte i.a. noch das Vorzeichen der [mm] $y_n$ [/mm] "hin- und herspringen".
Also oben: $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $1/y_n \to +\infty\,.$)
[/mm]
> Weil [mm]y_n[/mm] gegen 0 konvergiert, existiert [mm]\varepsilon>0[/mm] fest,
> sodass [mm]y_n[/mm] ab einem bestimmten [mm]n_0\in \IN[/mm] beliebig klein
> wird.
Nein, aus $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ folgt: Zu JEDEM [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|y_n-0| \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0.$
[/mm]
Letzteres ist (hier) äquivalent zu
$0 < [mm] y_n \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0.$
[/mm]
(Das ist quasi das, was wir benutzen dürfen, unsere Voraussetzung!)
Dass [mm] $1/y_n \to \infty$ [/mm] bedeutet per Definitionem, dass zu zeigen ist:
Zu JEDEM $C > 0$ gibt es ein [mm] $N=N_C \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $1/y_n \ge [/mm] C$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N.$
Das ist zu zeigen!!
Um das zu zeigen, gibst Du Dir ein [mm] $C\,$ [/mm] vor, welches nur die Eigenschaft hat:
Es ist $C > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Man schreibt dann meist: Es sei $C > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest...)
|| Dieses [mm] $C\,$ [/mm] wird NICHT konkretisiert, d.h. Du schreibst nicht, dass [mm] $C=2\,$
[/mm]
oder [mm] $C=\pi$ [/mm] sein sollte. Du nimmst nur das Wissen mit, dass das [mm] $C\,$ [/mm] halt
$C > [mm] 0\,$ [/mm] erfüllt, denn das bedeutet, dass man am Ende sagen kann:
"Da $C > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig war, gilt für alle $C > [mm] 0\,,$ [/mm] dass ..." ||
Jetzt musst Du begründen (in sinnvoller Weise durch Verwendung der
Voraussetzung), dass wir dann ein [mm] $N=N_C$ [/mm] so angeben können, dass
[mm] $1/y_n \ge [/mm] C$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
gefolgert werden kann!
Das ist Deine Aufgabe (Du solltest mal den Tipp benutzen und das Einsetzen,
dann ist da nur eine einzige kleine Umformung noch zu machen und schon
steht das da!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 23.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
okay, also noch einmal fürs verständnis, weil mir das thema schon ziemlich schwer fällt:
da gilt: [mm] 0
Und jetzt soll ich dies so umformen, dass dort steht: [mm] \bruch{1}{y_n}\ge [/mm] C?
Dann hätte ich:
Sei C > 0 fest aber beliebig. Wegen [mm] 0C\Rightarrow \bruch{1}{y_n}>C\Rightarrow [/mm] Da C beliebig: [mm] \forall [/mm] C >0 [mm] \exists n_0 \forall n\ge n_0: \bruch{1}{y_n}>C \Rightarrow \bruch{1}{y_n}\rightarrow \infty[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 23.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, also noch einmal fürs verständnis, weil mir das
> thema schon ziemlich schwer fällt:
>
> da gilt: [mm]0
> [mm]d(y_n-0)=y_n \le \varepsilon \forall n\ge n_0.[/mm]
sofern denn [mm] $d(r):=|r|\,$ [/mm] ist - ansonsten, wenn Du $d(r,s):=|r-s|$ hast, passt Deine
Notation nicht! (Dann müsstest Du [mm] $d(y_n,0)$ [/mm] anstatt [mm] $d(y_n \red{\;-\;}0)$ [/mm] schreiben!)
> Wähle nun C
> beliebig aber fest, sodass [mm]\exists N_0\in \IN: y_n \le[/mm] C
> [mm]\forall n\ge N_0.[/mm]
Ne, das ist schon der Haken - ich habe Dir doch gesagt, was Du machen
sollst. Daran sollst Du nicht rumspielen.
Ich mach's jetzt mal so: Sei $C > [mm] 0\,$ [/mm] (das ist für spätere Zwecke wichtig,
man erspart sich Fallunterscheidungen - abgesehen davon habe ich das in
der von mir gegebenen Definition mitgegeben).
Wir definieren
[mm] $\epsilon_1:=\epsilon_1(C):=\frac{1}{C}\,,$
[/mm]
dann ist [mm] $\epsilon_1 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Da nach Voraussetzung ja für alle(!) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $y_n \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
existiert, gibt es insbesondere auch zu diesem [mm] $\underbrace{\epsilon_1}_{> 0}$ [/mm] ein [mm] $\tilde{N}=\tilde{N}(\epsilon_1) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $y_n \le \epsilon_1$ [/mm] für alle $n [mm] \ge \tilde{N}.$
[/mm]
> Und jetzt soll ich dies so umformen, dass dort steht:
> [mm]\bruch{1}{y_n}\ge[/mm] C?
Ja, das ist das, worauf wir hinauswollen.
> Dann hätte ich:
> Sei C > 0 fest aber beliebig. Wegen [mm]0
> [mm]\exists n_0\in\IN: |y_n-0|\le \bruch{1}{C}[/mm]
Hier benutzt Du dann das, was ich oben geschrieben habe. Und es ist dann
[mm] $n_0$ [/mm] eigentlich das, was ich nur als [mm] $\tilde{N}$ [/mm] bezeichnet habe.
> [mm]\forall n\ge n_0. \Rightarrow f(x_n)\le \bruch{1}{C} \Rightarrow \bruch{1}{f(x_n)}>C\Rightarrow \bruch{1}{y_n}>C\Rightarrow[/mm]
Pass' ein bisschen auf, dass Du aus [mm] $\le$ [/mm] nicht einfach [mm] $<\,$ [/mm] machst - analog aus
[mm] $\ge$ [/mm] nicht [mm] $>\,.$ [/mm] Du darfst nur immer umgekehrt aus [mm] $<\,$ [/mm] auch ein [mm] $\le$ [/mm] machen,
etwa:
Wenn $x < [mm] 7\,,$ [/mm] dann gilt auch $x [mm] \le 7\,.$
[/mm]
(Denn: $x [mm] \le [/mm] 7$ bedeutet nichts anderes, als, dass eine der Aussagen
$x < [mm] 7\,$ [/mm] oder [mm] $x=7\,$
[/mm]
gilt!)
> Da C beliebig: [mm]\forall[/mm] C >0 [mm]\exists n_0 \forall n\ge n_0: \bruch{1}{y_n}>C \Rightarrow \bruch{1}{y_n}\rightarrow \infty[/mm]
Eigentlich sieht das gar nicht so schlecht aus. (Wie gesagt: Nicht irgendein
[mm] $C\,$ [/mm] hernehmen, sondern "irgendein $C > [mm] 0\,$" [/mm] am Anfang!) Ich würde
es aber mal lieber mehr mit Worten anstatt mit den Symbolen schreiben -
wenn man es in Worten kann, ist es nicht schwer, es in den Formalismus
umzuschreiben.
Aber meist verliert man, wenn man direkt nur den Formalismus verwendet,
schonmal schneller den Überblick. Gut ist eigentlich eine "passende Mischung".
Also, ich schreibe mein's mal "formal" hin (so ein bisschen passend zu Deinem
Formalismus):
Voraussetzung: $0 < [mm] y_n \to 0\,.$
[/mm]
Zu zeigen: Dann folgt [mm] $1/y_n \to \infty.$
[/mm]
Beweis:
Sei $C > [mm] 0\,.$ [/mm] Zu zeigen: [mm] $\exists N_1=N_1(C) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $1/y_n \ge [/mm] C$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_1.$
[/mm]
Setze [mm] $\epsilon_1:=1/C [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann: Wegen $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ gilt:
[mm] $\exists \tilde{N}=\tilde{N}(\epsilon_1) \in \IN:$ $\forall [/mm] n [mm] \ge \tilde{N}$ $\Rightarrow$ [/mm] $0 < [mm] y_n \le \epsilon_1.$
[/mm]
Wegen [mm] $\epsilon_1=1/C\,$ [/mm] folgt dann
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge \tilde{N}$ $\Rightarrow$ [/mm] $0 < [mm] y_n \le [/mm] 1/C.$
Aus (man beachte: [mm] $y_n,C [/mm] > [mm] 0\,$)
[/mm]
$0 < [mm] y_n \le [/mm] 1/C$ [mm] $\iff$ [/mm] $0 < C [mm] \le \frac{1}{y_n}$
[/mm]
folgt dann
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge \tilde{N}$ $\Rightarrow$ [/mm] $0 < C [mm] \le 1/y_n.$
[/mm]
Setzen wir also [mm] $N_1:=\tilde{N},$ [/mm] so folgt insbesondere
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_1$ $\Rightarrow$ [/mm] $C [mm] \le 1/y_n.$
[/mm]
Das war zu zeigen. [mm] $\Box$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 23.01.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Okay, super! Jetzt habe ich es verstanden und versuche es analog mal mit der Rückrichtung.
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