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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 30.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rand [mm]\partial A[/mm], die Abschluss [mm]\overline{A}=A \cup \partial A[/mm] sowie den offenen Kern [mm]A^{\circ}=A \backslash \partial A[/mm] für die folgende Teilmenge von [mm] \IR
[/mm]
[mm]A:=\IQ \cap \{x \in \IR | 0 < x^{2} < 2\} \subset \IR[/mm] |
Hallo,
ich muss mehrere für mehrere Teilmengen den Rand, den Abschluss und den offenen Kern bestimmen, ich weiß aber nicht wie ich das machen muss.
Ich kenne zwar die Definitionen, aber die Anwendung bereitet mir noch Probleme, da wir kein konkretes Beispiel hatten und ich auch keins finden kann.
Es wäre also nett, wenn mir jemand zeigen könnte, wie ich anhand dieser Beispielaufgabe den Rand, den Abschluss und den offenen Kern bestimmen kann, damit ich den Rest alleine schaffe.
Danke schonmal!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
die Menge A ist ja die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat im Offenen Intervall zwischen 0 und 2 liegen, als Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet. Das schwierige an dieser Aufgabe ist es vielleicht, dass man eine Menge rationaler Zahlen über den reellen betrachtet. Hier muss man darauf achten, dass in jeder Umgebung einer rationalen Zahl wieder sowohl eine relle als auch eine rationale liegen. Wenn man den Rand bestimmen möchte, muss man sich fragen, für welche Punkte aus [mm] \IR [/mm] in jeder Umgebung sowohl Punkte aus [mm] A [/mm] als auch aus [mm] A^c [/mm] liegen. (Was genau wäre [mm] A^c [/mm]?) D.h.: [mm] \partial A = \{x \in \IR | -\sqrt2 \le x \ge \sqrt2\} [/mm] Denn für alle Punkte a aus [mm] \partial A [/mm] gibt es in jeder [mm] \epsilon[/mm]-Umgebung von a sowohl Punkte aus [mm]A[/mm] als auch aus [mm]A^c[/mm]. Der Grund ist, dass [mm] \IQ[/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Wenn man den Rand nun hat lassen sich Kern und Abschluss leicht bestimmen.
Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die Menge A ist ja die Menge der rationalen Zahlen, deren
> Quadrat im Offenen Intervall zwischen 0 und 2 liegen, als
> Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet. Das schwierige an
> dieser Aufgabe ist es vielleicht, dass man eine Menge
> rationaler Zahlen über den reellen betrachtet. Hier muss
> man darauf achten, dass in jeder Umgebung einer rationalen
> Zahl wieder sowohl eine relle als auch eine rationale
> liegen. Wenn man den Rand bestimmen möchte, muss man sich
> fragen, für welche Punkte aus [mm]\IR[/mm] in jeder Umgebung sowohl
> Punkte aus [mm]A[/mm] als auch aus [mm]A^c[/mm] liegen. (Was genau wäre [mm]A^c [/mm]?)
> D.h.: [mm]\partial A = \{x \in \IR | -\sqrt2 \le x \ge \sqrt2\}[/mm]
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler: richtig:
[mm]\partial A = \{x \in \IR | -\sqrt2 \le x \le \sqrt2\}[/mm]
FRED
> Denn für alle Punkte a aus [mm]\partial A[/mm] gibt es in jeder
> [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung von a sowohl Punkte aus [mm]A[/mm] als auch aus
> [mm]A^c[/mm]. Der Grund ist, dass [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
> Wenn man den Rand nun hat lassen sich Kern und Abschluss
> leicht bestimmen.
>
> Lippel
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