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Rechnen mitSymmetrischegruppen: Vorschlaege/Hilfe/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 31.03.2017
Autor: Chrizzldi

Aufgabe
Seien [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4}, \pi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 6 & 1 & 3 & 2 & 5} \in S_6, [/mm] U = [mm] <\pi>$. [/mm]

(a) Stellen Sie [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] als Produkte disjunkter Zyklen dar.
(b) Geben Sie alle Elemente von $U$ explizit an.
(c) Sei $p = (12)(34)(56)$. Entscheiden Sie, ob $p$ und [mm] $\sigma$ [/mm] in derselben Rechtsnebenklasse von $U$ liegen.
(d) Kann es eine Untergruppe $H [mm] \leq S_6$ [/mm] mit $|H| = 35$ geben?


Hallo liebes Matheforum,

mir fehlt noch sehr viel Wissen, evtl. Vorwissen, um diese Aufgabe zu loesen. Ich hoffe ihr koennt mir helfen das ganze etwas klarer zu sehen. Folgendes sind meine Gedanken:

(zu a):
Unter Produkte disjunkter Zyklen stelle ich mir erst einmal die Menge aller in [mm] $S_6$ [/mm] moeglichen Kombinationen vor, dann eine Konkatenation einiger dieser Elemente, sodass z.B. [mm] $p_1 \circ p_2 \circ p_3 [/mm] = [mm] \sigma$ [/mm] ergibt. Das Woertchen disjunkt fuchst hier noch rum, also vermute ich, die Elemente [mm] $p_1, p_2, p_3$ [/mm] duerfen nicht verwendet werden um das Produkt (ist das ueberhaupt die Konkatenation?) fuer [mm] $\pi$ [/mm] zu bilden.

Mal davon abgesehen, dass ich mir das aus meinem minderen Mathewissen nur so herleite, wie finde ich solche [mm] $p_1, \ldots$ [/mm] denn am einfachsten heraus? Gibt es da Tricks :)?

(zu b):
Ist mit allen Elementen $U$ gemeint, dass es alle die mit [mm] $\pi$ [/mm] erzeugbaren Elemente erhaelt? Wahrscheinlich echt dumm gefragt, aber ist dass sowas wie [mm] $\pi \circ \pi \circ \pi \ldots$ [/mm] und weil es ja ein Zyklus ist bin ich irgendwann wieder bei [mm] $\pi$, [/mm] also fertig?

(zu c):
Ich berechne wie in (b) [mm] $U_p [/mm] = <p>$ und [mm] $U_\sigma [/mm] = [mm] <\sigma>$, [/mm] ist [mm] $U_p [/mm] = [mm] U_\sigma$ [/mm] sind [mm] $p,\sigma$ [/mm] in der gleichen Rechtsnebenklasse?

(zu d):
Ich weiß leider nicht, was mit $|H| = 35$ gemeint ist. Koennt ihr mir das erklaeren?

Wie immer vielen Dank fuer eure Hilfe!

Gruss,
Chris

        
Bezug
Rechnen mitSymmetrischegruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 So 02.04.2017
Autor: hippias


> Seien [mm]\sigma = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4}, \pi = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 6 & 1 & 3 & 2 & 5} \in S_6, U = <\pi>[/mm].
>  
> (a) Stellen Sie [mm]\sigma[/mm] und [mm]\pi[/mm] als Produkte disjunkter
> Zyklen dar.
>  (b) Geben Sie alle Elemente von [mm]U[/mm] explizit an.
>  (c) Sei [mm]p = (12)(34)(56)[/mm]. Entscheiden Sie, ob [mm]p[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> in derselben Rechtsnebenklasse von [mm]U[/mm] liegen.
>  (d) Kann es eine Untergruppe [mm]H \leq S_6[/mm] mit [mm]|H| = 35[/mm]
> geben?
>  
> Hallo liebes Matheforum,
>  
> mir fehlt noch sehr viel Wissen, evtl. Vorwissen, um diese
> Aufgabe zu loesen.

In diesem Fall schliesse die Wissenslücken, indem Du die unbekannten Begriffe in einem Buch, Skript etc. nachschlägst. Wenn Du dann etwas an den Definitionen nicht verstehst, dann stelle eine konkrete Frage, worin genau das Problem besteht.

> Ich hoffe ihr koennt mir helfen das
> ganze etwas klarer zu sehen. Folgendes sind meine
> Gedanken:
>  
> (zu a):
>  Unter Produkte disjunkter Zyklen stelle ich mir erst
> einmal die Menge aller in [mm]S_6[/mm] moeglichen Kombinationen vor,
> dann eine Konkatenation einiger dieser Elemente, sodass
> z.B. [mm]p_1 \circ p_2 \circ p_3 = \sigma[/mm] ergibt. Das Woertchen
> disjunkt fuchst hier noch rum, also vermute ich, die
> Elemente [mm]p_1, p_2, p_3[/mm] duerfen nicht verwendet werden um
> das Produkt (ist das ueberhaupt die Konkatenation?) fuer
> [mm]\pi[/mm] zu bilden.

Klar: niemand könnte die Aufgabe bearbeiten, wenn man nicht weiss, worüber gesprochen wird. Ist aber ein tapferer Versuch.

>  
> Mal davon abgesehen, dass ich mir das aus meinem minderen
> Mathewissen nur so herleite, wie finde ich solche [mm]p_1, \ldots[/mm]
> denn am einfachsten heraus? Gibt es da Tricks :)?

Mal ein Beispiel in einem Buch durchlesen.

>  
> (zu b):
>  Ist mit allen Elementen [mm]U[/mm] gemeint, dass es alle die mit
> [mm]\pi[/mm] erzeugbaren Elemente erhaelt? Wahrscheinlich echt dumm
> gefragt, aber ist dass sowas wie [mm]\pi \circ \pi \circ \pi \ldots[/mm]
> und weil es ja ein Zyklus ist bin ich irgendwann wieder bei
> [mm]\pi[/mm], also fertig?

Vermutlich lautet die Antwort auf die Frage Ja. Die Notation findest Du in jedem Lehrbuch erklärt.

>  
> (zu c):
>  Ich berechne wie in (b) [mm]U_p =

[/mm] und [mm]U_\sigma = <\sigma>[/mm],
> ist [mm]U_p = U_\sigma[/mm] sind [mm]p,\sigma[/mm] in der gleichen
> Rechtsnebenklasse?

Wende die Definition für Restklassen bezüglich $U$ an.

>  
> (zu d):
>  Ich weiß leider nicht, was mit [mm]|H| = 35[/mm] gemeint ist.
> Koennt ihr mir das erklaeren?

$|H|$ meint die Anzahl er Elemente in $H$.

>  
> Wie immer vielen Dank fuer eure Hilfe!

Ein Tip zum Schluss: Ich würde dringend das Skript aufarbeiten.

>  
> Gruss,
>  Chris


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