Rechnen mit Komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe 1 | Berechnet für a,b,c,d,e,f [mm] \in \IR:
[/mm]
A= (a+ib)+c
B=(a+ib)*((c+id)+(e+if))
C=(a+ib)*(c+id)*(e+if) |
| Aufgabe 2 | [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist in [mm] \IC [/mm] definiert durch i.
Zeigt, dass i²=-1 |
Hallo!
Ich versuche mich gerade ein wenig in Komplexe Zahlen einzuarbeiten und wäre sehr dankbar, falls jemand meine Ergebnisse korrigieren könnte und mir ggf. ein paar Tipps zu den noch ausstehenden Aufgaben geben könnte
Meine Ergebnisse der 1):
vorab muss ich wohl sagen, dass in dem Skript folgendes stand:
Addition komplexer Zahlen:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Multiplikation komplexer Zahlen:
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Nun bin ich davon ausgegangen, dass (a,b) das gleiche ist wie (a+ib); ich hoffe, dass ich vorneweg nicht alles komplett falsch verstanden habe .. ?
A=(a+c)+ ib
B=ac+ae-(i²(bd)+i²(bf)) +a id+ a if + ibc + ibe
=ac + ae +bd + bf + i*(ad + af + bc + be)
Sonstiges auszuklammern befand ich dann mehr schlecht, als recht.
Dabei habe ich dann i² einfach als -1 genommen und das Vorzeichen dadurch rumgedreht.
Und man multipliziert hier einfach immer beliebig den reellen mit dem imaginären Teil ohne dem Unterschied da jegliche Beachtung zu schenken?
Bei der C weiß ich leider nicht so recht wie ich das Beispiel darauf übertragen soll.
Bei Aufgabe 2) weiß ich leider nicht so recht wie man es zeigen soll.
Einfach nur zu sagen i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] | ^2
i² = -1
ist wohl nicht ganz Sinn und Zweck der Sache.
Könnte mir da evtl. jemand sagen wie ich das ganze angehen soll?
Lg
Marco
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite oder dergleichen gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Bei Aufgabe 2) weiß ich leider nicht so recht wie man es
> zeigen soll.
>
> Einfach nur zu sagen i = [mm]\wurzel{-1}[/mm] | ^2
> i² = -1
>
> ist wohl nicht ganz Sinn und Zweck der Sache.
Mich hat das zumindest überzeugt 
> Könnte mir da evtl. jemand sagen wie ich das ganze angehen
> soll?
Aufgabe 1 nach würde ich es wie folgt machen:
Es ist
$i = (0,1)$,
klar?
Dann ist
$[i * i = [mm] i^2] [/mm] = (0,1) * (0,1) = (0*1-1*1,0*1+1*0) = (-1,0) = -1$
Ich habe benutzt, dass (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc) ist
Aufgabe 1 geht genauso, du sollst da nur lernen, wie man mit den Tupeln rechnet.
Neben (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc) benötigst du für Aufgabe 1 auch noch
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
Das ist nur ein bisschen rechenaufwändig.
Viele Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ja, dass i=(0,1) gilt ist so, weil der Reellteil 0 und der Imaginärteil 1 ist.
Mein Problem ist ja gar nicht das Rechnen mit Tupeln sondern diese "Transformation", da in den Aufgaben ja gar keine Tupel sondern einfach nur Summen angegeben werden. Aber ich kann dann einfach sagen, dass
a+ib identisch mit (a,b) ist und c identisch mit (c,0)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
> Aber ich kann dann einfach sagen, dass
>
> a+ib identisch mit (a,b) ist und c identisch mit (c,0)?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Yep!
Gruß
Loddar
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> Berechnet für a,b,c,d,e,f [mm]\in \IR:[/mm]
>
> A= (a+ib)+c
>
> B=(a+ib)*((c+id)+(e+if))
>
> C=(a+ib)*(c+id)*(e+if)
> [mm]\wurzel{-1}[/mm] ist in [mm]\IC[/mm] definiert durch i.
>
> Zeigt, dass i²=-1
> Hallo!
Hey!
>
> Ich versuche mich gerade ein wenig in Komplexe Zahlen
> einzuarbeiten und wäre sehr dankbar, falls jemand meine
> Ergebnisse korrigieren könnte und mir ggf. ein paar Tipps
> zu den noch ausstehenden Aufgaben geben könnte
>
> Meine Ergebnisse der 1):
>
> vorab muss ich wohl sagen, dass in dem Skript folgendes
> stand:
>
> Addition komplexer Zahlen:
> (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
>
Genau, so ist die Addition zweier komplexer Zahlen definiert, analog addiert man so auch zwei Vektoren im [mm] \IR^2.
[/mm]
> Multiplikation komplexer Zahlen:
> (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
>
Genau. Beachte das es hierzu kein Vergleich gibt zu Vektoren im [mm] \IR^2. [/mm]
> Nun bin ich davon ausgegangen, dass (a,b) das gleiche ist
> wie (a+ib); ich hoffe, dass ich vorneweg nicht alles
> komplett falsch verstanden habe .. ?
>
Das ist richtig. Es sind zwei äquivalente Schreibweisen für komplexe Zahlen!
> A=(a+c)+ ib
>
> B=ac+ae-(i²(bd)+i²(bf)) +a id+ a if + ibc + ibe
>
> =ac + ae +bd + bf + i*(ad + af + bc + be)
Jetzt hast du was durcheinander gebracht! Entweder du rechnest im Zahlenpaaren (a,b) und der Definition wie oben (dann kommt kein $i$ vor!), oder in der Form a+bi. Dann kannst du zwei Zahlen unter den üblichen Rechenregeln (Distributivgesetz etc) ausmultiplizieren. Beachte das jetzt auch verwenden kannst [mm] i^2=-1.
[/mm]
Beispiel:
[mm] (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=ac+bci+adi-bd=ac-bd+i(bc+ad)
[/mm]
Vergleiche dies jetzt mal mit der Definition von oben!
> Sonstiges auszuklammern befand ich dann mehr schlecht, als
> recht.
>
> Dabei habe ich dann i² einfach als -1 genommen und das
> Vorzeichen dadurch rumgedreht.
>
> Und man multipliziert hier einfach immer beliebig den
> reellen mit dem imaginären Teil ohne dem Unterschied da
> jegliche Beachtung zu schenken?
>
> Bei der C weiß ich leider nicht so recht wie ich das
> Beispiel darauf übertragen soll.
>
>
>
> Lg
>
> Marco
>
>
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite oder
> dergleichen gestellt.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Beim Vergleichen deiner Ausführung und der Definition der Multiplikation fiel mir auf, dass sie identisch sind.
Dann sähen meine Lösungen nun wie folgt aus:
A=(a+c,b), alternativ also A = a+c+ib
B=(ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be), alternativ also
B= ac+ae-bd-bf +i* (ad+af+bc+be)
C= (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce), alternativ also
C = ace - bde - adf - bcf + i*(acf - bdf + ade + bce)
Ich hoffe, dass ich nicht nochmal etwas durcheinander gebracht habe und auch, dass man es einfach, wenn man es in Tupeln zunächst berechnet hat, dann einfach "das , durch ein "+ i *()" ersetzen kann".
Ich hoffe das kann man verstehen :/
Lg
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> Hallo
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> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
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> Beim Vergleichen deiner Ausführung und der Definition der
> Multiplikation fiel mir auf, dass sie identisch sind.
>
> Dann sähen meine Lösungen nun wie folgt aus:
>
> A=(a+c,b), alternativ also A = a+c+ib
>
> B=(ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be), alternativ also
>
> B= ac+ae-bd-bf +i* (ad+af+bc+be)
>
>
> C= (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce),
> alternativ also
>
> C = ace - bde - adf - bcf + i*(acf - bdf + ade + bce)
>
Stimmt auch ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> Ich hoffe, dass ich nicht nochmal etwas durcheinander
> gebracht habe und auch, dass man es einfach, wenn man es in
> Tupeln zunächst berechnet hat, dann einfach "das , durch
> ein "+ i *()" ersetzen kann".
> Ich hoffe das kann man verstehen :/
Genau! Wobei ich es einfacher finde in der Form $a+bi$ zu rechnen, dann muss man sich die Definition der Multiplikation nicht merken, sondern rechnet wie in den reellen Zahlen und beachtet, dass [mm] i^2=-1 [/mm] gilt.
Ich denke die Schreibweise mit dem $i$ ist auch üblicher, als die mit dem Zahlenpaaren.
>
> Lg
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