Rechnen mit Minimalpolynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Finden Sie für die folgenden Zahlen a ein Polynom f, welches diese Zahl als Nullstelle besitzt und irreduzibel über [mm] \IQ [/mm] ist.
(a) [mm] a=\wurzel{3}
[/mm]
(b) [mm] a=1+\wurzel{2}
[/mm]
(c) [mm] a=1+\wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] |
Hallo Zusammen!
Wir haben im Tutorium eine Beispielaufgabe gelöst. Daher dachte ich mir, dass ich das eventuell kann. Nun stell ich fest, dass ich nicht einmal die Beispielaufgabe nachvollziehen kann.
Würde mich also sehr drüber freuen, wenn mir erste einmal einer die Beispielaufgabe erklären könnte. Dann könnte ich mir Gedanken über diese Aufgabe machen und dieses dann hier rein stellen.
Schon einmal vielen DANK!
Also hier die Beispielaufgabe:
Gesucht ist also f(a)=0.
[mm] a=2+\wurzel{5}
[/mm]
Vermutung: der Grad von f ist 2!
Wie stellt man diese Vermutung auf. Weil da zwei Summanden stehen. Würde ich also bei (a) vermuten das der Grad 1 und bei (c) der Grad 3 ist?
Also ist [mm] f(x)=1*x^{2}+\alpha x+\beta [/mm] mit [mm] \alpha,\beta \in \IQ.
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] (2+\wurzel5)^{2} [/mm] = [mm] 9+4\wurzel{5}
[/mm]
Warum wird hier quadriert?
Wir setzen [mm] \alpha [/mm] = -4
Warum setzen wir jetzt [mm] \alpha [/mm] = -4? Weil das [mm] 9+4\wurzel{5} [/mm] steht?
[mm] \Rightarrow a^{2}-4a [/mm] = 1
Wo kommt dieses Gleichung her?
[mm] \Rightarrow a^{2}-4a-1 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] x^{2}-4x-1 [/mm] hat a als Nullstelle.
Falls (b) genau so geht, wurde ich für f(x) folgendes erhalten:
f(x) = [mm] x^{2}-2x-1.
[/mm]
Über ein Erklärung würde ich mich sehr freuen.
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Finden Sie für die folgenden Zahlen a ein Polynom f,
> welches diese Zahl als Nullstelle besitzt und irreduzibel
> über [mm]\IQ[/mm] ist.
> (a) [mm]a=\wurzel{3}[/mm]
> (b) [mm]a=1+\wurzel{2}[/mm]
> (c) [mm]a=1+\wurzel{2}+\wurzel{3}[/mm]
> Wir haben im Tutorium eine Beispielaufgabe gelöst. Daher
> dachte ich mir, dass ich das eventuell kann. Nun stell ich
> fest, dass ich nicht einmal die Beispielaufgabe
> nachvollziehen kann.
> Würde mich also sehr drüber freuen, wenn mir erste einmal
> einer die Beispielaufgabe erklären könnte. Dann könnte ich
> mir Gedanken über diese Aufgabe machen und dieses dann hier
> rein stellen.
> Also hier die Beispielaufgabe:
> Gesucht ist also f(a)=0.
> [mm]a=2+\wurzel{5}[/mm]
> Vermutung: der Grad von f ist 2!
> Wie stellt man diese Vermutung auf. Weil da zwei Summanden
> stehen. Würde ich also bei (a) vermuten das der Grad 1 und
> bei (c) der Grad 3 ist?
Die Vermutung 'Grad = 2' kommt von der Wurzel, ich muß mindestens quadrieren, um die Wurzel wegzukriegen. Deswegen würde man bei a) auch Grad 2 vermuten und bei c) Grad 4, weil man c) 2mal quadrieren muß.
> Also ist [mm]f(x)=1*x^{2}+\alpha x+\beta[/mm] mit [mm]\alpha,\beta \in \IQ.[/mm]
>
> [mm]a^{2}[/mm] = [mm](2+\wurzel5)^{2}[/mm] = [mm]9+4\wurzel{5}[/mm]
> Warum wird hier quadriert?
Gute Frage! Ich würd's auch anders machen, nämlich a-2 bilden und das quadrieren. Aber wie man im folgenden sieht, geht es auch so.
> Wir setzen [mm]\alpha[/mm] = -4
> Warum setzen wir jetzt [mm]\alpha[/mm] = -4? Weil das [mm]9+4\wurzel{5}[/mm]
> steht?
Weil dann in [mm] a^{2} [/mm] - 4a keine Wurzel mehr vorkommt. In der Sprache der linearen Algebra: [mm] a^{2}, [/mm] a und 1 sind linear abhängig über [mm] \IQ, [/mm] und du bist dabei, die Koeffizienten zu bestimmen.
> [mm]\Rightarrow a^{2}-4a[/mm] = 1
> Wo kommt dieses Gleichung her?
Du kannst die linke Seite ausrechnen, sie ergibt 1.
> [mm]\Rightarrow a^{2}-4a-1[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = [mm]x^{2}-4x-1[/mm] hat a als Nullstelle.
>
> Falls (b) genau so geht, wurde ich für f(x) folgendes
> erhalten:
> f(x) = [mm]x^{2}-2x-1.[/mm]
Prima, ich auch. a) ist babyeierleicht, und an c) mußt du etwas herumprobieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Also das hab ich jetzt schon einmal verstanden. Vielen Dank erst einmal dafür.
Nun hab ich mich mal an (a) versucht, da die ja babyeierleicht sein soll. *g*
Also:
a = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
deg(f) = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] 1*x^{2}+\alpha x+\beta
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] (\wurzel{3})^{2} [/mm] = 3
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] x^{2}-3
[/mm]
Wenn man nun a einsetzt würde man eine Nullstelle erhalten:
f(a) = [mm] a^{2}-3 [/mm] = 3-3 = 0
Ist das Richtig?
Ich setz mich dann mal an (c).
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also das hab ich jetzt schon einmal verstanden. Vielen Dank
> erst einmal dafür.
> Nun hab ich mich mal an (a) versucht, da die ja
> babyeierleicht sein soll. *g*
>
> Also:
> a = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> deg(f) = 2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = [mm]1*x^{2}+\alpha x+\beta[/mm]
>
> [mm]a^{2}[/mm] = [mm](\wurzel{3})^{2}[/mm] = 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = [mm]x^{2}-3[/mm]
>
> Wenn man nun a einsetzt würde man eine Nullstelle
> erhalten:
> f(a) = [mm]a^{2}-3[/mm] = 3-3 = 0
>
> Ist das Richtig?
Hör mal, daß 3-3 = 0 richtig ist, weißt du ganz genau! 
Also paletti ...
> Ich setz mich dann mal an (c).
Das kriste auch hin, sachichmal...
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
Nah man is sich ja trotzdem immer noch ein bisschen unsicher.
Nun zu (c):
Also so recht komm ich da noch nicht vorran.
Du hattest mir ja erklärt wie ich auf den Grad komme. Also ist, wie du gesagt hast der Grad bei (c) 4.
Also möchte ich ein Polynom rausbekommen, dass wie folgt aussehen könnte: f(x) = [mm] x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c [/mm] x+d
Nun haben wir vorhin immer [mm] a^{2} [/mm] ausgerechnet. Also muss ich doch jetzt [mm] a^{4} [/mm] ausrechnen, oder?
Irgendwie komm ich da auf riesen Zahlen.
So was hier:
[mm] a^{4} [/mm] = [mm] 80+24\wurzel{2}+24\wurzel{3}+192(\wurzel{3}*\wurzel{2})+(2*\wurzel{2})(2*(\wurzel{2}*\wurzel{3}))+(2*\wurzel{3})(2*(\wurzel{3}*\wurzel{2}))
[/mm]
HILFE! Da sind bestimmt Rechenfehler drin. Und irgendwie erscheint mir das ganze nicht richtig.
Würde mich freuen wenn du noch einmal zur Hilfe schreiten könntest.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Habe ich dich eigentlich hier schon begrüßt? ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Nah man is sich ja trotzdem immer noch ein bisschen
> unsicher.
>
> Nun zu (c):
> Also so recht komm ich da noch nicht vorran.
> Du hattest mir ja erklärt wie ich auf den Grad komme. Also
> ist, wie du gesagt hast der Grad bei (c) 4.
> Also möchte ich ein Polynom rausbekommen, dass wie folgt
> aussehen könnte: f(x) = [mm]x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c[/mm] x+d
> Nun haben wir vorhin immer [mm]a^{2}[/mm] ausgerechnet. Also muss
> ich doch jetzt [mm]a^{4}[/mm] ausrechnen, oder?
Aber Grad 4 ist im Moment genau genommen nur geraten!
> Irgendwie komm ich da auf riesen Zahlen.
Ebend!
> So was hier:
> [mm]a^{4}[/mm] =
> [mm]80+24\wurzel{2}+24\wurzel{3}+192(\wurzel{3}*\wurzel{2})+(2*\wurzel{2})(2*(\wurzel{2}*\wurzel{3}))+(2*\wurzel{3})(2*(\wurzel{3}*\wurzel{2}))[/mm]
Dazu hätte ich auch keine Lust, ich rechne das auch nicht nach, Mathematiker rechnen nicht gerne, sind auch stinkenfaul...
> HILFE! Da sind bestimmt Rechenfehler drin. Und irgendwie
> erscheint mir das ganze nicht richtig.
>
> Würde mich freuen wenn du noch einmal zur Hilfe schreiten
> könntest.
Nimm mal mein Rezept und quadrier a-1, dann den Wurzelkram auf die eine Seite und den Rest auf die andere und fix noch mal quadriert, das funzt...
Also los!
Dieter
|
|
|
| |
|
Also entweder ich rechne falsch oder hier stimmt irgendetwas nicht.
Ich erhalte nämlich das 25 = 24 ist. Und das ist ja wohl ein Wiederspruch.
Ich hab das so gemacht:
Zuerst [mm] (a-1)^{2}: [/mm]
[mm] (a-1)^{2} [/mm] = [mm] (a^{2}-2a+1) [/mm] = [mm] (1+\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2}-(2*(1+\wurzel{2}+\wurzel{3}))+1
[/mm]
= [mm] 5+(2*(\wurzel{2}*\wurzel{3}))
[/mm]
Nun hast du gesagt, das eine auf die eine Seite und das andere auf die andere:
-5 = [mm] 2*(\wurzel{2}*\wurzel{3})
[/mm]
wieder quadrieren:
25 = 24
Langsam kann ich die vielen Wurzeln nicht mehr sehen.
Wo ist der Fehler, wen es einer ist? Wenn nicht, wie geht es jetzt weiter?
Danke für die Bemühungen!
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
> Also entweder ich rechne falsch oder hier stimmt
> irgendetwas nicht.
> Ich erhalte nämlich das 25 = 24 ist. Und das ist ja wohl
> ein Widerspruch.
>
> Ich hab das so gemacht:
> Zuerst [mm](a-1)^{2}:[/mm]
Also junger Mann oder junge Frau, ich hatte mir das so gedacht: Es ist
a-1 =1 + [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] - 1 = [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3}
[/mm]
Quadrieren gibt
[mm] a^{2}-2a+1 [/mm] = 2 + [mm] 2*\wurzel{6} [/mm] + 3 = [mm] 2*\wurzel{6} [/mm] + 5
Weiter umformen
[mm] a^{2}-2a-4 [/mm] = [mm] 2*\wurzel{6}
[/mm]
Jetzt noch mal quadrieren
[mm] a^{4} [/mm] - [mm] 4a^{3} [/mm] - [mm] 4a^{2} [/mm] + 16a + 16 = 24
und jetzt ist ganz ganz heiß...
> [mm](a-1)^{2}[/mm] = [mm](a^{2}-2a+1)[/mm] =
> [mm](1+\wurzel{2}+\wurzel{3})^{2}-(2*(1+\wurzel{2}+\wurzel{3}))+1[/mm]
> = [mm]5+(2*(\wurzel{2}*\wurzel{3}))[/mm]
> Nun hast du gesagt, das eine auf die eine Seite und das
> andere auf die andere:
> -5 = [mm]2*(\wurzel{2}*\wurzel{3})[/mm]
> wieder quadrieren:
> 25 = 24
>
> Langsam kann ich die vielen Wurzeln nicht mehr sehen.
Verstehe, ditto...
> Wo ist der Fehler, wen es einer ist? Wenn nicht, wie geht
> es jetzt weiter?
Gruß und bitte nachrechnen
Dieter
|
|
|
| |
|
DANKE DANKE DANKE
Also jetzt hab ich es verstanden und erhalte im nachrechnen das gleiche wie du.
Überings, danke für den Wilkommensgruß und bei Engel-auf-Wolke kannst du davon ausgehen das ich eine junge Frau bin.
Ich werd jetzt mal meine 6 Schmierblätter entsorgen, da seh ich in 2 Jahren eh nicht mehr durch (wenn man es sich dann noch einmal anschaut! *g*)
Noch einen schönen Tag und nochmals vielen Dank!
Lg
|
|
|
|
