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Forum "Sonstiges" - Rechnen mit Potenzen
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Rechnen mit Potenzen: Hilfestellung zur Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 22.08.2005
Autor: CindyN

HalliHallo,

habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe, die da lautet:

(4²)-²*   [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] * (-8)³ * (16-²)² *   [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] hoch 4 *  [mm] \pmat{ 9 } [/mm] hoch 8

das Ergebnis ist  
[mm] \bruch{1}{16384} [/mm]

Wie komm ich auf das Ergebnis, ich weiß ja das Ansätze von Lösungswegen gefordert sind, aber ich hab nicht den blassesten Schimmer wo ich überhaupt anfangen muss :(



        
Bezug
Rechnen mit Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Mo 22.08.2005
Autor: holy_diver_80

Halloo Cindy,

Die Sache ist einfacher als Du denkst. Berechne einfach jeden Faktor einzeln als Bruch, und multipliziere das Ganze aus.

Etwa: [mm] $(4^2)^{-2}$ [/mm] = [mm] $16^{-2}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{256}$ [/mm]
[mm] $\vektor{ -1 \\ 2 }$ [/mm] = [mm] $\bruch{(-1)*(-2)}{2!}$ [/mm] = [mm] $\bruch{2}{2}$ [/mm] = 1

Bei mir ergibt sich übrigens ein Wert von etwa -1313,68.

Liebe Grüße,
Holy Diver

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Rechnen mit Potenzen: Aufgabe etwas unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Mo 22.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Cindy!


Ich kann mich nur meinem Vorrednerschreiber anschließen ...

Ansonsten versuche doch mal, alles auf 2er-Potenzen umzuschreiben und zusammenzufassen.

Zum Beispiel:

[mm] $\left(4^{-2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4^{-2*2} [/mm] \ = \ [mm] 4^{-4} [/mm] \ = \ [mm] \left(2^2\right)^{-4} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2*(-4)} [/mm] \ = \ [mm] 2^{-8}$ [/mm]


Ich denke aber, dass Du bei diesen großen Klammerausdrücken Brüche meinst, oder?

[mm] $\vektor{-1 \\ 2}$ [/mm] soll heißen [mm] $\bruch{-1}{2}$ [/mm] ??


Meinst Du diese Rechnung hier?

[mm] $\left(4^2\right)^{-2}*\left(-\bruch{1}{2}\right)*(-8)^3*\left(16^{-2}\right)^2*\left(-\bruch{1}{2}\right)^4* [/mm] ...$

Nur die letzten beiden Ziffern/Zahlen kann ich nicht ganz zuordnen.
Was meinst Du denn damit?

Bis dahin ergibt die obige Rechnung nämlich: [mm] $\bruch{1}{4096}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Rechnen mit Potenzen: Aufgabenstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Mi 24.08.2005
Autor: CindyN

Hallo,

hab noch ein wenig Probleme mit der Darstellung der Aufgaben,  so alle Darstellungsmöglichkeiten sind auch gar nicht unten aufgeführt... Aber schau mal:

  [mm] \left(4^2\right)^{-2}\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)\cdot{}(-8)^3\cdot{}\left(16^{-2}\right)^2\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{} [/mm]

Also zu dem ersten Bruch
[mm] \left(-\bruch{1}{2}\right) [/mm]  kommt noch ein Hoch -5
und hinter dem letzten Bruch [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{} [/mm] kommt dann noch eine (9 mit Hoch 0) und dann hoch 8

ich hoff du siehst durch?
LG

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Rechnen mit Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mi 24.08.2005
Autor: CindyN

Hallo Loddar,

[mm] \left(4^2\right)^{-2}\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)^{-5}\cdot{}(-8)^3\cdot{}\left(16^{-2}\right)^2\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{}\left(9^0\right)^8 [/mm]

So, jetzt hab ich´s *freu*

Und da wurde als Ergebnis im Unterricht  [mm] \bruch{1}{16384} [/mm]

Aber wie komm ich da hin? Was muss ich machen? Klammern auflösen?
Geh einfach davon aus, das ich kaum noch Grundkenntnisse hab (traurig aber wahr)

Liebe Grüße
und schon mal vielen lieben Dank

Bezug
                                
Bezug
Rechnen mit Potenzen: schrittweise ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Mi 24.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Cindy!


[mm]\left(4^2\right)^{-2}\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)^{-5}\cdot{}(-8)^3\cdot{}\left(16^{-2}\right)^2\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{}\left(9^0\right)^8[/mm]


Zunächst werden wir mal die Klammern auflösen mit folgenden beiden MBPotenzgesetzen:

[mm] $(a*b)^m [/mm] \ = \ [mm] a^m [/mm] * [mm] b^m$ [/mm]   bzw.   [mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm]


[mm]4^{2*(-2)}\cdot{}(-1)^{-5}*\left(\bruch{1}{2}\right)^{-5}\cdot{}(-1)^3*8^3\cdot{}16^{-2*2}\cdot{}\left(-1\right)^4*\left(\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{}9^{0*8}[/mm]


Nun die einzelnen Exponenten (= Hochzahlen) sowie die Klammern mit den $(-1)_$ ausrechnen:

[mm]4^{-4}\cdot{}(-1)*\left(\bruch{1}{2}\right)^{-5}\cdot{}(-1)*8^3\cdot{}(16^{-4}\cdot{}\left(+1\right)*\left(\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{}9^{0}[/mm]


Nun zwei weitere MBPotenzgesetze:

[mm] $a^{-n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{a}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^n}$ [/mm]   sowie   [mm] $a^0 [/mm] \ = \ 1$   für   [mm] $a\not=0$ [/mm]

[mm]\bruch{1}{4^4}\cdot{}(-1)*2^5\cdot{}(-1)*8^3\cdot{}\bruch{1}{16^4}\cdot{}(+1)*\left(\bruch{1}{2}\right)^4\cdot{}1[/mm]


Nun fassen wir mal die ganzen $+1_$ und $-1_$ zusammen:

[mm]\bruch{1}{4^4}\cdot{}2^5\cdot{}8^3\cdot{}\bruch{1}{16^4}*\left(\bruch{1}{2}\right)^4[/mm]

[mm]\bruch{1}{4^4}\cdot{}2^5\cdot{}8^3\cdot{}\bruch{1}{16^4}*\bruch{1}{2^4}[/mm]


Nun werden wir alles auf Zweipotenzen umschreiben:

$4 \ = \ [mm] 2^2$ [/mm]

$8 \ = \ [mm] 2^3$ [/mm]

$16 \ = \ [mm] 2^4$ [/mm]


[mm]\bruch{1}{\left(2^2\right)^4}\cdot{}2^5\cdot{}\left(2^3\right)^3\cdot{}\bruch{1}{\left(2^4\right)^4}*\bruch{1}{2^4}[/mm]

[mm]\bruch{1}{2^{2*4}}\cdot{}2^5\cdot{}2^{3*3}\cdot{}\bruch{1}{2^{4*4}}*\bruch{1}{2^4}[/mm]

[mm]\bruch{1}{2^8}\cdot{}2^5\cdot{}2^9\cdot{}\bruch{1}{2^{16}}*\bruch{1}{2^4}[/mm]


Und nun mal alles auf einen Bruchstrich:

[mm]\bruch{2^5*2^9}{2^8*2^{16}*2^4}[/mm]

[mm]\bruch{2^{5+9}}{2^{8+16+4}}[/mm]

[mm]\bruch{2^{14}}{2^{28}}[/mm]

[mm]2^{14-28}[/mm]

[mm]2^{-14}[/mm]

[mm]\bruch{1}{2^{14}}[/mm]


Gruß
Loddar


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