Rechnen mit einer Matrixnorm < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:23 Sa 23.05.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei A eine mxn-Matrix, die Vektoren aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR^m [/mm] abblidet. Um Abschätzungen vornehmen zu können, sollen im Urbild die 1-Norm und im Bildraum die [mm] \infty-Norm [/mm] verwendet werden.
Es wird festgelegt:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*}:=max\{\parallel Ax \parallel_{\infty} : \parallel x \parallel_{1}=1\}.
[/mm]
a) Wie kann der Wert [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*} [/mm] berechnet werden?
b) Ist durch [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*}:=max\{\parallel Ax \parallel_{\infty} : \parallel x \parallel_{1}=1\} [/mm] eine Matrixnorm definiert?
c) Gilt [mm] \parallel [/mm] AB [mm] \parallel_{*} \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*}\parallel [/mm] B [mm] \parallel_{*}?
[/mm]
d) Bestimme [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*} [/mm] für [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }. [/mm] |
Hallo erstmal,
ich kommt mit der Aufgabe einfach nicht klar.
zu a) Wie bestimme ich denn dieses Maximum? Hier klappt einfach ableiten und Maximum ausrechnen nicht ganz (schon alleine wegen der Linearität ist die 2. Ableitung immer 0).
Eine andere Methode ist mir leider nicht bekannt.
zu b) Schon bei der Definitheit wird es durch das Max nicht gerade einfach durch Umformungen nachzuweisen, dass A 0 sein muss. Ich bräuchte vermutlich erstmal a) dafür.
Bei c) und d) bräuchte ich ebenfalls a).
Wie bekomme ich also [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{*} [/mm] berechnet?
Bin hier echt am verzweifeln und für jede Hilfe dankbar!
Gruß
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 27.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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