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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Rechnen mit komplexen Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rechnen mit komplexen Zahlen: Komplexe Gleichnung Berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Sa 08.12.2007
Autor: gandhi8

Aufgabe
z Berechnen:
[mm] z^2 [/mm] + 2z +1 +8i=0

Hallo,
komme bei der Gleichung nicht weiter:
so weit bin ich gekommen.

[mm] z^2 [/mm] + 2z +1 +8i=0
[mm] (z+1)^2 [/mm] + 8i=0
[mm] (z+1)^2=-8i [/mm]
[mm] z+1=\pm \wurzel{-8i} [/mm]
[mm] z=-1\pm \wurzel{-8i} [/mm]

wie rechnet man weiter?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Rechnen mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 So 09.12.2007
Autor: Somebody


> z Berechnen:
>  [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
>  Hallo,
> komme bei der Gleichung nicht weiter:
>  so weit bin ich gekommen.
>  
> [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
>  [mm](z+1)^2[/mm] + 8i=0
>  [mm](z+1)^2=-8i[/mm]
>  [mm]z+1=\pm \wurzel{-8i}[/mm]
>  [mm]z=-1\pm \wurzel{-8i}[/mm]
>  
> wie rechnet man weiter?

Zum Beispiel so: wegen

[mm]\begin{array}{rcll} \sqrt{-8\mathrm{i}} &=& \left(8\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{3}{2}\pi+2n\pi}\right)^{1/2} &\text{wobei $n\in \IZ$}\\ &=& \sqrt{8}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{3}{4}+n\right)\pi}\\ &=& 2\sqrt{2}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\cdot\blue{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi}}\\ &=& \blue{\pm} (-2+2\mathrm{i}) \end{array}[/mm]


ist

[mm]z_{1,2}=-1\pm (-2+2\mathrm{i})=\begin{cases}-3+2\mathrm{i}\\\phantom{-}1-2\mathrm{i}\end{cases}[/mm]


Bezug
                
Bezug
Rechnen mit komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 So 09.12.2007
Autor: gandhi8


> > z Berechnen:
>  >  [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
>  >  Hallo,
> > komme bei der Gleichung nicht weiter:
>  >  so weit bin ich gekommen.
>  >  
> > [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0
>  >  [mm](z+1)^2[/mm] + 8i=0
>  >  [mm](z+1)^2=-8i[/mm]
>  >  [mm]z+1=\pm \wurzel{-8i}[/mm]
>  >  [mm]z=-1\pm \wurzel{-8i}[/mm]
>  >  
> > wie rechnet man weiter?
>  
> Zum Beispiel so: wegen
>  
> [mm]\begin{array}{rcll} \sqrt{-8\mathrm{i}} &=& \left(8\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{3}{2}\pi+2n\pi}\right)^{1/2} &\text{wobei $n\in \IZ$}\\ &=& \sqrt{8}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\tfrac{3}{4}+n\right)\pi}\\ &=& 2\sqrt{2}\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\cdot\blue{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi}}\\ &=& \blue{\pm} (-2+2\mathrm{i}) \end{array}[/mm]
>  
> ist
>
> [mm]z_{1,2}=-1\pm (-2+2\mathrm{i})=\begin{cases}-3+2\mathrm{i}\\\phantom{-}1-2\mathrm{i}\end{cases}[/mm]

hallo
dein erbebniss stimmt, nur verstehe ich dein vorgehen nicht. wie bist du
darauf gegkommen?
wie kommst du auf [mm] e^{i\bruch{3}{2}\pi}. [/mm]
Und den zweiten Schritt verstehe ich auch nicht so ganz.
Danke

Bezug
                        
Bezug
Rechnen mit komplexen Zahlen: Exponentialform
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo gandhi!


Angela hat hier die komplexe Zahl $z \ = \ -8*i \ = \ 0+(-8)*i$ in die Exponentialschreibweise $z \ = \ [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] \ = \ [mm] |z|*e^{i*\varphi}$ [/mm] umgewandelt.

Anschließend hat sie die Moivre-Formel (siehe []hier) verwendet, um [mm] $\wurzel{-8*i}$ [/mm] zu berechnen.

Für die Umwandlung gilt hier:
$$r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{0^2+(-8)^2} [/mm] \ = \ 8$$
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-8}{0}$$ [/mm]
Aus der Anschauung der Gauß'schen Zahlenebene erhält man dann den Winkel zu [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 270° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{3}{2}*\pi$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Rechnen mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 So 09.12.2007
Autor: angela.h.b.


> z Berechnen:
>  [mm]z^2[/mm] + 2z +1 +8i=0

Hallo,

eine  "hausbackene Alternative" zur Exponentialfunktion, falls Ihr das womöglich noch gar nicht hattet:

Du weißt ja, daß Du z schreiben kannst als x+iy mit [mm] x,y\in \IR. [/mm]

Einsetzen und x,y ausrechnen.

Gruß v. Angela


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