Rechnen mit konverg. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seinen [mm] {a_n} [/mm] und [mm] {b_n} [/mm] konvergente Folgen mit [mm] a_n [/mm] --> a und [mm] b_n [/mm] --> b. Ist für ein [mm] n_0 \in \IN a_n [/mm] <= [mm] b_n [/mm] für alle n >= [mm] n_0, [/mm] ist dann auch a <= b? |
Meiner Meinung nach ist das logisch, aber ohne Beweis scheint in der Mathematik nicht viel zu gehen :-/. Den Beweis habe ich im Script, verstehe allerdings ein par Dinge noch nicht, vllt. kann mir wer weiterhelfen ...
Beweis: Wir nehmen an, es gelte a > b. Zu [mm] \varepsilon [/mm] = (a-b)/2 gibt es ein [mm] N(\varepsilon) \in \IN, [/mm] sodass gilt: [mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon) [/mm] : | a - [mm] a_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] und | b - [mm] b_n [/mm] | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Hier fängts schon an. Warum wird [mm] \varepsilon [/mm] als die Hälfte der Abweichung der beiden Grenzwerte zueinander gewählt und warum gilt [mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon) [/mm] : | a - [mm] a_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] und | b - [mm] b_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] ?
Insbesondere gilt
[mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon): a_n [/mm] > a - [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] b_n [/mm] < b + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Auch das verstehe ich nicht, ich kann mir aber denken, dass ich um das verstehen zu können, erst einmal das obrige verstanden haben muss.
Nach Definition von [mm] \varepsilon [/mm] ist aber a - [mm] \varepsilon [/mm] = b + [mm] \varepsilon [/mm] und daher haben wir:
[mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon): a_n [/mm] > a - [mm] \varepsilon [/mm] = b + [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] b_n, [/mm] was im Widerspruch zu Bedingung der Aufgabe steht. Also ist die Annahme a > b falsch.
Diesen Teil habe ich verstanden, der bringt mir ohne das obrige allerdings wenig :)
gruß
ghoernle
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Hallo GHoernle,
> Seinen [mm]{a_n}[/mm] und [mm]{b_n}[/mm] konvergente Folgen mit [mm]a_n[/mm] --> a und
> [mm]b_n[/mm] --> b. Ist für ein [mm]n_0 \in \IN a_n[/mm] <= [mm]b_n[/mm] für alle n
> >= [mm]n_0,[/mm] ist dann auch a <= b?
> Meiner Meinung nach ist das logisch, aber ohne Beweis
> scheint in der Mathematik nicht viel zu gehen :-/. Den
> Beweis habe ich im Script, verstehe allerdings ein par
> Dinge noch nicht, vllt. kann mir wer weiterhelfen ...
>
> Beweis: Wir nehmen an, es gelte a > b. Zu [mm]\varepsilon[/mm] = (a-b)/2 gibt es ein [mm]N(\varepsilon) \in \IN,[/mm] sodass gilt:
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon)[/mm] : | a - [mm]a_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> und | b - [mm]b_n[/mm] | < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Hier fängts schon an. Warum wird [mm]\varepsilon[/mm] als die
> Hälfte der Abweichung der beiden Grenzwerte zueinander
> gewählt
Na, es muss wegen der Konvergenz von [mm]a_n[/mm] (gegen a) ja für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein entsprechendes [mm]N_1(\varepsilon)[/mm] geben mit [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N_1(\varepsilon)[/mm]
einfach nach Definition "Folgenkonvergenz"
Ebenso muss es wegen der Konvergenz von [mm]b_n[/mm] (gegen b) für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein entsprechnedes [mm]N_2(\varepsilon)[/mm] geben mit ... wie oben, nur angepasst an [mm]b_n[/mm]
Hier im Beweis will man ja einen Widerspruch erzeugen, es wird im weiteren gezeigt, dass es eben nicht zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt mit "blabla"
Hier nimmt man (weil's schön passt [mm]\varepsilon=\frac{a-b}{2}[/mm])
Das ist wegen der Annahme [mm]a>b[/mm] echt [mm]>0[/mm])
Nimmt man sich nun [mm]N(\varepsilon):=\max\{N_1(\varepsilon),N_2(\varepsilon)\}[/mm] her, so gilt für alle [mm]n\ge N(\varepsilon):[/mm]
[mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] und [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm]
> und warum gilt [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon)[/mm] : | a - [mm]a_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] und | b - [mm]b_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] ?
siehe eine Zeile höher, wegen der Konvergenz der beiden Folgen [mm]a_n, b_n[/mm]
Bedenke [mm]|a-a_n|=|(-1)\cdot{}(a_n-a)|=|a_n-a|[/mm] und analog für [mm]b_n[/mm]
>
>
> Insbesondere gilt
>
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon): a_n[/mm] > a - [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]b_n[/mm] < b + [mm]\varepsilon.[/mm]
Löse doch mal die Betragsungleichung oben auf, oder veranschauliche es dir am Zahlenstrahl:
[mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] bedeutet, dass [mm]a_n[/mm] näher an [mm]a[/mm] liegt als [mm]\varepsilon[/mm]
Dh. die [mm]a_n[/mm] liegen im offenen (um a symmetrischen) Intervall [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm]
Das bedeutet aber nichts anderes als [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a{\color{Aquamarine}+}\varepsilon[/mm]
Die linke Teilungleichung besagt genau [mm]a_n>a-\varepsilon[/mm]
Analog für [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm] und dann die rechte Teilungleichung ...
> Auch das verstehe ich nicht, ich kann mir aber denken, dass
> ich um das verstehen zu können, erst einmal das obrige
> verstanden haben muss.
>
>
>
> Nach Definition von [mm]\varepsilon[/mm] ist aber a - [mm]\varepsilon[/mm] =
> b + [mm]\varepsilon[/mm] und daher haben wir:
>
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon): a_n[/mm] > a - [mm]\varepsilon[/mm] = b +
> [mm]\varepsilon[/mm] > [mm]b_n,[/mm] was im Widerspruch zu Bedingung der
> Aufgabe steht. Also ist die Annahme a > b falsch.
>
> Diesen Teil habe ich verstanden, der bringt mir ohne das
> obrige allerdings wenig :)
Hoffe, nun ist's ersichtlich!
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> gruß
> ghoernle
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Di 14.09.2010 | | Autor: | G-Hoernle |
Hast hier noch nen Fehler:
$ [mm] a-\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] a-\varepsilon [/mm] $
Nehme an muss wie folgt heißen:
$ [mm] a-\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] a+\varepsilon [/mm] $
Jetzt macht es für mich Sinn. So wie es mein Prof. hingeschrieben hat sah es für mich aus, als würde das eine speziell für [mm] a_n [/mm] gelten, das andere für [mm] b_n.
[/mm]
Dank dir :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hast hier noch nen Fehler:
>
> [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a-\varepsilon[/mm]
>
> Nehme an muss wie folgt heißen:
>
> [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a+\varepsilon[/mm]
Genau !
FRED
>
> Jetzt macht es für mich Sinn. So wie es mein Prof.
> hingeschrieben hat sah es für mich aus, als würde das
> eine speziell für [mm]a_n[/mm] gelten, das andere für [mm]b_n.[/mm]
>
> Dank dir :)
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Hallo,
ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor es noch mehr Leute merken 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor
> es noch mehr Leute merken
Hallo schachuzipus ,
............ich würde das "+" - Zeichen in Rot schreiben, dann merkts garantiert keiner ....
Gruß vom "irdischen" FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Habe den Farbton bei google rausgesucht, nennt sich "Aquamarine"
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Di 14.09.2010 | | Autor: | G-Hoernle |
Schön, dass auch das geklärt ist :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Schön, dass auch das geklärt ist :)
Gell ! Manche Sachen müssen einfach gesagt werden
FRED
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Ist doch schön, wenn Mathe nicht immer so ernst ist und man auch mal ein Spässchen machen kann.
Was sich so alles aus einem kleinen (Tipp-)Fehler entwickeln kann ...
So nun ist aber Schluss!
Gruß
schachuzipus
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