Rechnerische Kräftezerteilung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo! Ich mache mein Fachabitur in Metalltechnik und seid letzter Woche hab ich echt Brett vorm Kopf wenn es um Kräftezerteilung geht.
In der Berufsschule war es nämlich ziemlich einfach, die Kräfte zeichnerisch zu zerlegen. Aber rechnerisch ist mir das echt zu komplex.
Also ich hab eine Kraft F1 = 500N in einem Winkel von 45° und eine Kraft F2 = 200N in einem Winkel von 0°.
Die resultierende Kraft ist zeichnerisch ungefähr 750N.
Wie kann ich das ganze jetzt rechnerisch lösen?
Das einzigste was ich an dem Tafelbild verstanden hatte war:
1) ich brauch ein pos. und neg. Koordianatensystem
2) ich muß mit sinus und cosinus im ungleichwinkligen Dreieck rechnen
Aber wie und was ich dann machen muß und vorallem eine verständliche Musteraufgabe fehlt mir da.
MfG Stefan
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Also erstmal danke für deine Antwort Andi!
Also "Rechnen mit Vektoren" war für mich bis eben noch ein Fremdwort. Im Mathebuch habe ich zwar eine Antwort gefunden, ob ich das aber alles richtig umgesetzt habe weiß ich nicht.
Also ich hab das Koordinatensystem mit einer Einteilung von 1-10 und einem Abstand von 1cm gezeichnet. Mit den Angaben (3/2) kam ich dann auf den Winkel 45°. So weit so gut. Aber wie mich das Koordinatensystem bei dieser Aufgabe weiter bringt weiß ich nicht. Deshalb habe ich mich nicht weiter damit beschäftigt, und desalb direkt die Formel mit meinen Werten eingesetzt und kam dann auf 353,54N für X und 300N für Y* (wobei Y eigentlich logischerweise gleichbleiben muß, da der Winkel 0° bzw. 90° beträgt, stimmts?).
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*Y = Gegenkathete = Hypotenuse x sin
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Die beiden Ergebnisse hab ich dann jeweils zum quadrat genommen, addiert und die Wurzel gezogen. Dadurch kam ich auf 463,66N.
Dieses Ergebniss trifft aber auf meine zeichnerische Lösung von 810N nicht zu.
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Hallo, du willst also die resultiernde Kraft bestimmen?
Dazu folgendes:
i) Das Koordinatensystem ist notwendig, damit du überhaupt weißt in welchem "Raum" du dich befindest. Da jeder Vektor aus Koordinaten besteht, ist halt einfach ein Koordiantensystem nötig 
ii) Die rechnerische Methode der Vektoraddition ist außerdem von der zeicherischen im Prinzip identisch, de facto ist die zeichnerische Methode ja nur ein Vereinfachung.
Zeichnerisch setzt du ja einfach den Anfang des einen Vektors an das Ende des Anderen.
Mathematisch schreibt sich das wie folgt: [mm] /vec a + /vec b = /vec c [/mm]
Der resultierende Vektor ist aber von seinem Betrag/seiner Länge nur dann sie Addition der beiden Vektoren a und b, falls diese parallel sind!
in deinem Fall ist aber ein Knick an der Verbindungsstelle.. versuch's mal mit einer Zeichnung.
Jetzt zur Rechnung!
Der Vektor c hat ja bestimmte Koordinaten, um an diese dran zu kommen, muss ich schauen wieviel vektor a und vektor b jeweils dazu beitragen.
Ziehe in der Zeichnung am Endpunkt deines ersten Vektors einen geraden Strich nach untern und du siehst, dass er an einem bestimmten Punkt auf der x Achse endet, mache dasselbe mit einem Strich nach links, dann siehst du, dass er an einem bestimmten Y pUnkt enden wird.
Das sind die Anteile, die der 45 grad vektor zum vektor c leifert, den Rest liefert b, da dieser einen Winkel von Null Grad hat, tragt er nur bezüglich der X-Koordinate etwas bei!
Wenn du das in der Zeihchung gemacht hast, erkennst du das es rechte Winkel gibt!
Jetzte kommen sinuns und cosinus ins Spiel, mit ihnen kannst du jetzt rechnerisch bestimmen, welchen X-Punkt der senkrechte Strich trifft.
Mach dies mit allen Größen (sind 4 gleichungen)
Dann hast du die koordinaten des Vektors c, um seine Länge zu finden, musst du nun noch folgendes machen!
[mm] c = /wurzel{x^2 + y^2} [/mm]
alles klar=?
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Hallo Dirk,
Danke für deine Antwort, nur leider verwirrt mich das jetzt alles nur noch mehr.
Also deine Formel hatte ich vorher auch schon umgesetzt. Nur die Werte bringen mich nicht auf meine zeichnerische Lösung von 810N.
ich hab x mit cosinus ausgerechnet und y mit sinus, die ergebnisse hab ich dann unten in der formel eingesetzt.
353,54N² + 300N² und daraus die Wurzel ist = 463,66N
Also entweder stimmt die Zeichnung nicht, oder die Formeln sind dafür nicht geeignet.
Ich würde es ja gerne einscannen aber leider hat der super primax scanner kein treiberupdate für windows xp. :o/
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Hallo Sleepy!
Ich würde vorschlagen, überprüfe mal folgende Formeln:
Länge der resultierenden Kraft / Newton = [mm]\wurzel{500^{2}+200^{2}+2*500*200*\cos (45°-0°)}=656,82[/mm]
Winkel zwischen der resultierenden Kraft und x-Achse = [mm]\arctan \left(\bruch{500*\sin 45°+200*\sin 0°}{500*\cos 45°+200*\cos 0°}\right)=32,56°[/mm]
Die Funktion [mm]\arctan[/mm] erreichst du auf dem Taschenrechner mit [mm]tan^{-1}[/mm].
Ich habe die Ergebnisse zeichnerisch überprüft.
Wenn die Formeln das richtige Ergebnis liefern, und du Näheres wissen willst, melde dich nochmal!
Schöne Grüße,
Ladis
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Hallo Ladis,
Erstmal danke für deine Formeln, als ich aber eben versucht hab, das mit meinem Taschenrechner nachzuvollziehen kam ich auf eine Kraft die weit über 2000N lag und damit nicht im entferntesten mit deinem Ergebnis übereinstimmte.
Ich werde gleich erstmal alle Aufgaben zeichnerisch lösen.
Rechnerisch wurde hier wahrscheinlich noch nicht der letzte Beitrag gepostet.
MfG Stefan
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Hallo Sleepy!
Sorry, aber du hast den Taschenrechner nicht richtig bedient. Ich habe das dastehende Ergebnis mit allen möglichen Mitteln überprüft, sie ist 100% richtig. Nicht vergessen, zuerst werden die Multiplikationen berechnet und erst dann die Additionen.
Schöne Grüße,
Ladis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Andi |
Rechenregel:
Seien [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] die Beträge zweier Kräfte und [mm] \alpha [/mm] der Winkel den die beiden Kräfte miteinander einschließen, so gilt:
[mm] F = \wurzel{(F_1*cos(\alpha)+F_2)^2+(F_1*sin(\alpha))^2} [/mm]
Wobei F der Betrag der resultierenden Kraft ist, welche durch die beiden Kräfte [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] erzeugt wird.
Lösung deiner Aufgabe:
Gegeben:
[mm] F_1=500 N [/mm] ; [mm] F_2=200 [/mm] ; [mm] \alpha =45° [/mm]
Gesucht:
[mm] F [/mm]
Lösungsweg:
[mm] F = \wurzel{(F_1*cos(\alpha)+F_2)^2+(F_1*sin(\alpha))^2} [/mm]
[mm] F = \wurzel{(500N*cos(45°)+200N)^2+(500N*sin(45°))^2} [/mm]
[mm] F \approx 657N [/mm]
Lösung:
Beide Kräfte ergeben eine Gesamtkraft von 657 Newton.
Aufgaben:
An einem Punkt greifen zwei Kräfte von 300N und 600N an, wobei beide Kräfte einen Winkel von 58° bilden. Wie groß ist der Betrag der resultierenden Gesamtkraft.
An einem Punkt greifen zwei Kräfte von 345N und 500N an, wobei beide Kräfte einen Winkel von 180° bilden. Wie groß ist der Betrag der resultierenden Gesamtkraft. Löse diese Aufgabe mit zwei verschiedenen Wegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Andi |
Bevor wir Kräfte rechnerisch addieren können müssen wir uns überlegen was Kräfte für mathematische Größen sind.
Du hast bestimmt schon davon gehört, dass Kräfte Vektoren sind.
Denn eine Kraft hat immer einen Betrag (Die Länge des Vektors) und eine Richtung. Wir wollen hier den Vektor nur 2-dimensional betrachten.
Um aber mit Vektoren rechnen zu können brauchen wir ein Koordinatensystem (in der Physik gibt es viele Koordinatensysteme, wir benutzen hier ein kartesisches Koordinatensystem).
Den Ursprung unseres Koordinatensystems wählen wir so, dass er mit dem Punkt in dem die beiden Kräfte angreifen zusammfällt.
Die X-Achse legen wir so, dass die Kraft [mm] F_2 [/mm] auf der X-Achse liegt.
Wir können nun schon die Kraft [mm] F_2 [/mm] als Vektor schreiben:
[mm] \vec F_2=\begin{pmatrix} F_2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Denn die Komponente der Kraft in X-Richtung ist gleich dem Betrag der Kraft und die Komponente der Kraft in Y-Richtung ist Null.
Nun müssen wir die X- und Y-Komponenten des Vektors [mm] \vec F_1 [/mm] überlegen. Wir wissen, dass der Betrag von [mm] \vec F_1 [/mm] gleich [mm] F_1 [/mm] ist. Außerdem kennen wir den Winkel den [mm] \vec F_1 [/mm] mit der X-Achse bildet.
Da die X-und Y-Komponenten einen rechten Winkel bilden, können wir den Satz für ein rechtwinkliges Dreieck anwenden:
[mm] sin(\alpha)=\bruch{Y-Komponente}{F_1} [/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{X-Komponente}{F_1} [/mm]
Daraus folgt:
[mm] Y-Komponente=F_1*sin(\alpha) [/mm]
[mm] X-Komponente=F_1*cos(\alpha) [/mm]
Und damit schreibt sich nun der Vektor:
[mm] \vec F_1= \begin{pmatrix} F_1*cos(\alpha)\\ F_1*sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm]
Nun müssen wir nur noch beide Vektoren addieren. Und war addiert man die X- und Y-Komponenten einfach wie gewohnt.
[mm] \vec F = \begin{pmatrix} F_1*cos(\alpha)\\ F_1*sin(\alpha) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} F_2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_1*cos(\alpha)+F_2\\ F_1*sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm]
Und jetzt wird der Betrag des Vectors bestimmt. Und fertig.
[mm] F = \wurzel{(F_1*cos(\alpha)+F_2)^2+(F_1*sin(\alpha))^2} [/mm]
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Hallo Sleepy, hallo Andi!
Ich will nur klarstellen, dass die Formel, die Andi angegeben hat, ist völlig Äquivalent mit der Formel die ich angegeben habe. Denn:
[mm]F=\wurzel{(F_{1}\cos\alpha+F_{2})^{2}+(F_{1}\sin\alpha)^{2}}[/mm]
[mm]F=\wurzel{F_{1}^{2}\cos^{2}\alpha+2F_{1}F_{2}\cos\alpha+F_{2}^{2}+F_{1}^{2}\sin^{2}\alpha}[/mm]
[mm]F=\wurzel{F_{1}^{2}(\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha)+F_{2}^{2}+2F_{1}F_{2}\cos\alpha}[/mm]
[mm]F=\wurzel{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+2F_{1}F_{2}\cos\alpha}[/mm]
Die etwas allgemeinere Formel ist
[mm]F=\wurzel{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+2F_{1}F_{2}\cos(\alpha_{2}-\alpha_{1})}[/mm]
Die ist auch leicht zu beweisen.
Schöne Grüße,
Ladis
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Sinus und Cosinus werden wir gleich brauchen 
