Rechnungen mit Jacobi-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Sa 16.06.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Transformation in Kugelkoordianten
T: [mm]\IR^3[/mm]->[mm]\IR^3[/mm], [mm]T(r,\zeta,\upsilon)[/mm] := [mm]\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \upsilon \right) \cos \left(
\zeta \right) \\\noalign{\medskip}r\cos \left( \upsilon \right) \sin
\left( \zeta \right) \\\noalign{\medskip}r\sin \left( \upsilon
\right) \end {array} \right][/mm]
(a) Bestimmen Sie die Funktionalmatrix [mm]T'[/mm]
(b) Zeigen Sie: Die Spalten von [mm]T'[/mm] sind paarweise orthogonal
(c) Zeigen Sie: Es ist [mm]det(T') = r^2cos(\upsilon)[/mm] und [mm]T' = U\Lambda[/mm], wobei U orthogonal (d.h. [mm]UU^t = E[/mm]) und [mm]\Lambda[/mm] eine Diagonalmatrix ist
(d) Berechnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse [mm](T')^-1[/mm]
(e) Es sei [mm]g(r,\zeta,\upsilon)[/mm] := [mm]f(r*cos(\zeta)*cos(\upsilon), r*sin(\zeta)*cos(\upsilon),r*sin(\upsilon))[/mm] für eine differenzierbare Funktion [mm]f[/mm]: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm]. Stellen sie Formeln für die Umrechnung zwischen [mm]grad(f)[/mm] und [mm]grad(g)[/mm] auf |
Hi,
(a) Meine berechnete Funktionialmatrix/Jacobi-Matrix sieht wie folg aus
[mm]\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \upsilon \right) \cos \left(
\zeta \right) &-r\cos \left( \upsilon \right) \sin \left( \zeta
\right) &-r\sin \left( \upsilon \right) \cos \left( \zeta \right)
\\\noalign{\medskip}\cos \left( \upsilon \right) \sin \left( \zeta
\right) &r\cos \left( \upsilon \right) \cos \left( \zeta \right) &-r
\sin \left( \upsilon \right) \sin \left( \zeta \right)
\\\noalign{\medskip}\sin \left( \upsilon \right) &0&r\cos \left(
\upsilon \right) \end {array} \right][/mm]
(b) Das Skalarprodukt von Spalte 1 und Spalte 2 ergibt 0, genauso wie das Skalarprodukt von Spalte 2 mit Spalte 3, also sind diese Vektoren (jeweils die beiden zueinander) orthogonal zueinander
Jedoch kommt beim Skalarprodukt von Spalte 1 mit Spalte 3 folgendes heraus
[mm]-\cos \left( \upsilon \right) \left( \cos \left( \zeta \right)
\right) ^{2}r\sin \left( \upsilon \right) -\cos \left( \upsilon
\right) \left( \sin \left( \zeta \right) \right) ^{2}r\sin \left(
\upsilon \right) +\sin \left( \upsilon \right) r\cos \left( \upsilon
\right)[/mm]
Habe ich nun die Aufgabenstellung falsch verstanden oder hab ich mich wo verrechnet oder liegt es an was ganz anderem? Denn Spalte 1 ist ja nicht orthogonal zu spalte 3?
(c) Wenn ich die determiante von T' berechne erhalte ich folgendes:
[mm]\left( \cos \left( \upsilon \right) \right) ^{3} \left( \cos \left(
\zeta \right) \right) ^{2}{r}^{2}+ \left( \cos \left( \upsilon
\right) \right) ^{3} \left( \sin \left( \zeta \right) \right) ^{2}{
r}^{2}+{r}^{2}\cos \left( \upsilon \right) \left( \sin \left( \zeta
\right) \right) ^{2} \left( \sin \left( \upsilon \right) \right) ^{
2}+{r}^{2} \left( \sin \left( \upsilon \right) \right) ^{2} \left(
\cos \left( \zeta \right) \right) ^{2}\cos \left( \upsilon \right)[/mm]
Das ist schon [mm]r^2*cos(\upsilon)[/mm]? oder wie kann ich das denn nen bisschen vereinfachen?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp zum Rest der Teilaufgabe geben wie das genau funktionieren soll oder ich das machen soll?
(d) Die Inverse kann ich ja mit Hilfe der Einheitsmatrix und umformen berechnen. Stelle mir das hier aber ein wenig kompliziert/aufwändig vor.. Das dürfte schneller/besser gehen mit den Sachen aus Teilaufgabe c gehen, weil ich die ja mit Hilfe der Sachen berechnen soll, oder? Wie genau verwende ich die Sachen von c dann genau?
(e) Hier habe ich schon eine Idee die ich noch testen will, wäre aber für Tipps dankbar
Gruß
myo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo myo,
@(a): Deine Jacobi-Matrix stimmt schon.
@(b): Du hast beim Skalarprodukt offenbar einen Fehler gemacht.
So geht's: Das Skalarprodukt ergibt:
[mm] [/mm] = [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta [/mm] - [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta [/mm] * [mm] sin^2 \zeta [/mm] - [mm] cos\vartheta [/mm] * [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos^2\zeta
[/mm]
= [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta [/mm] - [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta [/mm] * [mm] (sin^2\zeta+cos^2\zeta)
[/mm]
= [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta [/mm] - [mm] sin\vartheta [/mm] * [mm] cos\vartheta
[/mm]
= 0
Dabei habe ich verwendet, dass [mm] (sin^2\zeta+cos^2\zeta)=1 [/mm] für
alle [mm] \zeta.
[/mm]
@(c): Kannst Du noch vereinfachen! Zum Beispiel in den ersten
beiden Summanden kannst Du [mm] r^2 cos^3\theta [/mm] ausklammern, um
wieder [mm] (sin^2\zeta+cos^2\zeta)=1 [/mm] zu erhalten. Nutze diese
Eigenschaft weiter aus! Ich kann mich an diese Aufgabe aus
meiner eigenen Studienzeit erinnern: Du müsstest so zum Ziel
kommen.
@(d): Die d klingt nach einer Fingerübung. Was du später benötigst
ist die Jacobideterminante. Ihre geometrische Interpretation
gibt dir das Verhältnis zwischen dem Volumen der
der Volumenelemente in den neuen Kugelkoordinaten und in den
alten kartesischen Koordinaten an (erinnere dich: die
Determinante ist das Volumen des von den Spalten-Vektoren
aufgespannten Spates!). Entsprechend benötigst Du (wenn überhaupt)
auch von der Inversen nur die Determinante, wobei
[mm] det(A^{-1}) [/mm] = 1/det(A) ist.
@(e): Ich übersetze den Term so:
[mm] g(r,\theta,\zeta)=:f(x,y,z)
[/mm]
[mm] =f(x(r,\theta,\zeta),y(r,\theta,\zeta),z(r,\theta,\zeta))
[/mm]
Du sollst vermutlich für eines der beiden Koordinatensysteme
den Gradienten bestimmen und dann je nach Ausgangslage mit
Hilfe von T oder [mm] T^{-1} [/mm] in die anderen Koordinaten umrechnen.
Liebe Grüße
Markus-Hermann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 16.06.2007 | | Autor: | myo |
Hi,
(b)
also hier hab ich nun auch 0 rausbekommen, da scheint sich tatsächlich irgendwo ein Fehler eingeschlichen zu haben. Hab auch nicht sofort gesehen das man ja [mm](sin^2\zeta+cos^2\zeta)=1[/mm] ausklammern kann.
(c)
Nachdem ich das ganze noch ein paar mal durchgerechnet hab passt bei mir die Determinante nun auch ;).. Ich habs wohl irgendwo nicht so ganz mit dem [mm](sin^2\zeta+cos^2\zeta)=1[/mm] gesehen in der Funktion.
Kann mir vieleicht noch jemand einen Tipp geben wie das mit der orthogonalen und der Diagonalmatrix gehen soll? Ich steig da im Moment absolut nicht durch was ich da nun eigentlich genau zeigen/machen soll. Soll ich mir da zwei Matrizen basteln, welche dann [mm]T'[/mm] ergeben wenn ich sie multipliziere oder was?
(d)
Muss ich noch ein bisschen rumprobieren. Die Jacobi-Determinante hab ich ja nun aus Teilaufgabe c nur den Rest noch nicht sofern ich den überhaupt brauche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 So 17.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo nochmal,
auch in der Mathematik gibt es ein paar begriffliche Schwammigkeiten
(weiß nur keiner  ). Eine davon ist meiner Meinung nach der
Begriff der "orthogonalen Matrix", der eigentlich besser "ortho-
normale Matrix" heißen sollte:
Eine Matrix heißt orthogonal dann und nur dann, wenn
* Ihre Spalten paarweise orthogonal zueinander sind ...
dieses hast du bereits in Teilaufgabe (b) gezeigt.
* Die Beträge ihrer Spalten auf Einheitslänge normiert sind.
[Am Rande: Wenn das für eine Matrix U gegeben ist gilt automatisch
[mm] U*U^T [/mm] = E, was Du Dir mit den Eigenschaften des Skalarproduktes
klar machen kannst.]
Mit dieser Definition und dem Hinweis, dass [mm] \Lambda [/mm] eine
Diagonalmatrix wird überlasse ich Dich wieder Deiner Aufgabe
T' = [mm] U*\Lambda
[/mm]
zu bestimmen. Viel Erfolg und viele Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 17.06.2007 | | Autor: | myo |
(b)
Ja gut dann muss ich ja nun nur noch die Spalten von [mm]T'[/mm] normieren und schon hab ich eine orthogonale Matrix und somit [mm]U[/mm] oder?
Die erste Spalte ist bereits normiert
Die zweite Spalte muss ich mit [mm]r*cos(\upsilon)[/mm] normieren
Die dritte Spalte muss ich mit [mm]r[/mm] normieren
Stimmt das soweit?
Dann die orhtogonale Matrix ja folgendes:
[mm]U = \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \upsilon \right) \cos \left(
\zeta \right) &-\sin \left( \zeta \right) &-\sin \left( \upsilon
\right) \cos \left( \zeta \right) \\\noalign{\medskip}\cos \left(
\upsilon \right) \sin \left( \zeta \right) &\cos \left( \zeta \right) &-
\sin \left( \upsilon \right) \sin \left( \zeta \right)
\\\noalign{\medskip}\sin \left( \upsilon \right) &0&\cos \left(
\upsilon \right) \end {array} \right] [/mm]
Um [mm]\Lambda[/mm] zu bestimmen müsste ich doch folgendes berechnen:
[mm]\Lambda = U^T*T'*U[/mm] (Gilt nur bei orthogonalem(orthonormalem) [mm]U[/mm]) oder nicht?
Aber bereits nach [mm]U^T*T'[/mm] habe ich eine Diagonalmatrix welche das Kriterium [mm]T' = U*\Lambda[/mm] erfüllt? Wie kommt denn das oder habe ich nun was falsches im Kopf wie man eine Diagonalmatrix bestimmt?
Gruß
myo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 So 17.06.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo myo,
was du grundsätzlich zum Diagonalisieren im Kopf hast stimmt schon, du brauchst es hier aber gar nicht.
Schau dir einfach mal die gegebene Gleichung $T' = U [mm] \cdot \Lambda$ [/mm] an.
Wenn du sie auf beiden Seiten mit [mm] $U^T$ [/mm] multiplizierst, erhälst du:
[mm] $U^T \cdot [/mm] T' = [mm] U^T \cdot [/mm] U [mm] \cdot \Lambda$
[/mm]
Da [mm] $U^T \cdot [/mm] U =E$, ist [mm] $\Lambda= U^T \cdot [/mm] T'$.
Und damit müsste das, was du ausgerechnet hast, schon stimmen.
Gruß,
Vreni
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