Rechteck, Umfang, Fläche, etc. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Ein Rechteck hat 2 Seiten auf den Koordinatenachsen und eine Ecke liegt auf y=-0,4x+2. (hoffe das kann man sich vorstellen :))
a) Welches Rechteck hat den größten Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?
b) Untersuche, ob auch der Umfang des in a) gefundenen Rechtecks größer ist, als die Umfänge aller anderen Rechtecke. |
Hallo, Leute!
So, eigentlich habe ich beide Aufgaben gelöst, aber ich wollte fragen ob die Argumentation zu b) auch zieht:
a) Das Rechteck mit dem maximalsten mit x=2,5LE und y=1LE (A=2,5LE²).
Nur zur Einstimmung :)
b)
HB: u(x,y)=2x+2y
NB: y=-0,4x+2
ZF: u(x)=2x+2(-0,4x+2)=1,2x+4.
Ableiten und 0 setzen:
1,2=0 f.A.
Das heißt doch soviel wie, dass es kein Extremum für den Umfang dieser Rechtecke gibt, oder? Könnte man auch noch beispielhaft daran zeigen, dass das Rechteck aus a) gerade mal 7LE Umfang hat und wenn man ein Rechteck mit x=3 hat ist der Umfang ca. 9LE.
Könnte man das so stehen lassen?
Danke für Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
> a) Das Rechteck mit dem maximalsten mit x=2,5LE und y=1LE
> (A=2,5LE²).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> b)
> HB: u(x,y)=2x+2y
> NB: y=-0,4x+2
> ZF: u(x)=2x+2(-0,4x+2)=1,2x+4.
> Ableiten und 0 setzen:
>
> 1,2=0 f.A.
>
> Das heißt doch soviel wie, dass es kein Extremum für den
> Umfang dieser Rechtecke gibt, oder?
Es gibt keine relativen Extrema gemäß notwendigen Kriterium [mm] $f'(x_e) [/mm] \ = \ 0$ .
Aber wir müssen hier noch die Ränder des Definitionsbereiches für $x_$ überprüfen: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ 0 \ ; \ 5 \ \right]$ [/mm] .
Also berechnen: $u(0)_$ bzw. $u(5)_$ .
> Könnte man auch noch beispielhaft daran zeigen, dass das Rechteck
> aus a) gerade mal 7LE Umfang hat und wenn man ein Rechteck mit
> x=3 hat ist der Umfang ca. 9LE.
Meines Erachtens kann man das auch so akzeptieren, da ja durch dieses eine Gegenbeispiel widerlegt ist, dass das andere Rechteck maximalen Umfang hat.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Teufel |
> Aber wir müssen hier noch die Ränder des
> Definitionsbereiches für [mm]x_[/mm] überprüfen: [mm]D_x \ = \ \left[ \ 0 \ ; \ 5 \ \right][/mm]
> .
>
> Also berechnen: [mm]u(0)_[/mm] bzw. [mm]u(5)_[/mm] .
Aber kann man das überhaupt machen? Wenn x=5 wäre, wäre y ja 0 und dann wäre kein Rechteck mehr da... oder wenn y=2 wäre, wäre x=0, das selbe Spiel. Man kann sich nur unendlich nah an x=5 bzw. x=0 annäheren würde ich sagen (u geht dann gegen 10). Je näher man sich an x=5 näher, desto größer wird der Flächeninhalt, gegen x=0 wird er immer kleiner (u geht gegen 4).
Danke für die Hilfe erstmal, aber diese Frage würde mich noch interessieren :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Di 27.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Um dem Sinn der Aufgabe mit "echten" Rechtecken Rechnung zu tragen, hast Du wohl Recht. Man sollte den Definitionsbereich für $x_$ als offenes Intervall festlegen:
[mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \left] \ 0; \ 5 \ \right[ [/mm] \ = \ [mm] \left\{ x \ \in \ \IR \ \left| \ 0 \ < \ x \ < \ 5 \ \right\}$
Für die entsprechende Grenzwertbetrachtung landen wir dann aber wieder bei $u(0)_$ bzw. $u(5)_$ .
Gruß
Loddar
[/mm]
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