Rechteck in Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | In einem gleichseitigen Dreieck hat die Seitenlänge die feste Längenmaßzahl a > 0. Diesem Dreieck wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite auf einer Dreiecksseite liegt. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Extemalbedingung:
A(x;y) = x mal y
Nebenbedingung:
2.Strahlensatz:
h (Höhe des Dreiecks)
h-y/h = x/a
Satz des Pythagoras:
h= [mm] \wurzel{3} [/mm] mal a/2
Ich habe jetzt als Zielfunktion A(y) = [mm] y-2y²/\wurzel{3}.
[/mm]
Ist das richtig?
Mein Lehrer hat als Lösung A(y) = [mm] ay/2-2y²/\wurzel{3}
[/mm]
angegeben. Aber der vertut sich auch mal öfters.
Was ist richtig und wie kommt man drauf?
LG
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Hallo
x und y sind die Rechteckseiten,
nach Strahlensatz: [mm] \bruch{h-y}{\bruch{x}{2}}=\bruch{h}{\bruch{a}{2}}
[/mm]
umgestellt nach [mm] x=\bruch{ah-ay}{h}
[/mm]
einsetzen von [mm] h=\wurzel{3}*\bruch{a}{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{a\wurzel{3}*\bruch{a}{2}-ay}{\wurzel{3}*\bruch{a}{2}}
[/mm]
[mm] x=\bruch{2*(a\wurzel{3}*\bruch{a}{2}-ay)}{\wurzel{3}*a}
[/mm]
[mm] x=\bruch{\wurzel{3}*a-2y}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] x=a-\bruch{2y}{\wurzel{3}}
[/mm]
eingesetzt in die Hauptbedingung
[mm] A(y)=(a-\bruch{2y}{\wurzel{3}})*y
[/mm]
[mm] A(y)=ay-\bruch{2y^{2}}{\wurzel{3}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Amicus |
Sicher, dass der 1.Strahlensatz (ich habe den zweiten verwendet) so
richrig ist und man beim zweiten Bruch im Nenner nicht a, sondern a/2
schreiben müsste?
LG
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Hallo, na klar, sorry
[mm] \bruch{h-y}{\bruch{x}{2}}=\bruch{h}{\bruch{a}{2}}
[/mm]
ich ändere es in der 1. Antwort,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Amicus |
Das hab ich jetzt auch raus!
Vielen Dank! Dann hat mein Lehrer wohl nen Fehler gemacht, bei ihm steht beim Minuenden noch ne 2 im Nenner.
LG
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