matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenExtremwertproblemeRechteck mit längster Diagonal
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Extremwertprobleme" - Rechteck mit längster Diagonal
Rechteck mit längster Diagonal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rechteck mit längster Diagonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 So 22.03.2015
Autor: DerStaubi

Aufgabe
Welches Rechteck mit der Fläche A=120m² hat die längste Diagonale d? Wie lang sind die Seiten der Umfang des Rechtecks?

Hallo Leute,2 Fragen 1. Stimmt mein Ansatz. 2. Falls nicht wie soll ich sonst an die Aufgabe rangehen.  Mein erster Gedanke war das ein Rechteck mit maximalem Umfang auch die längste Diagonale haben müsste da es ja das größte wäre. Hab dann gerechnet.
. Jedoch beim einsetzen in die 2te Ableitung um nachzuweisen das es ein maximum vorhanden ist bekomme ich immer ein minimum heraus. Und da bin ich dann aufgeschmissen. Da mir ein  Minimum ja nicht hilft zu beweisen das die Diagonale maximal ist.
Meine bisherigen Rechnungen:

geg: A = 120m² ges: a,b,d, U

Haupt und Nebenbedingung
A = a*b  --> 120 = a*b
u = 2*(a+b)
Dann die Formel des Flächeninhalts nach b umgestellt --> 120/a = b
In Formel für den Umfang eingesetzt --> u=2*a + 2*120/a
sodass u= 2*a + 240/a.
1.Ableitung bilden -->  u’=2-240/a²
1.Ableitung Null setzen --> 0=2-240/a2
Nach a umstellen -->
0=2-240/a² |+240/a²
240/a² = 2 | *a², /2
120 = a² | Wurzel
10,95 = a
darausfolgt --> b = 10,958cm und d= 15,49cm
2. Ableitung bilden und in diese einsetzen
u’’= 480/a³
U’’ = 480/10,95³ = 0,36 >0 = minimum


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 22.03.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Bis

>  120/a = b

ist es richtig.

Danach berechnest du den Umfang, und dessen Extremum. Das ist aber doch gar nicht gefragt, gefragt ist nach der maximalen Diagonalen.

Abgesehen davon: Denk mal genau drüber nach, wie groß die Diagonale so ist, wenn das Rechteck eine Größe von  [mm] \sqrt{120}\times\sqrt{120} [/mm] ;   12x10; 24x5; 120x1; 240*0,5; ... hat. Gibts da ein Maximum?

Bezug
                
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 So 22.03.2015
Autor: DerStaubi

Ok,Ich danke dir erstmal, kann dir aufgrund meines sehr beschränkten Mathe-Verständnisses zwar nicht ganz folgen aber zumindest weiß ich das der Ansatz falsch ist. Ich hatte auch noch Rechnungen aufgestellt mit der Formel für die Diagonale d² = a² + b² und diese als Bedingung benutzt , jedoch führte das bei mir zu nix. Würde ich damit eher hin kommen? Für den weiteren Dialog stell dir bitte auf meiner Seite einen Menschen vor der von Mathematischen Hintergründen sehr wenig Ahnung hat, sondern einfach nur Formeln nimmt und versuch damit etwas anzustellen :). Das macht es glaube ich für alle beteiligten einfacher.

Bezug
                        
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 So 22.03.2015
Autor: Steffi21

Hallo, die Idee mit [mm] d^2=a^2+b^2 [/mm] ist schon mal ok, somit hast du

(1) [mm] d(a,b)=\wurzel{a^2+b^2} [/mm]

weiterhin ist dir bekannt [mm] 120m^2=a*b [/mm] umgestellt nach b bekommst du

(2) [mm] b=\bruch{120}{a} [/mm]

jetzt (2) in (1) einsetzen, d ist nur noch abhängig von a

Steffi





Bezug
                                
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 So 22.03.2015
Autor: DerStaubi

Gut, Danke. Das heißt ja dann eingesetze d= [mm] \wurzel{a²+(120/a)² } [/mm] oder umgeschrieben d=(a² + [mm] (120/a)²)^1/2 [/mm] (hoffe das sieht verständlich aus). So oder so muss ich ja jetzt ableiten. Bei d=(a² + [mm] (120/a)²)^1/2 [/mm] muss ich ja mit Kettenregel ableiten, dächte ich.
So das d’= 1/2(a²+(120/a)²)^-1/2 * 2a+ 2*(120/a)*-120/a²
Äußere Ableitung: 1/2(a²+(120/a)²)^-1/2
innere Ableitung 2a+ 2*(120/a)*-120/a²
Stimmt das soweit? Bin ein wenig verwirrt weil wenn ich das richtig sehe hab ich ja zweimal Kettenregel.

Bezug
                                        
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 22.03.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Gut, Danke. Das heißt ja dann eingesetze d=
> [mm]\wurzel{a²+(120/a)² }[/mm] oder umgeschrieben d=(a² +
> [mm](120/a)²)^1/2[/mm] (hoffe das sieht verständlich aus)

Setze Exponenten, die aus mehr als einem Zeichen bestehen, in geschweifte Klammern.
Außerdem hast du eine Potenz vergessen, du hast

[mm] d(a)=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{120}{a}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}+14400a^{-2}} [/mm]

> So oder so muss ich ja jetzt ableiten.

In der Tat. Du kannst es dir aber einfacher machen, und  nur den Radikanden betrachten, denn das Wurzelziehen ändert an der x-Koordinate eines Extrempunktes nichts.

> Bei d=(a² + [mm](120/a)²)^1/2[/mm]
> muss ich ja mit Kettenregel ableiten, dächte ich.

Ja, aber dann bitte von der richtigen Funktion.
Außerdem solltest du dir überlegen, dass [mm] g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} [/mm] die Ableitung [mm] g'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} [/mm] hat, das erspart eine Menge Umschreiberei bei komplizierteren Funktionen wie dieser hier

[mm] d(a)=\sqrt{a^{2}+14400a^{-2}} [/mm]
hat also die Ableitung:

[mm] d'(a)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{a^{2}+14400a^{-2}}}\cdot(2a-28800x^{-3})=\frac{a-\frac{14400}{a^{3}}}{\sqrt{a^{2}+\frac{14400}{a^{2}}}} [/mm]

Dieser Term wird Null, wenn der Zähler, was war ja die innere Ableitung Null wird, das bestätigt nochmal die oben genannte Theorie, dass das Wurzelziehen an der x-Koordinate eines Extrempunktes nichts ändert.

> So das d’= 1/2(a²+(120/a)²)^-1/2 * 2a+
> 2*(120/a)*-120/a²
> Äußere Ableitung: 1/2(a²+(120/a)²)^-1/2
> innere Ableitung 2a+ 2*(120/a)*-120/a²
> Stimmt das soweit? Bin ein wenig verwirrt weil wenn ich
> das richtig sehe hab ich ja zweimal Kettenregel.

Du hast hier nur einmal die Kettenregel zu verwenden.

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 So 22.03.2015
Autor: DerStaubi

Auch dir ein Danke.
Als nächstes käme ja jetzt das Null setzen der ersten Ableitung.
Mir fehlt jetzt allerdings jeglicher Ansatz wie ich  das jetz so umstelle oder auflöse das ich a rausbekomme. Wie muss ich da rangehen?

Bezug
                                                        
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 So 22.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Auch dir ein Danke.
> Als nächstes käme ja jetzt das Null setzen der ersten
> Ableitung.

[ok]

> Mir fehlt jetzt allerdings jeglicher Ansatz wie ich  das
> jetz so umstelle oder auflöse das ich a rausbekomme. Wie
> muss ich da rangehen?

Ich weiß nicht genau, was Du mit Ansatz meinst. Einen Ansatz braucht man dafür nicht, Du musst lediglich eine algebraische Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen, das ist Stoff der 7. Klasse (oder so). Einen nützlichen Hinweis hat Dir M.Rex auch schon gegeben, nämlich dass der Term null wird, wenn der Zähler null wird. Also löse die Gleichung:
[mm] $a-\frac{14400}{a^3}=0$ [/mm]
Als erste Äquivalenzumformung würde in eine Multiplikation der Gleichung mit [mm] $a^3$ [/mm] vorschlagen. Den Rest schaffst Du bestimmt alleine.

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:11 Mi 01.04.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Ich seh das Thema grade wieder, und da es 10 Tage alt ist, kann ichs ja mal sagen:

Es gibt kein Rechteck mit maximaler Diagonale. Wenn man das Rechteck sehr lang und schmal macht, ist die Diagonale nur etwas länger wie die lange Seite.
Und wenn man es doppelt so lang und halb so schmal macht, ist auch die Diagonale etwa doppelt so lang...
Es gibt keine maximale Länge.

Das Extremum, das hier gefunden wird, ist ein Minimum, und es triff beim Quadrat auf.



Bezug
                        
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mi 01.04.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Ok,Ich danke dir erstmal, kann dir aufgrund meines sehr
> beschränkten Mathe-Verständnisses zwar nicht ganz folgen
> aber zumindest weiß ich das der Ansatz falsch ist. Ich
> hatte auch noch Rechnungen aufgestellt mit der Formel für
> die Diagonale d² = a² + b² und diese als Bedingung
> benutzt , jedoch führte das bei mir zu nix. Würde ich
> damit eher hin kommen? Für den weiteren Dialog stell dir
> bitte auf meiner Seite einen Menschen vor der von
> Mathematischen Hintergründen sehr wenig Ahnung hat,
> sondern einfach nur Formeln nimmt und versuch damit etwas
> anzustellen :). Das macht es glaube ich für alle
> beteiligten einfacher.


Hallo Staubi,

da möchte ich doch ganz gerne ein paar Bemerkungen
hinzusetzen:

1.)  Ich versuche (fast) allen Menschen Verständnis in
ihrer Situation entgegenzubringen, insbesondere auch
solchen, denen mathematische Gedankengänge eher
Mühe bereiten.

2.)  Wer Mathe betreiben will, indem er einfach "vorgegebene
Formeln nimmt" und versucht, damit "etwas anzustellen",
macht es sich vermutlich schwerer als er meint, ohne es zu
ahnen. Wer Matheaufgaben auf diese Weise quasi "im Blindflug"
lösen will, müsste umso pingeliger darauf achten,
jeweils auch die Randbedingungen, welche für die Anwendung
der Formeln zu erfüllen sind, genau zu befolgen. Schon ein
bisschen Ahnung von dem, was inhaltlich zu machen ist,
kann da eine sehr große Hilfe sein, um Irrwege auszuschließen.

3.)  Bei der vorliegenden Aufgabe hilft schon ein Quentchen
Wille, sich anschaulich vorzustellen, worum es bei der Aufgabe
geht, um die Antwort auch ohne eigentliche Rechnungen
zu liefern. Rechtecke mit einem vorgegebenen Flächeninhalt A
(mit A>0) können nämlich zum Beispiel sehr sehr lang und
dafür ganz schmal sein. Der Länge ist dabei keine obere
Schranke gesetzt. Da die Diagonale stets mindestens so
lang ist wie die Langseite des Rechtecks, gilt auch für die
Diagonalenlänge keine obere Schranke. Es gibt also einfach
kein Rechteck mit dem Flächeninhalt A und einer
längstmöglichen Diagonale.

4.)  Ich finde es ganz gut, dass im Matheunterricht
wenigstens hie und da auch solche Aufgaben auftauchen,
bei denen die Antwort lautet:  "Es gibt keine Lösung."
Ich fände es keine gute Idee, diese Aufgabe durch die
gegenteilige Aufgabe zu ersetzen, bei der nach dem
Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt und minimaler
Diagonalenlänge zu ersetzen, nur weil diese Aufgabe (die
aber doch jedenfalls auch irgendwann gelöst wird) eine
eindeutige Lösung hat.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                                
Bezug
Rechteck mit längster Diagonal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Do 02.04.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Grade zum letzten Punkt: Wirklich umformuliert hat die Aufgabe hier ja niemand. Man kommt durch Nachdenken schnell darauf, daß es kein Maximum gibt, und im nächsten Schritt, daß es ein Miniumum beim Quadrat gibt.

Wenn man "nur" rechnet, findet man ein Extremum. Da läuft man schnell Gefahr, das als Lösung anzugeben, sollte aber eben über die o.g. Argumentation oder weitere Rechnung darauf kommen, daß es das gesuchte ist.

Als Lösungssatz kann man dann eben schreiben, daß es zwar ein Minumum beim Quadrat gibt, aber kein Maximum. Damit ist man selbst dann auf der sicheren Seite, wenn die Aufgabe "eigentlich anders" lauten sollte...


Wie dem auch sei, ich stimme dir vollkommen zu, ein paar Formeln zu kennen, die einem nichts sagen, und mit denen dann auf einer Aufgabe rumzuprügeln, bis irgendwas raus kommt, das irgendwie richtig aussieht, das funktioniert auf Dauer nicht.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 37m 1. sancho1980
ULinAEw/Eigenwerte und Matrix
Status vor 3h 42m 9. Ataaga
SGeradEbene/Abstand eines Punktes
Status vor 8h 57m 4. leduart
IntTheo/mehrdim. part. Int., Doppelint
Status vor 23h 02m 3. HJKweseleit
GraphTheo/Zusammenhängender Zufallsgraph
Status vor 1d 4h 10m 6. HJKweseleit
ULinAAb/Kern und Bild bestimmen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]