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Forum "Extremwertprobleme" - Rechteck zwischen zwei Geraden
Rechteck zwischen zwei Geraden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Rechteck zwischen zwei Geraden: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Di 29.04.2014
Autor: julietteb

Aufgabe
Die Funktionen f und g sind definiert durch f(x)=1/8x und [mm] g(x)=1/x^2 [/mm]
Ein Rechteck werde der Fläche zwischen den Graphen von f, g und der positiven x-Achse einbeschrieben, so dass je eine Ecke auf dem Graphen f und g liegt und die zwei anderen Ecken auf der x-Achse liegen. Welches ist die Fläche des Rechtecks, das den grössten Flächeninhalt hat?

Liebes Matheraum-Team

Ich weiss, dass 2 Punkte (die, welche durch die x-Koordinarte definiert sind) (x1/0) und (x2/0) sind... Weiter weiss ich auch, dass ich zur Lösung des Problems eine Nebenbedingung hab und eine Hauptbedingung, da ich die möglist grösste Fläche brauch... Oder? Irgendwie komm ich aber nicht drauf, was ich genau wie machen muss.

Ich wäre unglaublich froh und dankbar um jede Hilfe!
Schönen Tag und Danke im vornherein.
Liebe Grüsse
Juliette

        
Bezug
Rechteck zwischen zwei Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Di 29.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Die Funktionen f und g sind definiert durch f(x)=1/8x und
> [mm]g(x)=1/x^2[/mm]

Soll die Funktion f so heißen:

[mm] f(x)=\bruch{1}{8}x [/mm]

?

Ich gehe mal davon aus, weil die Aufgabenstellung sonst eigentlich keinen Sinn ergibt.

> Ein Rechteck werde der Fläche zwischen den Graphen von f,
> g und der positiven x-Achse einbeschrieben, so dass je eine
> Ecke auf dem Graphen f und g liegt und die zwei anderen
> Ecken auf der x-Achse liegen. Welches ist die Fläche des
> Rechtecks, das den grössten Flächeninhalt hat?
> Liebes Matheraum-Team

>

> Ich weiss, dass 2 Punkte (die, welche durch die
> x-Koordinarte definiert sind) (x1/0) und (x2/0) sind...
> Weiter weiss ich auch, dass ich zur Lösung des Problems
> eine Nebenbedingung hab und eine Hauptbedingung, da ich die
> möglist grösste Fläche brauch... Oder? Irgendwie komm
> ich aber nicht drauf, was ich genau wie machen muss.

Na ja, wenn du ehrlich bist: da weißt du nicht sehr viel. :-)

Man muss nicht immer mit solchen Begriffen wie Haupt-  und Nebenbedingung um sich schmeißen, das verwirrt eigentlich eher als das es hilft. Du benötigst eine Funktion, welche die gesuchte Rechteckfläche beschreibt. Diese Funktion möchtest du letztendlich durch Differenzialrechnung maximieren. Aber da brauchen wir natürlich erst einmal eine solche Zielfunktion, wie man das auch nennt. Doch wovon soll sie abhängen (hast du dir denn mal eine Skizze gemacht???)?

Denke dir hierzu eine waagerechte Gerade

g: y=c ; c>0

Diese schneidest du mit den beiden gegebenen Funktionen. So erhältst du die gesuchten x-Koordinaten aller vier Eckpunkte in Abhängigkeit einer einzigen Variablen c. Die Zielfunktion ist dann einfach aufgestellt, wenn man bedenkt, dass sich die Fläche eines Rechtecks zu Länge mal Breite berechnet...

Bedenken muss man dabei allerdings noch, dass der Definitionsbereich für c auch nach oben abgegrenzt werden muss, um unsinnige Resultate zu vermeiden. Dazu könntest du viellicht zu Beginn einmal den Schnittpunkt von f und g berechnen.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Rechteck zwischen zwei Geraden: Analysis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 Mi 30.04.2014
Autor: manfreda

Aufgabe
Vorherige Aufgabe

Guten Tag,

julietteb und ich gehören zusammen. Nun habe ich die beiden
gleich gesetzt und habe einmal  x1=8c und einmal x2 = c^-1/2

Die Fläche des Rechtecks kann man ja nun so ausdrücken A= c * ( 8c - c^-1/2) ---> [mm] 8c^2 [/mm] -c*c^-1/2 ---> [mm] 8c^2 -c^1/2 [/mm]

Bei der Ableitung komm ich aber nicht weiter: A' =16c - 1/2c^-1/2

Hab ich dann gleich 0 gesetzt : 0 = 16c - 1/2c^-1/2 | *2
0= 32c -c^-1/2 | [mm] ()^2 [/mm]
[mm] 0=1024c^2 [/mm] -1/c | *c
0= [mm] 1024c^3 [/mm] -1

Naja das kommt dann auf irgendetwas komisches.



Vielen Dank für die Antwort

Mit freundlichen Grüssen


Stephanie




Bezug
                        
Bezug
Rechteck zwischen zwei Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:00 Mi 30.04.2014
Autor: angela.h.b.

[mm] f(x)=\bruch{1}{8}x [/mm] und $ [mm] g(x)=\bruch{1}{x^2}. [/mm] $

Hallo,

>  Nun habe ich die
> beiden
>  gleich gesetzt

mit y=c für c>0

>und habe einmal  x1=8c und einmal x2 =

> c^-1/2

Ja.

>  
> Die Fläche des Rechtecks kann man ja nun so ausdrücken A=
> c * ( 8c - c^-1/2) ---> [mm]8c^2[/mm] -c*c^-1/2 ---> [mm]8c^2 -c^1/2[/mm]

Mit den Pfeilen meinst Du sicher Gleichheitszeichen.

Das stimmt nicht ganz. Schau auf die Skizze:

Wir haben  [mm] A(c)=c*(x_2-x_1)=(c^{\bruch{1}{2}-8c^2}. [/mm]

>  
> Bei der Ableitung komm ich aber nicht weiter: A' =16c -
> 1/2c^-1/2

Die Ableitung lautet dann A'(c)=-(16c - [mm] 1/2c^{-1/2}) [/mm]

>  
> Hab ich dann gleich 0 gesetzt : 0 = 16c - 1/2c^-1/2 | *2
>  0= 32c -c^-1/2 | [mm]()^2[/mm]
>  [mm]0=1024c^2[/mm] -1/c | *c

[mm] (32c-c^{-\bruch{1}{2}})^2 [/mm] ergibt aber nicht das, was Du da schreibst.
Rechne mal [mm] (32c-c^{-\bruch{1}{2}})*(32c-c^{-\bruch{1}{2}}) [/mm]
oder erinnere Dich an die binomischen Formeln...

Gehen wir's etwas anders an, landen wir jedoch bei dem, was Du ausgerechnet hast:

[mm] 0=32c-c^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
<==>
[mm] c^{-\bruch{1}{2}}=32c [/mm]
==>
[mm] \bruch{1}{c}=1024c^2 [/mm]
<==>
[mm] 1=1024c^3 [/mm]
<==>
[mm] \bruch{1}{1024}=c^3 [/mm]


>  0= [mm]1024c^3[/mm] -1
>  
> Naja das kommt dann auf irgendetwas komisches.

Auf was? Und warum ist das komisch?
Jetzt sollte es nicht mehr komisch sein.


Überzeuge Dich, daß Du ein Maximum ausgerechnet hast, und bestimme nun noch den Flächeninhalt.

LG Angela


>  
>
>
> Vielen Dank für die Antwort
>  
> Mit freundlichen Grüssen
>  
>
> Stephanie
>  
>
>  


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