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Rechtsnebenklassen: Korrektur / Ergänzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Mo 28.11.2016
Autor: Chrizzldi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Entscheiden Sie für die folgenden Gruppen $G$, Untergruppen $U\leqG$ und $a,b \in G$ jeweils, ob $a \sim_U b$ gilt, also ob $a$ und $b$ in derselben Rechtsnebenklasse von $U$ in $G$ liegen.
(a) $G = (\mathbb{Z}, +), U = 10\mathbb{Z}, a = -3, b = 3$
(b) $G = (\mathbb{Z}_{10}, \oplus), U = \{0, 5\}, a = 7, b = 2$
(c) $G = (F(\mathbb{R},\mathbb{R)), + ), U = \{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(x) = -f(-x)\}$ (ungerade Funktionen),

$a : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \rightarrow x^3 + x^2 + 1$,
$b : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \rightarrow x^2 + x + 1$


(d) $G = ( M_3(\mathbb{R}), +), U = \{A \in G | A^T = A\}$ (symmetrische Matrizen).

$ a = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2  \\
0 & 3 & 7  \\
6 & 8 & -1  \\
\end{pmatrix},
b = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 7  \\
-3 & 5 & 3  \\
7 & 4 & -3  \\
\end{pmatrix}$

Hallo liebe Mathefreunde,

ich beschäftige mich für obige Aufgabe gerade mit Rechtsnebenklassen und hoffe auf etwas Unterstützung :)

Allgemeine Definition für die Elemente einer Rechtsnebenklasse ist erstmal:
$a, b \in G : a \sim_U b : \Leftrightarrow \exists u \in U : ua = b$
Wenn ich das richtig verstehe, dann hat $U$ mehrere Nebenklassen und ich muss untersuchen in welchen Nebenklassen $a$ bzw. $b$ liegen. Nur so kann ich entscheiden ob $a,b$ in der gleichen Rechtsnebenklasse von $U$ liegen. Okay, gegeben dem Fall ich habe mich hier nicht vertan erhalte ich für:

(a) folgende Untergruppen:
${10\mathbb{Z} + 0, 10\mathbb{Z} + 1, \ldots, 10\mathbb{Z} + 9}$
hier finde ich auch die Untergruppe des Aufgabenteils wieder, nur ist mir schleierhaft, wie sich in dieser $a$ und $b$ befinden soll. Ich würde also entscheiden, dass $a, b$ nicht in $U = 10\mathbb{Z} liegt. Aber liegt dann $a, b$ überhaupt in einer gemeinsamen Untergruppe? Rechne ich für $a$ und $b$ aus:
$10k + 7 = -3$ für $k = -1$ und $10k + 3$ für $k = 0$ ergibt sich keine gemeinsame Untergruppe.

Irgendwie bin ich mir absolut nicht sicher, ob ich das so richtig mache.

Für eine kurze Rückmeldung wäre ich sehr dankbar, weil ich so nicht mit den anderen Teilaufgaben fortfahren will...

Merci und liebe Grüße,
Chris

        
Bezug
Rechtsnebenklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mo 28.11.2016
Autor: leduart

Hallo
du hast mit a und b nicht in derselben Restklasse und deinen Argument dazu recht.
nur meinst du nicht Untergruppe sondern Restklasse.
Gruß leduart

Bezug
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