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| Aufgabe | Find a reduced basis for the following [mm] \IZ-modules:
[/mm]
a) [mm] \Gamma [/mm] := [mm] \IZ\cdot\frac{1}{2} \oplus \IZ\cdot\sqrt{3} \subset \IQ(\sqrt{3}) [/mm] |
Hallo Leute!
Ich habe jetzt gerechnet, aber wir haben in der Vorlesung nichts derartiges gemacht, darum habe ich mich verselbstständigt, nur ich komme nicht auf ein richtiges Ergebnis..
Hier was ich bisher gemacht habe:
[mm] \Gamma [/mm] besitzt auf jeden Fall die basis [mm] \beta_{1} [/mm] := [mm] \frac{1}{2}, \beta_{2} [/mm] := [mm] \sqrt{3}
[/mm]
Ich definiere nun [mm] \xi [/mm] := [mm] \frac{\beta_{1}}{\beta_{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\sqrt{3}} [/mm] = [mm] \left[0;3,\overline{2,6}\right] [/mm] und hat somit eine Periodenlänge in der Kettenbruchentwicklung p = 2.
Ich berechne also diese Approximation bis zur ersten Periode, also [mm] M_{3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 13 \\ 7 & 45\end{pmatrix}
[/mm]
Gut, somit ist [mm] \xi_{3} [/mm] = [mm] \frac{13}{45} [/mm] und [mm] M\xi_{3} \approx \xi [/mm] (mit [mm] M\xi_{3} [/mm] = [mm] \frac{2\xi_{3} + 13}{7\xi_{3} + 45})
[/mm]
Jetzt müsste ich doch einfach [mm] M^{-1}\vektor{ \beta_{1} \\ \beta_{2}} [/mm] berechnen und würde die reduzierte Basis erhalten, doch wenn ich dann das Kriterium überprüfe für Reduzierbarkeit (0 < [mm] \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} [/mm] < 1 und [mm] \frac{\alpha_{1}'}{\alpha_{2}'} [/mm] < -1) ist dieses Kriterium nicht erfüllt..
Ich nehme an, es hat was mit meinem [mm] M_{3} [/mm] zu tun.. da die Kettenbruchentwicklung nicht reinperiodisch ist, weiss ich nicht richtig wie damit umzugehen...
Kann mir jemand einen Tipp geben? :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 03.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo
Ich bin immernoch interessiert an einer Antwort.. ;) Ich habe jetzt mal einen anderen Ansatz versucht:
M := [mm] \frac{1}{2}\mathbb{Z} \oplus \sqrt{3}\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{\frac{1}{2}a + \sqrt{3}b\quad | \quad a,b \in \mathbb{Z}\}
[/mm]
= [mm] \{\frac{1}{2}a + (1+\sqrt{3})b \quad | \quad a,b \in \mathbb{Z}\}
[/mm]
= [mm] \{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + (\frac{3}{2}+\sqrt{3})b \quad | \quad a,b \in \mathbb{Z}\}
[/mm]
= [mm] \{\frac{1}{2}(a-b) + (\frac{3}{2} + \sqrt{3})b \quad | \quad a,b \in \mathbb{Z}\}
[/mm]
Wenn ich jetzt definiere:
[mm] \alpha_{1} [/mm] := [mm] \frac{1}{2}; \quad \alpha_{2} [/mm] = [mm] \frac{3}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}
[/mm]
Dann werden die Kriterien für die Reduziertheit der Basis erfüllt, nämlich 0 < [mm] \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} [/mm] < 1 und 0 < [mm] -\frac{\alpha_{2}'}{\alpha_{1}'} [/mm] < 1
Somit wäre durch [mm] (\frac{1}{2},\frac{3}{2}+\sqrt{3}) [/mm] eine reduzierte Basis von M gegeben.
Kann dies so stimmen? Wäre froh um eine Korrektur :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 05.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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