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Forum "Differentialgleichungen" - Reduktion der Ordnung
Reduktion der Ordnung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Reduktion der Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Sa 17.04.2010
Autor: bezauberndejeany

Ich habe z.B. die DGL [mm] \[y''+y=sin(t).\] [/mm]
Wenn ich das in ein System von DGLn 1. Ordnung überführen möchte, dann habe ich
[mm] \[y'_{1}=y_{2}\] [/mm] und [mm] \[y'_{2}=-y_{1}+sin(t)\]. [/mm]
Soweit habe ich das auch verstanden. Mein Problem ist nun, wie ich mit diesen 2 DGLn erster Ordnung weiterrechne... Also wie löse ich die beiden DGLn jeweils?
Ich wäre echt dankbar für Hilfe. Ich fürchte ich habe bald noch mehr Fragen, da ich mit dem lari-fari-Skript von meinem Prof nicht zurecht komme...
Danke schonmal!

        
Bezug
Reduktion der Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Sa 17.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

> Ich habe z.B. die DGL [mm]\[y''+y=sin(t).\][/mm]
>  Wenn ich das in ein System von DGLn 1. Ordnung
> überführen möchte, dann habe ich
>  [mm]\[y'_{1}=y_{2}\][/mm] und [mm]\[y'_{2}=-y_{1}+sin(t)\].[/mm]
>  Soweit habe ich das auch verstanden. Mein Problem ist nun,
> wie ich mit diesen 2 DGLn erster Ordnung weiterrechne...
> Also wie löse ich die beiden DGLn jeweils?
>  Ich wäre echt dankbar für Hilfe. Ich fürchte ich habe
> bald noch mehr Fragen, da ich mit dem lari-fari-Skript von
> meinem Prof nicht zurecht komme...
>  Danke schonmal!

Also, was du tust, ist richtig.

Du substituierst also [mm] p=\bruch{dy}{dt} \Rightarrow \bruch{d^2y}{dt^2}=\bruch{dp}{dt} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{dp}{dt}+p=sin(t) [/mm]

Die ist jetzt linear, inhomogen aber erste Ordnung. Integrierender Faktor ist hier denke ich das richtige Stichwort!

Hast Du das erste Ergebnis, also p(t)=... dann integrierst du noch einmal um y(t) zu erhalten.

Lg

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Bezug
Reduktion der Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Sa 17.04.2010
Autor: bezauberndejeany

Vielen Dank!
Ich verstehe aber nicht so ganz, warum ich dann überhaupt in die zwei Gleichungen $ [mm] \[y'_{1}=y_{2}\] [/mm] $ und $ [mm] \[y'_{2}=-y_{1}+sin(t)\] [/mm] $ umgeformt habe. Das mit der Substitution hätte ich ja dann auch so sehen können.
Wie löse ich das aber, wenn eine DGL n-ter Ordnung vorgegeben ist?
Dann habe ich nur solche Gleichungen:
$ [mm] \[y'_{2}=-y_{1}+sin(t)\] [/mm] $. Wie löse ich genau diese dann?

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Reduktion der Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Sa 17.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

ich sehe gerade, dass dort steht y''+y=sin(t) ist das so korrekt oder soll es y''+y'=sin(t) heißen ?

Das habe ich vorhin überlesen, ansonsten war meine antwort murks...

lg

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Reduktion der Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Sa 17.04.2010
Autor: bezauberndejeany

[mm] \[y''+y=sin(t)\] [/mm] ist richtig...

Bezug
                        
Bezug
Reduktion der Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:48 Sa 17.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

also ich bin mir gerade nicht sicher, wie das mit der Umformung in zwei DGL erster ordnung funktionieren soll. Ansonsten ist das eine gleichung die der Differentialgleichung für die einfache harmonische Oszillation entspricht. Das wäre dann ein System mit zwei komplex-konjugierten (komplett imaginären) Eigenwerten (i und -i). Und das hat dann die homogene Lösung

y(t)=A*cos(t)+B*sin(t)

Für die partikuläre Lösung kannst du den komplexen Ansatz wählen, mit [mm] sin(t)=Im(e^{i*t}). [/mm] Also der Ansatz wäre dann [mm] y(t)=C*t*e^{i*t} [/mm] .

LG



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Reduktion der Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Sa 17.04.2010
Autor: qsxqsx

Hallo,

Also was im Prinzip gemacht wurde ist, man hat eine DGL 2.Ordnung auf zwei gekoppelte(!) DGL 1.Ordnung zurückgeführt.

Du hast doch, wenn du gehabt hast wie man DGL auf 1.Ordnung zurückführt, bestimmt den Ausdruck "Exponentialmatrix" gehört/durchgenommen. Damit wird es gemacht.
Sonst google das mal. Es ist eigentlich der gleiche Ansatz [mm] e^{a*x} [/mm] wie sonst nur dass a nicht eine Zahl ist, sondern ne Matrix!

Durch geschicktes umformen kann man es natürlich auch so lösen. Man kann dabei aber auch wahnsinig werden. Im allgemeinen löst man es dann aber eben mit einer Exponentialmatrix.

Gruss



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