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| Aufgabe | Bestimme eine Basis des Zeilenraums von A.
Bestimme eine Basis des Kerns von A. |
Ich habe bereits die reduzierte Stufenform für A:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Als Basis des Zeilenraums habe ich einfach die drei Zeilenvektoren genommen, die keine Nullzeilen sind.
Jetzt will ich den Kern davon berechnen. Das müsste doch mit der reduzierten Stufenform auch gehen oder? Kann mir das jemand erklären?
Gruss und Merci
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> Bestimme eine Basis des Zeilenraums von A.
> Bestimme eine Basis des Kerns von A.
> Ich habe bereits die reduzierte Stufenform für A:
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Als Basis des Zeilenraums habe ich einfach die drei
> Zeilenvektoren genommen, die keine Nullzeilen sind.
Hallo,
ja, das kannst Du tun.
Die führenden Zeilenelemente Deiner ZSF stehen in Spalte 1,3 und 5.
Also kannst Du die 2. und 4. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_2:=t [/mm] und
[mm] x_4:= [/mm] s
erhältst Du aus Zeile 3
[mm] x_5=0,
[/mm]
aus Zeile 2
[mm] x_3+4x_4=0 [/mm] <==>
[mm] x_3=-4s,
[/mm]
und aus Zeile 1
[mm] x_1+2x_2+3x_4=0 [/mm] <==>
[mm] x_1=-2t-3s.
[/mm]
Alle Lösungsvektoren [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_5} [/mm] haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{-2t-3s\\t\\-4s\\s\\0}=t\vektor{-2\\1\\0\\0\\0}+s\vektor{-3\\0\\-4\\1\\0},
[/mm]
und die beiden Vektoren [mm] \vektor{-2\\1\\0\\0\\0},\vektor{-3\\0\\-4\\1\\0} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Kerns.
Andere Vorgehensweise zur Bestimmung des Kerns, wenn man die red. ZSF hat:
Nullzeilen weg:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Nullzeile so einscheiben, daß die führenden Zeilenelemente auf der Diagonalen stehen:
--> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0&0&0&0&0\\0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0&0&0&0&0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Einheitsmatrix subtrahieren:
---> [mm] \pmat{ 0& 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0&-1&0&0&0\\0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0&0&0&-1&0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
In den Nichtnullspalten steht nun eine Basis des Kerns.
LG Angela
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> Jetzt will ich den Kern davon berechnen. Das müsste doch
> mit der reduzierten Stufenform auch gehen oder? Kann mir
> das jemand erklären?
>
> Gruss und Merci
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Danke 
Sind beide Verfahren notwendig zu wissen? Also gibt es Möglichkeiten, dass eines der Verfahren nicht funktioniert? Oder reicht es z.B. nur das erste Verfahren zu können?
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Hallo,
ein Verfahren reicht - falls es ein Begrenzung für Gepäckstücke gibt.
Die Verfahren funktionieren beide immer.
LG Angela
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