Reelle Zahl a; linear abhängig < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.
a) [mm] \vektor{a \\ 2a}, \vektor{7 \\ a} [/mm] |
Hey Leute,
muss ich hier mit der Formel [mm] \vec{a}= r*\vec{b} [/mm] für a eine Zahl einsetzen, damit der eine Vektor das Vielfache vom anderen Vektor ist?
Geht das nur durch Ausprobieren oder kann ich hier auch auflösen? Bitte mit Rechnung zum Nachvollziehen:)
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 20.03.2013 | | Autor: | chrisno |
>
> muss ich hier mit der Formel [mm]\vec{a}= r*\vec{b}[/mm] für a eine
> Zahl einsetzen, damit der eine Vektor das Vielfache vom
> anderen Vektor ist?
In diesem Fall kannst Du so loslegen. Den Spaß am Rechnen wollen wir Dir nicht verderben. Aus
[mm] $\vektor{a \\ 2a} [/mm] = r [mm] \vektor{7 \\ a}$ [/mm] ergeben sich zwei Gleichungen, für jede Vektorkomponente eine. Schreib sie hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mi 20.03.2013 | | Autor: | leasarfati |
achso, stimmt. Jetzt fällt es mir wieder ein, was ich dann machen muss:) VIELEN DANK!!!!
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| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.
a) [mm] \vektor{a \\ 2a}, \vektor{7 \\ a} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht, wie ich weiterrechnen kann:
Ich habe 2 Gleichungen aufgestellt:
I. a=7r
II. 2a=ar
Muss ich jetzt beide Gleichungen nach a auflösen? Die I. Gleichung ist ja schon nach a aufgelöst, die II. Gleichung lässt sich aber nicht so leicht umformen... Was muss ich da machen? Und wenn ich nach a aufgelöst habe, was muss ich dann tun?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Do 21.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Du hattest Diese Frage doch schon neulich gestellt. Warum fragst Du nicht im entsprechenden Thread weiter?
Ich habe nun beide Threads zusammengefügt.
Gruß
Loddar
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Hallo leasarfati,
> Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die
> Vektoren linear abhängig sind.
>
> a) [mm]\vektor{a \\
2a}, \vektor{7 \\
a}[/mm]
> Hallo Leute!
>
> Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht, wie ich weiterrechnen
> kann:
>
> Ich habe 2 Gleichungen aufgestellt:
>
> I. a=7r
> II. 2a=ar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Muss ich jetzt beide Gleichungen nach a auflösen? Die I.
> Gleichung ist ja schon nach a aufgelöst, die II. Gleichung
> lässt sich aber nicht so leicht umformen... Was muss ich
> da machen? Und wenn ich nach a aufgelöst habe, was muss
> ich dann tun?
Du musst nach r auflösen!
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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Ok, jetzt habe ich beide Gleichungen nach r aufgelöst:
I. [mm] \bruch{a}{7}=r
[/mm]
II. 2=r
Was muss ich jetzt machen?
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Hallo nochmal,
> Ok, jetzt habe ich beide Gleichungen nach r aufgelöst:
> I. [mm]\bruch{a}{7}=r[/mm]
> II. 2=r
>
> Was muss ich jetzt machen?
Na, das r muss eindeutig sein, also für beide "Komponentengleichungen" dasselbe r.
Für welche(s) a ist das möglich?
Gruß
schachuzipus
>
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Hallo leasarfati,
> Ist a dann 14?
Ja.
Gruss
MathePower
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Wie rechne ich das bei dieser Aufgabe aus:
[mm] \vektor{a \\ 4}, \vektor{2a \\ 3}?
[/mm]
Ich bin schon so weit:
I. a=2ar
II. 4=3r
Jetzt habe ich beide Gleichungen nach r aufgelöst:
I. [mm] \bruch{a}{2a}=r
[/mm]
II. [mm] \bruch{4}{3}=r
[/mm]
Jetzt versuche ich mit dieser Gleichung a auszurechnen:
[mm] \bruch{4}{3}=\bruch{a}{2a}
[/mm]
Geht das so? Kann ich mit dieser Gleichung nach a auflösen? Oder gibt es einen einfacheren Weg, um a herauszubekommen? (Ich meine einen anderen Weg statt Ausprobieren...)
lg:)
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Hallo nochmal,
> Wie rechne ich das bei dieser Aufgabe aus:
>
> [mm]\vektor{a \\
4}, \vektor{2a \\
3}?[/mm]
>
> Ich bin schon so weit:
>
> I. a=2ar
> II. 4=3r
>
> Jetzt habe ich beide Gleichungen nach r aufgelöst:
>
> I. [mm]\bruch{a}{2a}=r[/mm]
Das geht nur für [mm] $a\neq [/mm] 0$ !
> II. [mm]\bruch{4}{3}=r[/mm]
>
> Jetzt versuche ich mit dieser Gleichung a auszurechnen:
> [mm]\bruch{4}{3}=\bruch{a}{2a}[/mm]
>
> Geht das so? Kann ich mit dieser Gleichung nach a
> auflösen? Oder gibt es einen einfacheren Weg, um a
> herauszubekommen? (Ich meine einen anderen Weg statt
> Ausprobieren...)
Wie wäre es mit kürzen? Was ist denn [mm] $\frac{\red a}{2\red a}$?
[/mm]
Wie sieht es damit aus für den Fall [mm] $a\neq [/mm] 0$ ?
Was ist dann mit dem Fall $a=0$? Den musst du noch getrennt anschauen, denn als du durch $2a$ geteilt hast, hast du ja $a=0$ ausschließen müssen ...
>
> lg:)
Gruß
schachuzipus
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Aber wenn ich kürze, habe ich dann ja am Ende nur stehen:
[mm] \bruch{4}{3}=2 [/mm] ??
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Hallo nochmal,
> Aber wenn ich kürze, habe ich dann ja am Ende nur stehen:
>
> [mm]\bruch{4}{3}=2[/mm] ??
Eher [mm] $\frac{4}{3}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Das ist natürlich Quark, also gibt es für [mm] $a\neq [/mm] 0$ kein solches r, und die Vektoren sind für [mm] $a\neq [/mm] 0$ nicht linear abhängig.
Wie ist es für $a=0$? Der Fall fehlt ja noch ...
Gruß
schachuzipus
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Ich weiß nicht richtig, wie ich das für den Fall a=0 ausrechnen soll...:( Kannst du mir dabei helfen?
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Och Menno,
jetzt stellst du dich aber etwas an ...
Wie lauten die Vektoren denn für $a=0$ ??
Schreibe die mal hin, dann wird dir alles klar 
Gruß
schachuzipus
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Ich komme dann auf folgende Gleichungen:
I. 0=0
II. 4=3r
Ist das richtig? Ich kann dann ja die II. Gleichung nach r auflösen:
[mm] \bruch{4}{3}=r
[/mm]
Bin ich jetzt fertig? Was habe ich damit bewiesen?
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Hallo nochmal,
> Ich komme dann auf folgende Gleichungen:
>
> I. 0=0
> II. 4=3r
Aha!
>
> Ist das richtig? Ich kann dann ja die II. Gleichung nach r
> auflösen:
> [mm]\bruch{4}{3}=r[/mm]
Und [mm]0=0[/mm] ist eine wahre Aussage!
>
> Bin ich jetzt fertig?
Ja!
> Was habe ich damit bewiesen?
Das kannst du mal zusammenfassen:
1.Fall: [mm]a\neq 0[/mm]
Haben wir da ein [mm]r\neq 0[/mm] gefunden mit [mm]\vektor{a\\
4}=r\cdot{}\vektor{2a\\
3}[/mm] ?
Ja oder nein und was heißt das für die lineare Abhängigkeit der beiden Vektoren?
2.Fall: [mm]a=0[/mm]
Da hast du gerade mit [mm]r=\frac{4}{3}[/mm] ein passendes [mm]r[/mm] gefunden, mit dem gilt: [mm]\vektor{0\\
4}=r\cdot{}\vektor{0\\
3}[/mm]
Was heißt das für die lineare Abhängigkeit der beiden Vektoren [mm]\vektor{0\\
4}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
3}[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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In Fall I sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
In Fall II sind die beiden Vektoren linear abhängig.
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 21.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> In Fall I sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
> In Fall II sind die beiden Vektoren linear abhängig.
> Oder?
Stimmt
FRED
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| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.
[mm] \vektor{2 \\ 1\\ -1}, \vektor{1 \\ 1\\ 4}, \vektor{a \\ 3 \\ 2} [/mm] |
Ich bin gerade zu diesem Thema auf diese Aufgabe gestoßen. Muss ich hier wieder nach dem Schema: [mm] \vec{a}= r*\vec{b} [/mm] die 1. beiden Vektoren einsetzen, 3 Gleichungen aufstellen, nach r auflösen? Was mache ich aber dann mit dem dritten Vektor??
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Hallo,
> Bestimmen Sie diejenigen Zahlen a, für die die Vektoren
> linear abhängig sind.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1\\ -1}, \vektor{1 \\ 1\\ 4}, \vektor{a \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> Ich bin gerade zu diesem Thema auf diese Aufgabe gestoßen.
> Muss ich hier wieder nach dem Schema: [mm]\vec{a}= r*\vec{b}[/mm]
> die 1. beiden Vektoren einsetzen, 3 Gleichungen aufstellen,
> nach r auflösen? Was mache ich aber dann mit dem dritten
> Vektor??
>
Ich würde es anders machen: löse das homogene LGS
[mm] x*\vektor{2 \\ 1\\ -1}+y*\vektor{1 \\ 1\\ 4}+z*\vektor{a \\ 3 \\ 2}=\vec{0}
[/mm]
in Abhängigkeit von a und wähle a so, dass du unendlich viele Lösungen erhältst.
Gruß, Diophant
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Hey:)
Ich habe jetzt also diese Gleichung, die Diophant aufgeschrieben hat aufgestellt und daraus dann 3 Gleichungen gemacht:
I. 2x+y+az=0
II. x+y+3z=0
III. -x+4y+2z=0
Jetzt habe ich die I. Gleichung nach a aufgelöst: a= [mm] \bruch{-2x-y}{z}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weitermachen?
Vielen Dank:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Fr 22.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Kennst Du eine Methode, so ein Gleichungssystem zu lösen?
Da werden Zeilen mit einem Faktor multipliziert, addiert .....
Wenn nicht, dann musst Du Dich erst darum kümmern.
Dann lässt Du zum Beispiel das a erst einmal weg.
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Nein, ich kenne diese Methode leider noch nicht... Was meinst du damit, dass ich a weglassen kann? Wie würden dann die Gleichungen aussehen?
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Hallo nochmal,
du hast chrisno völlig falsch verstanden, und an dieser Stelle muss man mal wieder ausdrücklich sagen: so ein Forum ist kein Chatroom, wenn man sich gerade mal 17 Minuten Zeit nimmt, um eine Antwort zu verarbeiten, dann ist das einfach zu wenig, um mit der nächsten Frage im Prinzip nur auszusagen, man habe sie nicht verstanden. So kommt keine konstruktive Diskussion zustande, und das geht dann zu allererst zu deinen Lasten!
chrisno hat dir einfach nur vorgeschlagen, einmal zur Übung für a irgendeine Zahl einzusetzen, um dir wieder klarzumachen, wie man ein LGS löst. Das ist also keine neue Methode, sondern eher eine Fingerübung.
Und das Lösen von linearen Gleichungssystemen per Additionsverfahren ist heutzutage Stoff aus Stufe 8, das Gaußverfahren Stufe 10. Wenn man sich mit linearer Unabhängigkeit beschäftigt, dard also die Kenntnis dieser Verfahren vorausgesetzt werden.
Mache das also jetzt genau so: übe es mit einer festen Zahl a, und wenn es dir wieder klar ist, dann rechne mit a.
Gruß, Diophant
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Hallo,
ergänzend zu der Antwort von chrisno möchte ich, um meinen vorigen Tipp etwas zu verdeutlichen, darauf hinweisen, dass das entstehende LGS nach den Variablen x, y und z gelöst werden muss. Eine Gleichung der Form a='irgendetwas' ist daher von vornherein sinnlos.
Gruß, Diophant
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Achso, das heißt, dass ich z.B. die 1. Gleichung nach x auflöse:
x= [mm] \bruch{-y-az}{2} [/mm] und jetzt setze ich das z.B. in die II. Gleichung ein, die ich auch nach y aufgelöst habe:
y= [mm] -\bruch{-y-az}{2}-3z [/mm] und jetzt?
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Hallo,
meine letzte Antwort habe ich um 22:24 abgeschickt. Deine obige Rückfrage kommt ganze 11 Minuten später, und sie enthält nichts, was irgendeinen Sinn ergeben würde. Also nochmals: das hier ist ein Forum und kein Chatroom.
Löse das LGS entweder per Gauß'schem Eliminationsverfahren oder berechne die Determinante der Koeffizientenmatrix, wie an anderer Stelle vorgeschlagen wurde (Antwort von Marcel. In beiden Fällen muss dann a so gewählt werden, dass es zu unendlich vielen Lösungen des LGS kommt.
gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Fr 22.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß nicht, ob das hier schon vorgeschlagen worden ist, aber ich habe
auch gerade keine Lust, das alles zu durchstöbern:
> Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die
> Vektoren linear abhängig sind.
>
> a) [mm]\vektor{a \\ 2a}, \vektor{7 \\ a}[/mm]
Du kannst auch einfach mit der Determinante der Matrix
[mm] $$\pmat{a & 7 \\ 2a & a}$$
[/mm]
argumentieren - die beiden Vektoren oben sind genau dann linear abhängig,
wenn diese Determinante den Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat!
Tipp dazu: Die Gleichung
[mm] $$a^2-14a=0$$
[/mm]
kann man (auch ohne pq-Formel) schnell lösen vermittels
[mm] $$a^2-14a=a*(a-14)\,.$$
[/mm]
P.S. Das Gesagte hilft natürlich nur, wenn entsprechendes Wissen über
Determinanten (schon) benutzt werden darf!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Fr 22.03.2013 | | Autor: | leasarfati |
Vielen Dank für den Tipp, jedoch hatten wir das mit den Determinanten noch nicht:( Dennoch nochmals danke, für den Kommentar!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a, für die die
> Vektoren linear abhängig sind.
>
> a) [mm]\vektor{a \\ 2a}, \vektor{7 \\ a}[/mm]
ich habe mir den Thread mal durchgelesen und denke, dass es vielleicht gar
nicht schlecht wäre, wenn ich mal eine Zusammenfassung bzgl. der Aufgabe
geben würde. Bzw. ich werde einfach zwei Lösungswege für die Aufgabe
hinschreiben, und mal alle zugehörigen Überlegungen dazuschreiben.
1. Lösungsweg (entspricht dem vorgeschlagenen Vorgehen):
Die Vektoren [mm] $\vektor{a \\ 2a}, \vektor{7 \\ a}$ [/mm] sind genau dann linear abhängig,
wenn es ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$\vektor{a \\ 2a}=r*\vektor{7 \\ a}\,.$$
[/mm]
Es ist nun also die Frage zu beantworten, wann es ein solches $r [mm] \in \IR$ [/mm] gibt -
wobei die Antwort auf diese Frage in Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] steht.
Die obige Vektorgleichung kann man als Gleichungssystem schreiben
(I) [mm] $a=r*7\,,$
[/mm]
(II) [mm] $2a=r*a\,.$
[/mm]
Jetzt ist die Frage, wann das Gleichungssystem, welches aus den Gleichungen
(I) und (II) besteht, lösbar in der Variablen $r [mm] \in \IR$ [/mm] ist (genau dann existiert
ja ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] wie gefordert).
1. Fall:
Ist [mm] $a=0\,,$ [/mm] so ist die Gleichung (II) immer erfüllt, und aus (I) folgt
$$0=r*7 [mm] \iff r=0\,.$$
[/mm]
Im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] existiert also ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] wie gewünscht, nämlich [mm] $r=0\,,$
[/mm]
also sind die Vektoren in diesem Falle linear abhängig.
2. Fall:
Ist $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] so gilt wegen (II)
$$2a=ra [mm] \iff [/mm] 2=r [mm] \iff r=2\,.$$
[/mm]
Nun muss, damit [mm] $r=2\,$ [/mm] das GLS, welches aus (I) und (II) besteht, ja aber
auch noch (I) erfüllen, und für [mm] $r=2\,$ [/mm] folgt mit (I)
$$a=r*7 [mm] \iff [/mm] a=2*7 [mm] \iff a=14\,.$$
[/mm]
Für [mm] $a=14\,$ [/mm] sind also (I) und (II) mit [mm] $r=2\,$ [/mm] erfüllt, d.h. für [mm] $a=14\,$ [/mm] sind die
beiden Vektoren linear abhängig.
Die obigen Überlegungen zeigen eigentlich schon, dass nur für [mm] $a=0\,$ [/mm] und [mm] $a=14\,$ [/mm]
die Vektoren linear abhängig sind. Ich ergänze das dennoch mal ganz ausführlich:
Der Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] wurde eh schon komplett abgehandelt. Der Fall $a [mm] \not=0$ [/mm] wurde
(wegen der [mm] $\iff$-Zeichen) [/mm] eigentlich auch schon komplett abgehandelt,
nichtsdestotrotz schreibe ich mal in ergänzender Weise dazu, wieso dort
im Falle $a [mm] \not=14$ [/mm]
die Vektoren linear unabhngig sein müssen:
Sei also sowohl $a [mm] \not=0$ [/mm] als auch $a [mm] \not=14\,.$ [/mm] Aus (II) folgt dann, wie oben,
sofort [mm] $r=2\,.$
[/mm]
Aus (I) folgt aber
$$a=r*7 [mm] \iff r=\frac{a}{7}\,.$$
[/mm]
Somit wären (I) und (II) hier dann und nur dann erfüllt, wenn sowohl [mm] $r=2\,$
[/mm]
als auch [mm] $r=a/7\,$ [/mm] gelten. Für $a [mm] \not=14\,$ [/mm] ist aber $a/7 [mm] \not=2\,.$ [/mm] Gäbe es also
ein $r [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dass hier sowohl (I) als auch (II) erfüllt, so müßte es also
[mm] $\bullet$ [/mm] sowohl [mm] $r=2\,$ [/mm]
als auch
[mm] $\bullet$ [/mm] sowohl [mm] $r\not=2\,$ [/mm]
erfüllen. Dies führt zum Widerspruch $2 [mm] \not=2\,.$ [/mm] Also kann es ein solches $r [mm] \in \IR$
[/mm]
nicht geben, und damit erkennt man, dass für $a [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \not=14$ [/mm] die
Vektoren linear unabhängig sein müssen. [mm] $\hfill \blacksquare$ [/mm]
(Ende des 1. Lösungswegs!)
2. Lösungsweg (alternatives Vorgehen):
Per Definitionem sind die beiden obigen Vektoren genau dann linear abhängig,
wenn es $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] mit $r [mm] \not=0$ [/mm] oder $s [mm] \not=0$ [/mm] so gibt, dass die Gleichung
[mm] $$r*\vektor{a \\ 2a}+s*\vektor{7 \\ a}=\vektor{0\\0}$$
[/mm]
erfüllt ist.
Anders gesagt: Das Gleichungssystem
(i) [mm] $r*a+s*7=0\,,$
[/mm]
(ii) [mm] $r*(2a)+s*a=0\,$
[/mm]
soll, neben der Lösung [mm] $r=s=0\,,$ [/mm] auch noch andere Lösungen haben (dann und nur dann sind die Vektoren linear abhängig).
Dazu schauen wir uns an, welche Lösungen in [mm] $r,s\,$ [/mm] das GLS, bestehend aus
(i) und (ii), uns liefert (dabei werden diese in Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] stehen).
Wegen (i) gilt
$$r*a+s*7=0$$
[mm] $$\iff (\*)\;\;\;\;\;\;s=\frac{-\,ra}{7}\,$$
[/mm]
und nun machen wir eine Fallunterscheidung (die Notwendigkeit dieser ergibt
sich, wenn man (ii) nach [mm] $s\,$ [/mm] auflösen will):
1. Fall:
Ist [mm] $a=0\,,$ [/mm] so gilt wegen (ii)
$$r*(2a)+s*a=0 [mm] \iff [/mm] 0+0=0 [mm] \iff 0=0\,.$$
[/mm]
Diese Gleichung gilt für alle $r,s [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Aber [mm] $(\*)$ [/mm] reduziert sich in diesem
Falle (wir betrachten ja den Fall [mm] $a=0\,$) [/mm] zu
[mm] $$s=-r*0/7=0\,.$$
[/mm]
Das bedeutet aber: Das GLS bestehend aus (i) und (ii) ist für jedes $r [mm] \in \IR$
[/mm]
lösbar (beachte, dass wir den Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] hier haben!), wenn nur [mm] $s=0\,$
[/mm]
ist. Insbesondere können wir also bspw. [mm] $s=0\,$ [/mm] und [mm] $r=1\,$ [/mm] wählen. Also
sind in diesem Falle die beiden Vektoren linear abhängig!
2. Fall:
Ist $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] so gilt gemäß (ii)
$$r*(2a)+s*a=0 [mm] \iff s=\frac{\;-\;r*(2a)}{a} \iff s=\;-\;2\,r\,.$$
[/mm]
Gemäß [mm] $(\*)$ [/mm] gilt aber auch
[mm] $$s=\frac{\;-\;ra}{7}\,.$$
[/mm]
Das GLS, bestehend aus (i) und (ii), hat nun genau dann mehr als genau
eine Lösung in den Variablen $r,s [mm] \in \IR\,,$ [/mm] wenn die Gleichung
[mm] $$(\*\*)\;\;\;\;\;\;s=-2\,r=\frac{\;-\;ra}{7}$$
[/mm]
nicht nur für [mm] $r=s=0\,$ [/mm] erfüllt ist (und genau dann sind die beiden
Vektoren linear abhängig)!
Aus [mm] $r=0\,$ [/mm] folgte dann aber [mm] $s=0\,,$ [/mm] so dass wir nun neben $a [mm] \not=0$ [/mm] auch
$r [mm] \not=0$ [/mm] annehmen können. [mm] $(\*\*)$ [/mm] liefert aber für $r [mm] \not=0$ [/mm] sodann
[mm] $$-2\,r=\frac{\;-\;ra}{7}$$
[/mm]
[mm] $$\iff a=14\,.$$
[/mm]
Fazit: Sowohl für [mm] $a=0\,$ [/mm] als auch für [mm] $a=14\,$ [/mm] hat das GLS, bestehend aus
(i) und (ii), mehr Lösungen als nur [mm] $r=s=0\,:$
[/mm]
Im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] ist es etwa für [mm] $r=1\,$ [/mm] und [mm] $s=0\,$ [/mm] auch lösbar.
Im Falle $a=14$ ist es etwa für [mm] $r=1\,$ [/mm] und [mm] $s=\;-\;2$ [/mm] auch lösbar.
In diesen Fällen sind die beiden Vektoren also linear unabhängig.
Zudem gilt: Für $a [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \not=14$ [/mm] ist das GLS einzig und allein für
[mm] $r=s=0\,$ [/mm] lösbar. Im Falle $a [mm] \in \IR \setminus \{0,\;14\}$ [/mm] sind die beiden angegebenen
Vektoren also linear unabhängig.
Gruß,
Marcel
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