Reelle Zufallszahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:44 Mo 20.06.2011 | | Autor: | mmoench |
Guten Tag,
ich habe folgendes Problem (diese Frage habe ich in noch keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt):
Wenn ich zwei reelle Zufallszahlen A und B aus dem Intervall [0,1] würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A > B ist 50%. Bei drei Zufallszahlen entsprechend nur 33%.
Wenn nun A aus dem Intervall [0,2] ist und B aus [0,1], dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A > B ist 75%.
Meine Frage ist nun wie ich bestimmen kann, aus welchem Intervall die Zufallszahlen einer Variable kommen müssen, damit diese Variable mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit die Größte ist.
Ich möchte zum Beispiel, dass A in 80% aller Fälle die größte Zahl ist, B 15% und C 5%.
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> Guten Tag,
> ich habe folgendes Problem (diese Frage habe ich in noch
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt):
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> Wenn ich zwei reelle Zufallszahlen A und B aus dem
> Intervall [0,1] würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass A > B ist 50%. Bei drei Zufallszahlen entsprechend nur
> 33%.
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> Wenn nun A aus dem Intervall [0,2] ist und B aus [0,1],
> dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A > B ist
> 75%.
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> Meine Frage ist nun wie ich bestimmen kann, aus welchem
> Intervall die Zufallszahlen einer Variable kommen müssen,
> damit diese Variable mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit
> die Größte ist.
> Ich möchte zum Beispiel, dass A in 80% aller Fälle die
> größte Zahl ist, B 15% und C 5%.
Hallo mmoench,
interessante Fragestellung ! Die Annahme wäre also,
dass [mm] A\in[ [/mm] 0 ... a ] , [mm] B\in[ [/mm] 0 ... b ] , [mm] C\in[ [/mm] 0 ... c ]
jeweils gleichverteilt sind. Da wir annehmen können,
dass die 3 Werte A,B,C verschieden sind (ein Zusam-
mentreffen findet nur mit Wahrscheinlichkeit Null
statt), gibt es insgesamt 6 mögliche Reihenfolgen:
A>B>C , A>C>B , .... , C>B>A.
Falls es gelingt, die Wahrscheinlichkeit P(A>B>C)
unabhängig von der Anordnung der Zahlenwerte
a,b,c darzustellen, hat man eigentlich nur diese
eine Rechnung wirklich zu machen, da dann die
anderen Resultate durch Permutation zu gewinnen
sind.
Anschließend käme man dann zu einem Gleichungs-
system für a, b und c.
LG Al-Chw.
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> Guten Tag,
> ich habe folgendes Problem (diese Frage habe ich in noch
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt):
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> Wenn ich zwei reelle Zufallszahlen A und B aus dem
> Intervall [0,1] würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass A > B ist 50%. Bei drei Zufallszahlen entsprechend nur
> 33%.
>
> Wenn nun A aus dem Intervall [0,2] ist und B aus [0,1],
> dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A > B ist
> 75%.
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> Meine Frage ist nun wie ich bestimmen kann, aus welchem
> Intervall die Zufallszahlen einer Variable kommen müssen,
> damit diese Variable mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit
> die Größte ist.
> Ich möchte zum Beispiel, dass A in 80% aller Fälle die
> größte Zahl ist, B 15% und C 5%.
Nach etwas Überlegung denke ich, dass es nicht,
oder jedenfalls nicht leicht möglich ist, P(A>B>C)
unabhängig von der Anordnung von a,b,c auszu-
drücken.
Bei den angegebenen Daten dürfen wir aber ruhig
davon ausgehen, dass a>b>c sein muss. Nun kann
man den Wahrscheinlichkeitsraum durch einen Quader
mit den Kantenlängen a,b,c in einem 3D-Koordina-
tensystem darstellen, der eine homogene Dichte-
verteilung trägt.
Der Quader wird durch die Ebenen mit den Gleichungen
A=B, A=C und B=C in Teilkörper zerlegt. Die Aufgabe,
die gesuchten Wahrscheinlichkeiten P(A>B>C), P(B>A>C)
etc. zu berechnen, läuft damit auf Volumenberechnungen
(von Prismen und Pyramiden etc.) hinaus.
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun die geometrische Berechnung durchgeführt.
Mit den angegebenen Daten komme ich auf das Ergebnis,
dass
[mm] a:b:c=20:7:\sqrt{21}
[/mm]
gelten muss, damit die Wahrscheinlichkeiten, dass A,B oder
C am größten ist, die Werte 0.8, 0.15 und 0.05 erhalten.
Eine wirklich interessante Aufgabe, die ich allen Interessierten
empfehlen kann !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 21.06.2011 | | Autor: | mmoench |
Ich danke Ihnen für die schnelle Lösung der Aufgabe. Könnten Sie mir eventuell noch das Gleichungssystem zur Verfügung stellen, mit dem Sie die Berechnung ausgeführt haben?
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> Ich danke Ihnen für die schnelle Lösung der Aufgabe.
> Könnten Sie mir eventuell noch das Gleichungssystem zur
> Verfügung stellen, mit dem Sie die Berechnung ausgeführt
> haben?
Hallo mmoench,
wir sind hier alle per Du.
Mit a>b>c>0 bin ich (durch Betrachtung der Teilstücke
des Quaders) zu den folgenden Wahrscheinlichkeiten
gekommen:
P(A am größten) = $\ [mm] 1-\frac{b}{2\,a}-\frac{c^2}{6\,a\,b}$
[/mm]
P(B am größten) = $\ [mm] \frac{b}{2\,a}-\frac{c^2}{6\,a\,b}$
[/mm]
P(C am größten) = $\ [mm] \frac{c^2}{3\,a\,b}$
[/mm]
Ich kann dir auch Lösungsformeln verraten. Wenn
P(A am größten) = u
P(B am größten) = v
P(C am größten) = w
mit 1>u>v>w>0 und u+v+w=1 , dann ist eine Lösung:
$\ a\ =\ 1$
$\ b\ =\ 1-u+v$
$\ c\ =\ [mm] \sqrt{3*\left(u^2-2\,u-v^2+1\right)}$
[/mm]
Eine Lösung (a,b,c) darf man natürlich mit einem
beliebigen positiven Faktor erweitern, z.B. um
einfachere Ausdrücke zu bekommen.
LG Al-Chw.
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