Reelles Integral, Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:11 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Kirill |
| Aufgabe | Man berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx} [/mm] |
Ich habe es mir so gedacht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx}
[/mm]
Durch die Integration über einen Halbkreis in der oberen Halbebene mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius R>1 gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dx}=lim_{R \to \infty}\integral_{-R}^{R}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1}dx}+\integral_{\gamma}^{}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dz}=2\pi i\summe_{a\in H}^{}Res_{a}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1})
[/mm]
wobei [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dz} [/mm] für R [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 geht.
Singularitäten von [mm] \bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} [/mm] die in dem oberen Halbkreis liegen sind:
[mm] x^4+5x^2+1=0 \Rightarrow y^2+5y+1=0 \Rightarrow y=\bruch{-5\pm\wurzel{21}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=i\wurzel{\bruch{5\pm\wurzel{21}}{2}}
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht so richtig weiter ... ich müsste doch einfach [mm] 2\pi i(Res_{i\wurzel{\bruch{5+\wurzel{21}}{2}}}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1})+Res_{i\wurzel{\bruch{5-\wurzel{21}}{2}}}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}) [/mm] ausrechnen, oder sehe ich das falsch???
Leider komme ich nach mehrmaligem Probieren nicht auf das gewünschte Resultat, nämlich [mm] \bruch{3\pi}{\wurzel{7}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo, Abend...
> Man berechne das Integral:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx}[/mm]
> Ich
> habe es mir so gedacht:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1} dx}[/mm]
Ja, weil die Funktion gerade ist.
>
> Durch die Integration über einen Halbkreis in der oberen
> Halbebene mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius R>1 gilt:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dx}=lim_{R \to \infty}\integral_{-R}^{R}{\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1}dx}+\integral_{\gamma}^{}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dz}=2\pi i\summe_{a\in H}^{}Res_{a}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1})[/mm]
>
> wobei [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1}dz}[/mm]
> für R [mm]\to \infty[/mm] gegen 0 geht.
>
> Singularitäten von [mm]\bruch{2x^2+1}{x^4+5x^2+1}[/mm] die in dem
> oberen Halbkreis liegen sind:
> [mm]x^4+5x^2+1=0 \Rightarrow y^2+5y+1=0 \Rightarrow y=\bruch{-5\pm\wurzel{21}}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x=i\wurzel{\bruch{5\pm\wurzel{21}}{2}}[/mm]
>
> Und jetzt komme ich nicht so richtig weiter ... ich müsste
> doch einfach [mm]2\pi i(Res_{i\wurzel{\bruch{5+\wurzel{21}}{2}}}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1})+Res_{i\wurzel{\bruch{5-\wurzel{21}}{2}}}(\bruch{2z^2+1}{z^4+5z^2+1})[/mm]
> ausrechnen, oder sehe ich das falsch???
Du machst das etwas kompliziert mit dem Halbkreis. Es gibt doch den Satz, dass
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*\summe_{a \in H}^{} Res_{a} [/mm] (f)
Wobei für die Stellen a gilt Im(a) > 0. Man berechnet alle Residuen in der Oberen Halbebene, ja.
Indem man das als Halbkreis auffasst und R gegen [mm] \infty [/mm] gehen lässt kann man beweisen, dass das obige gilt...musste ja eigentlich nicht hinschreiben.
Was für Bedinungen für f(x) gelten müssen, damit man das praktischer Weise mit dem Residuensatz lösen kann, weiss ich jetzt nicht gerade, aber ich glaube zumindest, dass der Nenner keine Realen Nullstellen haben sollte. Ist ja hier in deinem Fall nicht so.
Also:
Nullstellen des Nenners (mit dem Taschenrechner, höhö):
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{7} - \wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{7} - \wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{7} + \wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{7} + \wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
--->
[mm] 2*\pi*i*(Res(f,x_{1}) [/mm] + [mm] Res(f,x_{3}))
[/mm]
Das sollte ja nicht so schwer sein, sind ja Pole 1. Ordnung.
PS: gehe auf www.wolframalpha.com
und gib "residues f(x)" ein, dabei ist f(x) deine Funktion; ).
Gruss
> Leider komme ich nach mehrmaligem Probieren nicht auf das
> gewünschte Resultat, nämlich [mm]\bruch{3\pi}{\wurzel{7}}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Kirill |
Danke für die Schnelle Antwort!
Anscheinend lag mein Problem lediglich darin, dass ich nicht wusste wie ich $ [mm] i\wurzel{\bruch{5\pm\wurzel{21}}{2}}$ [/mm] vereinfachen kann. Aber nach deiner Hilfe sehe ich jetz wie man daraus $ [mm] \bruch{\wurzel{7} \pm \wurzel{3}}{2}\cdot{}i [/mm] $ macht.
Mathematica ist wie immer eine große Hilfe ;)
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