Reelquadratische Zahlkörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | K = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{3})
[/mm]
Compute [mm] \mathcal{O}^{\times}_{K} [/mm] |
Hallo Zusammen!
Mit den Imaginärquadratischen Zahlkörpern erhält man ja ein umfassendes Resultat, wenn man [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{d}) [/mm] für d = [mm] \{-1,-3\} [/mm] anschaut, da die Einheitengruppe des Ganzheitsrings ausser in diesen zwei Fällen einfach [mm] \{\pm 1\} [/mm] ist, also nicht besonders interessant.
Ich wollte nun die Reelquadratischen Zahlkörpern genauer anschauen und habe mich also auf die Suche gemacht nach Informationen/Methoden, da wir das in der Vorlesung nicht angeschaut haben, und bin auf 2 Methoden gestossen, die beide auf die Kettenbruchapproximation basieren:
[mm] \textbf{Methode 1:} [/mm] Mit Pell's Gleichung.
Für [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{d}) [/mm] setzt man [mm] \varepsilon [/mm] = x + [mm] \sqrt{d}y [/mm] und erhält [mm] N(\varepsilon) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] dy^{2} \overset{!}{=} [/mm] 1
Hier geht man also über die Norm der Elemente und pickt die raus, die Norm 1 haben.
Die Kettenbruchapproximation kommt also jetzt ins spiel. Bezeichnet [mm] \frac{p}{q} [/mm] die n'te Kettenbruch-Konvergente, so sucht man nun die keinste Approximation, die [mm] $p^{p} [/mm] - [mm] dq^{2} [/mm] = 1 erfüllt, und man bekommt das Paar (p,q).
Danach kann man durch die periodizität der Kettenbruchentwicklung eine Periode dazunehmen und erhält das nächste Element, und schliesslich eine unendliche Kette.
[mm] \textbf{Methode 2:} [/mm]
Ich bezeichne erstmals das Gitter [mm] $\mathbb{Z} [/mm] + [mm] \xi\mathbb{Z} [/mm] := [mm] \Gamma, [/mm] wobei K = [mm] \IQ+\xi\IQ.
[/mm]
Dann berechne ich zunächst einmal eine reduzierte Basis [mm] \alpha_{1},\alpha_{2} [/mm] von [mm] \Gamma \quad (\xi [/mm] = [mm] \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}) [/mm] und somit hat [mm] \xi [/mm] einen reinperiodischen Kettenbruch mit minimallänge k.
Mit M = [mm] \begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix} [/mm] wird die k'te Kettenbruchapproximation bezeichnet. Dann ist [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] q\xi [/mm] + s > 1 eine Einheit und die Einheitengruppe des Ganzheitsrings ist gegeben durch
[mm] \mathcal{O}^{\times}_{K} [/mm] = [mm] \{\pm 1\}\varepsilon^{\mathbb{Z}}
[/mm]
Gut, soviel zu den Methoden.. jetzt kommen meine Fragen :)
1) Beide Methoden basieren auf die Kettenbruchapproximation, und beide erhalten das erste Element durch die kleinste Periode des Kettenbruchs.. doch ist das die einzige Gemeinsamkeit? Ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen der reduzierten Basis und der Norm der Elemente..
2) Kann ich mit Pell's Gleichung auch eine Darstellung der Form [mm] \mathcal{O}^{\times}_{K} [/mm] = [mm] \{\pm 1\}\varepsilon^{\mathbb{Z}}
[/mm]
erhalten?
Ich habe jetzt mit Pell's Gleichung für [mm] \IQ(\sqrt{3}) [/mm] das Element [mm] \frac{7}{4} [/mm] als erste Kettenbruchapproximation von Norm 1 erhalten.. doch wie kann ich jetzt explizit die weiteren Lösungen angeben?
Mit der zweiten Methode komme ich auf [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \sqrt{3} [/mm] + 3 und somit [mm] \mathcal{O}^{\times}_{K} [/mm] = [mm] \{\pm 1\}(\sqrt{3} [/mm] + [mm] 3)^{\mathbb{Z}}
[/mm]
Was stimmt jetzt?
Danke für eure Hilfe.. ich weiss es ist ein längerer Beitrag, ich hoffe es schreckt trotzdem nicht ab! :)
Liebe Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 So 02.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> K = [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{3})[/mm]
> Compute [mm]\mathcal{O}^{\times}_{K}[/mm]
>
> Mit den Imaginärquadratischen Zahlkörpern erhält man ja
> ein umfassendes Resultat, wenn man [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/mm]
> für d = [mm]\{-1,-3\}[/mm] anschaut, da die Einheitengruppe des
> Ganzheitsrings ausser in diesen zwei Fällen einfach [mm]\{\pm 1\}[/mm]
> ist, also nicht besonders interessant.
Ja. Bei allen anderen Zahlkoerpern (ausser [mm] $\IQ$) [/mm] gibt's jedoch laut Dirichlet mehr.
> Ich wollte nun die Reelquadratischen Zahlkörpern genauer
> anschauen und habe mich also auf die Suche gemacht nach
> Informationen/Methoden, da wir das in der Vorlesung nicht
> angeschaut haben, und bin auf 2 Methoden gestossen, die
> beide auf die Kettenbruchapproximation basieren:
>
> [mm]\textbf{Methode 1:}[/mm] Mit Pell's Gleichung.
>
> Für [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/mm] setzt man [mm]\varepsilon[/mm] = x +
> [mm]\sqrt{d}y[/mm] und erhält [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] - [mm]dy^{2} \overset{!}{=}[/mm]
> 1
Vorsicht: in allg. Zahlkoerpern kann die Norm auch durchaus negativ werden! Sprich, du musst auch nach Einheiten mit Norm -1 schauen.
(In [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] kann das aber nicht sein: schau dir [mm] $x^2 [/mm] - 3 [mm] y^2 [/mm] = -1$ modulo 4 an.)
> Hier geht man also über die Norm der Elemente und pickt
> die raus, die Norm 1 haben.
Exakt. Alle ganzen Elemente mit Norm [mm] $\pm [/mm] 1$ sind die Einheiten.
> Die Kettenbruchapproximation kommt also jetzt ins spiel.
> Bezeichnet [mm]\frac{p}{q}[/mm] die n'te Kettenbruch-Konvergente,
Von welchem Kettenbruch?
> so sucht man nun die keinste Approximation, die [mm]$p^{p}[/mm] -
> [mm]dq^{2}[/mm] = 1 erfüllt, und man bekommt das Paar (p,q).
> Danach kann man durch die periodizität der
> Kettenbruchentwicklung eine Periode dazunehmen und erhält
> das nächste Element, und schliesslich eine unendliche
> Kette.
Das ist die Lagrange'sche Kettenbruchmethode.
Du musst uebrigens beachten, dass diese Methode die Einheiten der Ordnung [mm] $\IZ[\sqrt{3}]$ [/mm] bestimmt mit positiver Norm; einmal kann es auch Einheiten mit negativer Norm geben, und weiterhin kann [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] groesser als [mm] $\IQ[\sqrt{3}]$ [/mm] sein. (Zumindest wenn man 3 ganz allgemein durch $d$ ersetzt  )
Bei [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] kannst du uebrigens auch direkt [mm] $x^2 [/mm] - 3 [mm] y^2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ anschauen. Wenn $x$ (oder $y$) gross ist, so muss auch $y$ (oder $x$) gross sein. Also probier mal $x = 0, 1, 2, 3, 4, ...$ aus und guck, wieviele "kleine" Loesungen du findest. Damit kannst du ebenfalls eine Fundamentalloesung finden, und zwar viel schneller.
> [mm]\textbf{Methode 2:}[/mm]
>
> Ich bezeichne erstmals das Gitter [mm]$\mathbb{Z}[/mm] +
> [mm]\xi\mathbb{Z}[/mm] := [mm]\Gamma,[/mm] wobei K = [mm]\IQ+\xi\IQ.[/mm]
> Dann berechne ich zunächst einmal eine reduzierte Basis
> [mm]\alpha_{1},\alpha_{2}[/mm] von [mm]\Gamma \quad (\xi[/mm] =
> [mm]\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}})[/mm] und somit hat [mm]\xi[/mm] einen
> reinperiodischen Kettenbruch mit minimallänge k.
> Mit M = [mm]\begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix}[/mm] wird
> die k'te Kettenbruchapproximation bezeichnet. Dann ist
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]q\xi[/mm] + s > 1 eine Einheit und die
> Einheitengruppe des Ganzheitsrings ist gegeben durch
> [mm]\mathcal{O}^{\times}_{K}[/mm] = [mm]\{\pm 1\}\varepsilon^{\mathbb{Z}}[/mm]
Das ist ebenfalls die Lagrange'sche Kettenbruchmethode
> Gut, soviel zu den Methoden.. jetzt kommen meine Fragen :)
>
> 1) Beide Methoden basieren auf die
> Kettenbruchapproximation, und beide erhalten das erste
> Element durch die kleinste Periode des Kettenbruchs..
Ja.
> doch ist das die einzige Gemeinsamkeit? Ich sehe den
> Zusammenhang nicht zwischen der reduzierten Basis und der
> Norm der Elemente..
Naja, schau dir doch mal an wovon du bei der 1. Methode den Kettenbruch entwickelst. (Das hast du leider nicht dazugeschrieben.) Laut ![[]](/images/popup.gif) dem Wiki-Artikel entwickelt man [mm] $\sqrt{d}$. [/mm] Der Ausdruck [mm] $\frac{\alpha_1}{\alpha_2}$ [/mm] kann ja auch [mm] $\frac{\sqrt{3}}{1}$ [/mm] sein, wenn du die Ordnung [mm] $\IZ[\sqrt{3}]$ [/mm] anschaust. (Oder halt etwas anderes, wenn du die Maximalordnung anschaust.)
> 2) Kann ich mit Pell's Gleichung auch eine Darstellung der
> Form [mm]\mathcal{O}^{\times}_{K}[/mm] = [mm]\{\pm 1\}\varepsilon^{\mathbb{Z}}[/mm]
>
> erhalten?
Du erhaelst eine Darstellung [mm] $\IZ[\sqrt{3}]^\times [/mm] = [mm] \pm \varepslion^{\IZ}$. [/mm] Die Fundamentalloesung von [mm] $x^2 [/mm] - 3 [mm] y^2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ gibt dir das Element [mm] $\varepsilon [/mm] = x + y [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
> Ich habe jetzt mit Pell's Gleichung für [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm] das
> Element [mm]\frac{7}{4}[/mm] als erste Kettenbruchapproximation von
> Norm 1 erhalten.. doch wie kann ich jetzt explizit die
> weiteren Lösungen angeben?
[mm] $\frac{7}{4}$ [/mm] hat Norm [mm] $(\frac{7}{4})^2$ [/mm] und ist somit ganz bestimmt keine Einheit. Du meinst die Loesung $x = 7, y = 4$, die dem Element $7 + 4 [mm] \sqrt{3}$ [/mm] entspricht.
Das ist allerdings keine Fundamentalloesung, da $7 + 4 [mm] \sqrt{3} [/mm] = (2 + [mm] \sqrt{3})^2$.
[/mm]
> Mit der zweiten Methode komme ich auf [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]\sqrt{3}[/mm] + 3
Das Element hat Norm 6 und ist somit ganz bestimmt keine Einheit.
> und somit [mm]\mathcal{O}^{\times}_{K}[/mm] = [mm]\{\pm 1\}(\sqrt{3}[/mm]
> + [mm]3)^{\mathbb{Z}}[/mm]
>
> Was stimmt jetzt?
Beides nicht
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 So 02.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> Moin Amaro!
> > Für [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/mm] setzt man [mm]\varepsilon[/mm] = x +
> > [mm]\sqrt{d}y[/mm] und erhält [mm]N(\varepsilon)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] - [mm]dy^{2} \overset{!}{=}[/mm]
> > 1
>
> Vorsicht: in allg. Zahlkoerpern kann die Norm auch durchaus
> negativ werden! Sprich, du musst auch nach Einheiten mit
> Norm -1 schauen.
>
> (In [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm] kann das aber nicht sein: schau dir [mm]x^2 - 3 y^2 = -1[/mm]
> modulo 4 an.)
Hab jetzt diese Bedingung nachgelesen, in dem Fall vereinfacht dies hier einiges :)
> > Die Kettenbruchapproximation kommt also jetzt ins spiel.
> > Bezeichnet [mm]\frac{p}{q}[/mm] die n'te Kettenbruch-Konvergente,
>
> Von welchem Kettenbruch?
Na, entschuldige.. von bei [mm] \IQ(\sqrt{d}) [/mm] von [mm] \sqrt{d}.. [/mm]
> Bei [mm]\sqrt{3}[/mm] kannst du uebrigens auch direkt [mm]x^2 - 3 y^2 = \pm 1[/mm]
> anschauen. Wenn [mm]x[/mm] (oder [mm]y[/mm]) gross ist, so muss auch [mm]y[/mm] (oder
> [mm]x[/mm]) gross sein. Also probier mal [mm]x = 0, 1, 2, 3, 4, ...[/mm] aus
> und guck, wieviele "kleine" Loesungen du findest. Damit
> kannst du ebenfalls eine Fundamentalloesung finden, und
> zwar viel schneller.
Jo gut, das war jetzt nur ein Beispiel von mir, um die Methoden anzuwenden.. aber klar, man siehts dann sofort :)
>
> > Ich habe jetzt mit Pell's Gleichung für [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm] das
> > Element [mm]\frac{7}{4}[/mm] als erste Kettenbruchapproximation von
> > Norm 1 erhalten.. doch wie kann ich jetzt explizit die
> > weiteren Lösungen angeben?
>
> [mm]\frac{7}{4}[/mm] hat Norm [mm](\frac{7}{4})^2[/mm] und ist somit ganz
> bestimmt keine Einheit. Du meinst die Loesung [mm]x = 7, y = 4[/mm],
> die dem Element [mm]7 + 4 \sqrt{3}[/mm] entspricht.
Das ist natürlich alles Unsinn, was ich hier geschrieben habe.. wie komme ich bloss auf [mm] \frac{7}{4} [/mm] ^^
>
> Das ist allerdings keine Fundamentalloesung, da [mm]7 + 4 \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2[/mm].
Hier drauf bin ich dann auch gekommen.. die erste Kettenbruchapproximation von [mm] \sqrt{3} [/mm] ist [mm] 1+\frac{1}{1} [/mm] = [mm] \frac{2}{1} [/mm] und somit ergibt sich [mm] 2^{2} [/mm] - 3 = 1, die Bedingung ist erfüllt und ich bekomme die Grundeinheit [mm] \varepsilon [/mm] = 2 + [mm] \sqrt{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \{\pm 1\}(2+\sqrt{3})^{\mathbb{Z}}
[/mm]
>
> > Mit der zweiten Methode komme ich auf [mm]\varepsilon[/mm] =
> > [mm]\sqrt{3}[/mm] + 3
>
> Das Element hat Norm 6 und ist somit ganz bestimmt keine
> Einheit.
Hmm, du hast natürlich recht.. ich finde meinen Fehler so schnell schnell zwar nicht, aber bestimmt habe ich mich verrechnet..
> > Was stimmt jetzt?
>
> Beides nicht
Schade.. aber danke für deine ausführliche Antwort! Immerhin hat es jetzt mit Hilfe geklappt :)
>
> LG Felix
>
Liebe Grüsse, Amaro
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:08 So 02.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | K = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{293}) [/mm] |
Hallo
Ich möchte nun ein Beispiel versuchen, bei dem d [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4) ist.
Also, mit d = 293 kriege ich für den Ganzheitsring [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \IZ\left[\frac{1+\sqrt{293}}{2}\right]
[/mm]
In diesem Fall muss ich also nicht nur die positive Pellsche Gleichung, sondern auch die negative.. So weit kommts aber nicht mal..
Intuitiv würde ich jetzt eigentlich die Kettenbruchentwicklung von [mm] \frac{1+\sqrt{293}}{2} [/mm] betrachten, doch ich habe in den Artikeln über dieses Thema keine einschränkung gefunden, darum versuche ich es mal mit [mm] \xi [/mm] = [mm] \sqrt{293} [/mm] = [mm] \left[17;\overline{8,1,1,8,34}\right]
[/mm]
Dann erhalte ich erst bei der ersten Periode etwas interessantes.. nämlich die 6te Konvergente ist [mm] \frac{84679}{4947} [/mm] und es folgt [mm] 84679^{2} [/mm] - [mm] 293\cdot4947^{2} [/mm] = -1
Das wäre auch schon die Lösung, die ich finde.. weiter kommt nix..
Ich habe das Gefühl, dass es trotzdem falsch ist, aus dem oben genannten Grund.. aber wenn ich mit [mm] \xi [/mm] = [mm] \frac{1+\sqrt{293}}{2} [/mm] ansetze, komme ich zu gar keinem Ergebnis.
Ich hoffe, ihr erkennt meinen Fehler :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Mo 03.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> K = [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{293})[/mm]
>
> Ich möchte nun ein Beispiel versuchen, bei dem d [mm]\equiv[/mm] 1
> (mod 4) ist.
>
> Also, mit d = 293 kriege ich für den Ganzheitsring
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] = [mm]\IZ\left[\frac{1+\sqrt{293}}{2}\right][/mm]
Laut Magma wird die Einheitengruppe von -1 und [mm] $\frac{17 + \sqrt{293}}{2}$ [/mm] erzeugt.
> In diesem Fall muss ich also nicht nur die positive
> Pellsche Gleichung, sondern auch die negative.. So weit
> kommts aber nicht mal..
>
> Intuitiv würde ich jetzt eigentlich die
> Kettenbruchentwicklung von [mm]\frac{1+\sqrt{293}}{2}[/mm]
> betrachten, doch ich habe in den Artikeln über dieses
> Thema keine einschränkung gefunden, darum versuche ich es
> mal mit [mm]\xi[/mm] = [mm]\sqrt{293}[/mm] =
> [mm]\left[17;\overline{8,1,1,8,34}\right][/mm]
Das stimmt schonmal.
> Dann erhalte ich erst bei der ersten Periode etwas
> interessantes.. nämlich die 6te Konvergente ist
> [mm]\frac{84679}{4947}[/mm] und es folgt [mm]84679^{2}[/mm] -
> [mm]293\cdot4947^{2}[/mm] = -1
Naja, das ergibt nicht -1, sondern +4. Insbesondere ist dies keine Einheit.
Allerdings: wenn du [mm] $\frac{84679 + 4947 \sqrt{293}}{2}$ [/mm] anschaust: dies hat Norm 1 und ist sehr wohl eine Einheit -- allerdings in [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] und nicht in [mm] $\IZ[\sqrt{293}]$.
[/mm]
(Es ist uebrigens [mm] $\frac{84679 + 4947 \sqrt{293}}{2} [/mm] = [mm] \left( \frac{17 + \sqrt{293}}{2} \right)^4$.)
[/mm]
> Das wäre auch schon die Lösung, die ich finde.. weiter
> kommt nix..
Laut Magma wird die Einheitengruppe der Ordnung [mm] $\IZ[\sqrt{293}]$ [/mm] von $2482 + 145 [mm] \sqrt{293}$ [/mm] erzeugt.
(Es ist uebrigens $2482 + 145 [mm] \sqrt{293} [/mm] = [mm] \left( \frac{17 + \sqrt{293}}{2} \right)^3$.)
[/mm]
Wenn du die Konvergenten von [mm] $\sqrt{293}$ [/mm] ausrechnest, so bekommst du [mm] $\frac{17}{1}, \frac{137}{8}, \frac{154}{9}, \frac{291}{17}, \frac{2482}{145}, \dots, \frac{12320649}{719780}$. [/mm] Nachrechnen gibt [mm] $2482^2 [/mm] - [mm] 145^2 \cdot [/mm] 293 = -1$ und [mm] $12320649^2 [/mm] - [mm] 719780^2 \cdot [/mm] 293 = 1$. Damit ist die Fundamentalloesung der Pellschen Gleichung [mm] $x^2 [/mm] - 293 [mm] y^2 [/mm] = 1$ gegeben durch $(12320649, 719780)$, und die der Pellschen Gleichung [mm] $x^2 [/mm] - 293 [mm] y^2 [/mm] = -1$ gegeben durch $(2482, 145)$.
Aber wie schon gesagt, das ganze ergibt eine Fundamentaleinheit fuer [mm] $\IZ[\sqrt{293}]$.
[/mm]
Um eine fuer [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] zu bekommen, halte nach $(x, y)$ mit [mm] $x^2 [/mm] - 293 [mm] y^2 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 4$ ausschau.
Du hast ja auch die Konvergente [mm] $\frac{291}{17}$ [/mm] erhalten, und fuer diese gilt [mm] $291^2 [/mm] - [mm] 17^2 \cdot [/mm] 293 = +4$, also [mm] $(291/2)^2 [/mm] - [mm] (17/2)^2 \cdot [/mm] 293 = +1$. Ist [mm] $\frac{291}{2} [/mm] + [mm] \frac{17 \sqrt{293}}{2} \in \mathcal{O}_K$, [/mm] so ist dies eine Fundamentaleinheit.
> Ich habe das Gefühl, dass es trotzdem falsch ist, aus dem
> oben genannten Grund.. aber wenn ich mit [mm]\xi[/mm] =
> [mm]\frac{1+\sqrt{293}}{2}[/mm] ansetze, komme ich zu gar keinem
> Ergebnis.
Inwiefern kommst du zu keinen Ergebnis? (Es kommt uebrigens [9, [mm] \overline{17}]$ [/mm] heraus.)
Die Konvergenten sehen allerdings fuerchterlich aus und werden immer groesser, ohne dass man eine Einheit bekommt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
eventuell interessiert dich auch folgende Literatur:
* M. J. Jacobson, H. C. Williams: Solving the Pell equation.
* J. Buchmann, U. Vollmer: Binary quadratic forms: an algorithmic approach.
(Das zweite gibt's in der Uni-Mathe-Bibliothek (QA243.B9 2007), das erste in der ETH-Bibliothek.)
Im ersten Buch wird das (was dich interessiert) "etwas" ausfuehrlicher behandelt, im zweiten duerfte aber auch einiges drinnenstehen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix
> Hallo Amaro,
>
> eventuell interessiert dich auch folgende Literatur:
>
> * M. J. Jacobson, H. C. Williams: Solving the Pell
> equation.
> * J. Buchmann, U. Vollmer: Binary quadratic forms: an
> algorithmic approach.
>
> (Das zweite gibt's in der Uni-Mathe-Bibliothek (QA243.B9
> 2007), das erste in der ETH-Bibliothek.)
>
> Im ersten Buch wird das (was dich interessiert) "etwas"
> ausfuehrlicher behandelt, im zweiten duerfte aber auch
> einiges drinnenstehen.
Oh, danke für den Tipp! Ergänzungsliteratur ist immer wilkommen :)
Ich werd mal drin schauen!
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix
> Hallo Amaro!
>
> > K = [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{293})[/mm]
> >
> > Ich möchte nun ein Beispiel versuchen, bei dem d [mm]\equiv[/mm] 1
> > (mod 4) ist.
> >
> > Also, mit d = 293 kriege ich für den Ganzheitsring
> > [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] = [mm]\IZ\left[\frac{1+\sqrt{293}}{2}\right][/mm]
>
> Laut Magma wird die Einheitengruppe von -1 und [mm]\frac{17 + \sqrt{293}}{2}[/mm]
> erzeugt.
>
> > In diesem Fall muss ich also nicht nur die positive
> > Pellsche Gleichung, sondern auch die negative.. So weit
> > kommts aber nicht mal..
> >
> > Intuitiv würde ich jetzt eigentlich die
> > Kettenbruchentwicklung von [mm]\frac{1+\sqrt{293}}{2}[/mm]
> > betrachten, doch ich habe in den Artikeln über dieses
> > Thema keine einschränkung gefunden, darum versuche ich es
> > mal mit [mm]\xi[/mm] = [mm]\sqrt{293}[/mm] =
> > [mm]\left[17;\overline{8,1,1,8,34}\right][/mm]
>
> Das stimmt schonmal.
>
> > Dann erhalte ich erst bei der ersten Periode etwas
> > interessantes.. nämlich die 6te Konvergente ist
> > [mm]\frac{84679}{4947}[/mm] und es folgt [mm]84679^{2}[/mm] -
> > [mm]293\cdot4947^{2}[/mm] = -1
>
> Naja, das ergibt nicht -1, sondern +4. Insbesondere ist
> dies keine Einheit.
Ich bin ja blöd ^^ bin um eine Zeile verrutscht..
>
> Allerdings: wenn du [mm]\frac{84679 + 4947 \sqrt{293}}{2}[/mm]
> anschaust: dies hat Norm 1 und ist sehr wohl eine Einheit
> -- allerdings in [mm]\mathcal{O}_K[/mm] und nicht in
> [mm]\IZ[\sqrt{293}][/mm].
>
> (Es ist uebrigens [mm]\frac{84679 + 4947 \sqrt{293}}{2} = \left( \frac{17 + \sqrt{293}}{2} \right)^4[/mm].)
>
> > Das wäre auch schon die Lösung, die ich finde.. weiter
> > kommt nix..
>
> Laut Magma wird die Einheitengruppe der Ordnung
> [mm]\IZ[\sqrt{293}][/mm] von [mm]2482 + 145 \sqrt{293}[/mm] erzeugt.
Ja genau, da bin ich eben verrutscht.. auf die Lösung bin ich auch gekommen.. allerdings bin ich dann nicht weiter gegangen, da ich dachte, eh falsch zu liegen..
> Aber wie schon gesagt, das ganze ergibt eine
> Fundamentaleinheit fuer [mm]\IZ[\sqrt{293}][/mm].
>
> Um eine fuer [mm]\mathcal{O}_K[/mm] zu bekommen, halte nach [mm](x, y)[/mm]
> mit [mm]x^2 - 293 y^2 = \pm 4[/mm] ausschau.
Ok.. aber warum? Bzw. könnte ich nicht mit dem Ansatz [mm] \xi [/mm] = [mm] \frac{1+\sqrt{293}}{2} [/mm] auf eine Lösung kommen? Du sagst ja weiter unten, die Konvergenten werden riesig ohne eine Einheit rauszuspucken.. aber es müsste doch gehen, oder nicht?
Oder anders gefragt.. wieso soll ich nach [mm] \pm [/mm] 4 ausschau halten? Nur wegen dem [mm] \frac{}{2}?
[/mm]
>
> Du hast ja auch die Konvergente [mm]\frac{291}{17}[/mm] erhalten,
> und fuer diese gilt [mm]291^2 - 17^2 \cdot 293 = +4[/mm], also
> [mm](291/2)^2 - (17/2)^2 \cdot 293 = +1[/mm]. Ist [mm]\frac{291}{2} + \frac{17 \sqrt{293}}{2} \in \mathcal{O}_K[/mm],
> so ist dies eine Fundamentaleinheit.
>
> > Ich habe das Gefühl, dass es trotzdem falsch ist, aus dem
> > oben genannten Grund.. aber wenn ich mit [mm]\xi[/mm] =
> > [mm]\frac{1+\sqrt{293}}{2}[/mm] ansetze, komme ich zu gar keinem
> > Ergebnis.
>
> Inwiefern kommst du zu keinen Ergebnis? (Es kommt uebrigens
> [9, [mm]\overline{17}]$[/mm] heraus.)
Jops, die Kettenbruchentwicklung hatte ich, aber wie du schon sagst, die Konvergenten sind gross ^^
>
> LG Felix
>
Danke schön :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Di 04.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > Um eine fuer [mm]\mathcal{O}_K[/mm] zu bekommen, halte nach [mm](x, y)[/mm]
> > mit [mm]x^2 - 293 y^2 = \pm 4[/mm] ausschau.
>
> Ok.. aber warum?
Weil dann [mm] $\frac{a + b \sqrt{293}}{2}$ [/mm] eine Einheit sein kann (falls es denn ganz ist).
Allgemeines Vorgehen: suche die Kettenbruchentwicklung nach [mm] $\pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 4$ ab. Tritt zuerst [mm] $\pm [/mm] 1$ auf, liefert dir dies die Fundamentaleinheit. Tritt zuerst [mm] $\pm [/mm] 4$ auf, teste ob das wirklich ein Element in [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] ergibt. Wenn ja, ist es eine Fundamentaleinheit. Wenn nein, suche weiter.
> Bzw. könnte ich nicht mit dem Ansatz [mm]\xi[/mm]
> = [mm]\frac{1+\sqrt{293}}{2}[/mm] auf eine Lösung kommen?
Das scheint nicht so einfach zu funktionieren. Genaueres steht vermutlich in der Literatur, die ich dir genannt habe :)
> Oder anders gefragt.. wieso soll ich nach [mm]\pm[/mm] 4 ausschau
> halten? Nur wegen dem [mm]\frac{.}{2}?[/mm]
Ja :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Hallo Amaro!
> Laut Magma wird die Einheitengruppe von -1 und [mm]\frac{17 + \sqrt{293}}{2}[/mm]
> erzeugt.
Dieses Magma muss ich mal unter die Lupe nehmen.. ;)
> Wenn du die Konvergenten von [mm]\sqrt{293}[/mm] ausrechnest, so
> bekommst du [mm]\frac{17}{1}, \frac{137}{8}, \frac{154}{9}, \frac{291}{17}, \frac{2482}{145}, \dots, \frac{12320649}{719780}[/mm].
Hmm.. die erste Konvergente erfüllt schonmal die nötigen Kriterien.. [mm] 17^{2}-294 [/mm] = -4 und somit ist [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{17+\sqrt{293}}{2} [/mm] eine Grundeinheit, wie Magma es vorausgesagt hat :)
Alle weiteren Konvergenten, die 4 als Resultat liefern, sind Potenzen dieser Grundeinheit.
Somit kann ich ja schreiben [mm] \mathcal{O}^{\times}_{K} [/mm] = [mm] \{\pm 1\}\left(\frac{17+\sqrt{293}}{{2}}\right)^{\mathbb{Z}}
[/mm]
Da ist aber die -1 als Erzeuger nicht dabei.. ist denn diese -1 IMMER ein Erzeuger? Ich meinte das mal irgendwo für reelquadratische Zahlkörper gelesen zu haben.. bin aber nicht sicher ob es wirklich in diesem Zusammenhang war..
Danke, einmal wieder :)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Di 04.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> > Laut Magma wird die Einheitengruppe von -1 und [mm]\frac{17 + \sqrt{293}}{2}[/mm]
> > erzeugt.
>
> Dieses Magma muss ich mal unter die Lupe nehmen.. ;)
Siehe hier. Und hier gibt es eine Demo-Version.
Gibst du z.B.
| 1: | R<x> := PolynomialRing(Integers());
| | 2: | K := NumberField(x^2 - 293);
| | 3: | O1 := MaximalOrder(K);
| | 4: | Regulator(O1);
| | 5: | G, f := UnitGroup(O1);
| | 6: | K!f(G.2);
| | 7: | O2 := EquationOrder(K);
| | 8: | Regulator(O2);
| | 9: | H, g := UnitGroup(O2);
| | 10: | K!g(H.2); |
ein, wird der Regulator von [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] berechnet und eine Fundamentaleinheit (hier: erstze K.1 durch eine Nullstelle von [mm] $x^2 [/mm] - 293$, also durch [mm] $\sqrt{293}$; [/mm] damit erhaelst du [mm] $\frac{17 + \sqrt{293}}{2}$) [/mm] davon, und dann wird die Ordnung [mm] $\IZ[\sqrt{293}]$ [/mm] betrachtet und davon Regulator sowie Fundamentaleinheit ausgerechnet (die hier $2482 + 145 [mm] \sqrt{293}$ [/mm] ist).
> > Wenn du die Konvergenten von [mm]\sqrt{293}[/mm] ausrechnest, so
> > bekommst du [mm]\frac{17}{1}, \frac{137}{8}, \frac{154}{9}, \frac{291}{17}, \frac{2482}{145}, \dots, \frac{12320649}{719780}[/mm].
>
> Hmm.. die erste Konvergente erfüllt schonmal die nötigen
> Kriterien.. [mm]17^{2}-294[/mm] = -4 und somit ist [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]\frac{17+\sqrt{293}}{2}[/mm] eine Grundeinheit, wie Magma es
> vorausgesagt hat :)
> Alle weiteren Konvergenten, die 4 als Resultat liefern,
> sind Potenzen dieser Grundeinheit.
Genau.
> Somit kann ich ja schreiben [mm]\mathcal{O}^{\times}_{K}[/mm] =
> [mm]\{\pm 1\}\left(\frac{17+\sqrt{293}}{{2}}\right)^{\mathbb{Z}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da ist aber die -1 als Erzeuger nicht dabei..
Doch: da steht [mm] $\pm [/mm] 1$. Als Menge [mm] $\{ -1, 1 \}$ [/mm] aufgefasst ist das gerade die von $-1$ erzeugte Untergruppe.
> ist denn diese -1 IMMER ein Erzeuger? Ich meinte das mal irgendwo
> für reelquadratische Zahlkörper gelesen zu haben..
Ja, es ist der Erzeuger der Einheitswurzeln in einem jeden Zahlkoerper, der mindestens eine Einbettung in [mm] $\IR$ [/mm] besitzt. (Andernfalls kann es noch andere Einheitswurzeln ausser [mm] $\pm [/mm] 1$ geben, womit man -1 durch einen Erzeuger der Einheitswurzeluntergruppe ersetzen muss.)
LG Felix
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