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Reflexion Vektor an Ebene: Herleitung Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 10.05.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich habe mit meinem Buch wieder mal Verständnisschwierigkeiten. Ich werde jetzt nicht das Ganze betreffende Kapitel zitieren, hoffe aber, dass die Problematik anhand meiner Schilderungen nachvollziehbar ist. Wenn nicht, bitte nachfragen:

Es geht um einen Vektor (Lichtstrahl) [mm] \pmat{ x \\ y \\ z } [/mm] = h e, der von einer Ebene [mm] \pmat{ x \\ y \\ z } [/mm] = [mm] k_1 e_1 [/mm] + [mm] k_2 e_2 [/mm] reflektiert wird. Hierzu heißt es, dass der reflektierte Strahl [mm] e_R [/mm] in der durch e und n aufgespannten Ebene liegt, wobei n der Normalvektor der Ebene ist: n = [mm] e_1 \times e_2 [/mm]
Soweit verständlich. Dann heißt es weiter, dass [mm] e_R [/mm] daher als Linearkombination geschrieben werden kann. Dann heißt es weiter, dass [mm] e_R [/mm] gleich auf die Länge 1 normiert angesetzt wird, weswegen nur noch ein Koeffizient [mm] (k_R) [/mm] zu bestimmen sei. Und gleich darauf folgt so mir nichts dir nichts (also ohne weitere Herleitung) die Formel:

[mm] e_R [/mm] = [mm] \bruch{e + k_R n}{\wurzel{1 + 2 k_R + {k_R}^2}} [/mm]

Versteht einer anhand der gegebenen Infos, wie sich diese Formel herleitet und kann es mir erklären?

Also, wenn [mm] e_R [/mm] als Linearkombination geschrieben werden kann, dann würde ich erstmal schreiben

[mm] e_R [/mm] = a e + b n

Und dann verschwindet ein Koeffizient und unter dem Bruchstruck erscheint dieser komplizierte Wurzelausdruck. Wie kommt man darauf?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Reflexion Vektor an Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Do 10.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Es geht um einen Vektor (Lichtstrahl) [mm]\pmat{ x \\ y \\ z }[/mm]
> = h e,

Hallo,

e ist wohl ein Einheitsvektor.

> der von einer Ebene [mm]\pmat{ x \\ y \\ z }[/mm] = [mm]k_1 e_1[/mm] +
> [mm]k_2 e_2[/mm] reflektiert wird. Hierzu heißt es, dass der
> reflektierte Strahl [mm]e_R[/mm] in der durch e und n aufgespannten
> Ebene liegt, wobei n der Normalvektor der Ebene ist

Ich denke, n soll der Normaleneinheitsvektor sein.



>: n =

> [mm]e_1 \times e_2[/mm]
> Soweit verständlich. Dann heißt es
> weiter, dass [mm]e_R[/mm] daher als Linearkombination geschrieben
> werden kann.

Es gibt also Zahlen a und b, so daß der reflektierte Strahl in Richtung [mm] ae+bn=a(e+\bruch{b}{a}n) [/mm] zeigt.
Also gibt es eine Zahl [mm] k_R, [/mm] so daß der reflektierte Strahl in Richtung e+k_Rn zeigt.

> Dann heißt es weiter, dass [mm]e_R[/mm] gleich auf die
> Länge 1 normiert angesetzt wird,

Ich normiere e+k_Rn:

[mm] \bruch{e+k_Rn}{\wurzel{}} [/mm]

und wenn e und n Einheitsvektoren sind, bekommt man das genannte Ergebnis

> [mm]e_R[/mm] = [mm]\bruch{e + k_R n}{\wurzel{1 + 2 k_R + {k_R}^2}}[/mm]

>

LG Angela

Bezug
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