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Hallo,
Ich habe eine Frage zu binären Relationen.
Damit eine Relation R [mm] \subseteq [/mm] M1xM2 reflexiv und/oder symmetrisch und/oder transitiv sein kann, müssen dafür M1 und M2 auf jeden Fall vom gleichen Typ sein? Mit "gleichen Typ" meine ich nicht, dass M1=M2 ist, sondern nur, dass M1 und M2 Elemente vom selben Typ beinhalten.
Ich bin darauf gekommen, weil in sämtlichen Definitionen zu Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nie von 2 Unterschiedlichen Mengen die rede ist.
Beispiel:
M1= Die Menge aller Männer
M2 = Die Menge aller Frauen
(x, y) [mm] \in [/mm] R: [mm] \gdw [/mm] x ist genauso alt wie y
R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
"Vom selben Typ sein" ist jedoch nur eine Vorraussetzung für Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Wenn dies gegeben ist, kann die Relation trozdem nicht reflexiv, symmetrisch, transitiv sein.
Anders gesagt:
Wenn ich eine binäre Relation R [mm] \subseteq [/mm] M1xM2 auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität untersuchen soll und sehe, dass M1 [mm] \not= [/mm] M2 ist und das M1 und M2 Objekte vom komplett Unterschiedlichen Typs beinhalten (Beispiel: M1= Die Menge aller Krankheiten. M2 = Die Menge aller Programmiersprachen), kann ich dann schon sagen, dass R weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv ist? Wirklich für alle 3? Immer?
Edit:
Falls ich mit obigem falsch liege: Würde das denn für Äquivalenzrelationen gelten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe eine Frage zu binären Relationen.
>
> Damit eine Relation R [mm]\subseteq[/mm] M1xM2 reflexiv und/oder
> symmetrisch und/oder transitiv sein kann, müssen dafür M1
> und M2 auf jeden Fall vom gleichen Typ sein? Mit "gleichen
> Typ" meine ich nicht, dass M1=M2 ist, sondern nur, dass M1
> und M2 Elemente vom selben Typ beinhalten.
>
> Ich bin darauf gekommen, weil in sämtlichen Definitionen
> zu Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nie von 2
> Unterschiedlichen Mengen die rede ist.
damit ist die Frage per Definitionem eigentlich geklärt. Aber Dir geht es
wohl darum, ob sich diese Definition nicht erweitern läßt?
> Beispiel:
>
> M1= Die Menge aller Männer
> M2 = Die Menge aller Frauen
>
> (x, y) [mm]\in[/mm] R: [mm]\gdw[/mm] x ist genauso alt wie y
>
> R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Wie willst Du denn da schon etwa reflexiv definieren? Es ist doch $R [mm] \subseteq M_1 \times M_2\,,$ [/mm]
jetzt mal unabhängig davon, was [mm] $R\,$ [/mm] 'für eine "Relation"' sonst noch
sein soll.
Daher gilt: Aus $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ folgt sicher, dass $x [mm] \in M_1$ [/mm] und $y [mm] \in M_2\,.$
[/mm]
Wenn Du nun sagst, dass sicher stets $(x,x) [mm] \in [/mm] R$ gilt, dann ist $x [mm] \in M_1 \cap M_2\,,$ [/mm]
d.h. $(x,x) [mm] \in [/mm] R$ gilt genau dann, wenn [mm] $x\,$ [/mm] sowohl ein Mann als auch
eine Frau ist, die gleich alt sind. ( Da ich ein Mann bin, der keine Frau ist,
folgt die "Nichtreflexivität" dank meiner Existenz.  )
Ebenso bei der "Symmetrie": Wenn Du sagst, dass $(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \iff [/mm] (y,x) [mm] \in R\,,$
[/mm]
dann bedeutet das insbesondere, dass [mm] $x,y\,$ [/mm] beide in [mm] $M_1 \cap M_2$ [/mm]
liegen.
Macht das die Sache nun klarer? (Ich bin mir jedenfalls sicher, dass es
mindestens einen Mann gibt, der keine Frau ist (und dass es auch
mindestens eine Frau gibt, die kein Mann ist) - daher wäre "obiges" nicht
reflexiv!)
P.S. Mit $R [mm] \subseteq M_1 \times M_2$ [/mm] wie oben: Es gibt sicher einen
Mann, der genauso alt wie eine Frau ist (wobei man "genauso alt" da
eigentlich präziser formulieren sollte - ich nehme an, Du meinst nur das
Alter in Jahren). Das heißt, wir finden ein Paar $(x,y) [mm] \in R\,.$ [/mm] Aber wenn
damit jetzt $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ stets gelten würden, dann würde aus der
Gleichaltrigkeit stets die "Zwittrigkeit" zweier Personen folgen.
(Nebenbei: Beachte bei dem Begriff der Äquivalenzrelation, dass bei der
Reflexitvität "für alle $x [mm] \in [/mm] M$ muss $(x,x) [mm] \in [/mm] R$ sein", und dass bei
der Symmetrie steht: Wenn $(x,y) [mm] \in R\,,$ [/mm] dann muss auch $(y,x) [mm] \in R\,$ [/mm] sein.
D.h. bei der Symmetrie kann es sein, dass man da auch für kein Paar
[mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit $y [mm] \not=x$ [/mm] überhaupt was zu prüfen hat (wenn vorher die
Reflexivität noch nicht mal sichergestellt worden ist, kann es sogar sein,
dass man für kein Paar [mm] $(x,y)\,$ [/mm] überhaupt was zu prüfen hat!)! Bei der
Reflexivität muss man für JEDES $x [mm] \in [/mm] M$ testen, ob dann auch $(x,x) [mm] \in \red{R}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
> "Vom selben Typ sein" ist jedoch nur eine Vorraussetzung
> für Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Wenn dies
> gegeben ist, kann die Relation trozdem nicht reflexiv,
> symmetrisch, transitiv sein.
>
>
> Anders gesagt:
>
> Wenn ich eine binäre Relation R [mm]\subseteq[/mm] M1xM2 auf
> Reflexivität, Symmetrie und Transitivität untersuchen
> soll und sehe, dass M1 [mm]\not=[/mm] M2 ist und das M1 und M2
> Objekte vom komplett Unterschiedlichen Typs beinhalten
> (Beispiel: M1= Die Menge aller Krankheiten. M2 = Die Menge
> aller Programmiersprachen), kann ich dann schon sagen, dass
> R weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv ist?
> Wirklich für alle 3? Immer?
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> Edit:
> Falls ich mit obigem falsch liege: Würde das denn für
> Äquivalenzrelationen gelten?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peeter,
> Hallo,
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> Ich habe eine Frage zu binären Relationen.
>
> Damit eine Relation R [mm]\subseteq[/mm] M1xM2 reflexiv und/oder
> symmetrisch und/oder transitiv sein kann, müssen dafür M1
> und M2 auf jeden Fall vom gleichen Typ sein? Mit "gleichen
> Typ" meine ich nicht, dass M1=M2 ist, sondern nur, dass M1
> und M2 Elemente vom selben Typ beinhalten.
>
> Ich bin darauf gekommen, weil in sämtlichen Definitionen
> zu Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nie von 2
> Unterschiedlichen Mengen die rede ist.
>
> Beispiel:
>
> M1= Die Menge aller Männer
> M2 = Die Menge aller Frauen
>
> (x, y) [mm]\in[/mm] R: [mm]\gdw[/mm] x ist genauso alt wie y
nur, damit das nochmal klar(er) wird: Eigentlich müßtest Du oben
schreiben:
"Der Mann" [mm] $x\,$ [/mm] ist genauso alt wie "die Frau" [mm] $y\,.$
[/mm]
Und dann würde die Reflexivität aussagen: JEDER Mann [mm] $x\,$ [/mm] ist genauso
alt wie die Frau [mm] $x\,.$
[/mm]
Und $(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \iff [/mm] (y,x) [mm] \in R\,:$
[/mm]
Genau dann ist der Mann [mm] $x\,$ [/mm] so alt wie die Frau [mm] $y\,,$ [/mm] wenn die Frau [mm] $x\,$
[/mm]
genauso alt ist wie der Mann [mm] $y\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Und [mm](x,y) \in R \iff (y,x) \in R\,:[/mm]
> Genau dann ist der
> Mann [mm]x\,[/mm] so alt wie die Frau [mm]y\,,[/mm] wenn die Frau [mm]x\,[/mm]
> genauso alt ist wie der Mann [mm]y\,.[/mm]
Das wäre dann aber wahr und somit wäre die Relation (zumindest) symmetrisch, obwohl M1 [mm] \not= [/mm] M2 oder?
Oder wäre die Relation hier doch nicht symmetrisch, weil wir hier M1 [mm] \not= [/mm] M2 ist und die Definition für Symmetrie nur für den Fall M1=M2 gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
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> > Und [mm](x,y) \in R \iff (y,x) \in R\,:[/mm]
> > Genau dann ist
> der
> > Mann [mm]x\,[/mm] so alt wie die Frau [mm]y\,,[/mm] wenn die Frau [mm]x\,[/mm]
> > genauso alt ist wie der Mann [mm]y\,.[/mm]
>
> Das wäre dann aber wahr und somit wäre die Relation
> (zumindest) symmetrisch, obwohl M1 [mm]\not=[/mm] M2 oder?
> Oder wäre die Relation hier doch nicht symmetrisch, weil
> wir hier M1 [mm]\not=[/mm] M2 ist und die Definition für Symmetrie
> nur für den Fall M1=M2 gilt?
nach "Deiner" Definition der Symmetrie sollte das dann wahr sein: Wenn
der Mann [mm] $x\,$ [/mm] genauso alt wie die Frau [mm] $y\,$ [/mm] ist, dann ist die Frau [mm] $x\,$
[/mm]
(die ja dann auch ein Mann ist, also ist [mm] $x\,$ [/mm] "zwittrig") sicher auch
genauso alt wie der Mann [mm] $y\,$ [/mm] (auch [mm] $y\,$ [/mm] ist dann "zwittrig").
Das wäre dann genauso wie beim Überprüfen der "Standard-Definition"
bei Äquivalenzrelationen: Dass es vielleicht gar kein Paar $(x,y) [mm] \in [/mm] R$
gibt, stört dabei nicht: Dann hat man halt nur einfach nichts zu prüfen.
(Bei der "Standard-Definition" muss/sollte schon [mm] $M_1=M_2$ [/mm] sein, aus
dem einfachen Grund:
Wenn ich ein Paar $(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \subseteq M_1 \times M_2$ [/mm] habe, und dann
$(y,x) [mm] \in [/mm] R$ testen will: $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ liefert $x [mm] \in M_1$ [/mm] und $y [mm] \in M_2\,.$
[/mm]
$(y,x) [mm] \in [/mm] R$ bedarf dann $y [mm] \in M_1$ [/mm] und $x [mm] \in M_2\,.$ [/mm] Dann kann ich
doch einfach auch die Relation auf [mm] $M_1 \cap M_2$ [/mm] eingeschränkt
betrachten, um sie dort auf Symmetrie zu untersuchen, also:
$R [mm] \subseteq (M_1 \cap M_2) \times (M_1 \cap M_2)$ [/mm] heißt symmetrisch, wenn...)
Gruß,
Marcel
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