Regel v. De L'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
a) [mm] \limes_{x \rightarrow\ a,x>a}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{x-a}
[/mm]
Ich weiß nicht wie man das schön mit dem Formelgenerator schreibt.
Also normales lim kann ich; nur hier stehen ja 2 sachen unter dem lim
x gegen 0 und darunter dann noch x>a
b) [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{a^x - b^x}{x} [/mm] |
Wir haben heute die Regel von De L'Hospital gelernt.
Es gibt da 3 Bedingungen, die erfüllt sein müssen.
[mm] f(x)=\bruch{z(x)}{n(x)}
[/mm]
Es gibt ein a für das gilt
1) z(a)=n(a)=0
2) z,n sind diffenrenzierbar und n'(x) [mm] \not=0
[/mm]
3) [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} \bruch{z'(x)}{n'(x)} [/mm] existiert
Bei der a) hänge ich gerade bei der Überprüfung des 1. Punktes denn es gibt ein a damit das 0 ergibt dafür müsste x=a sein, aber es steht ja da x>a und nicht [mm] x\ge [/mm] a kann ich dann hier schon mit der aufgabe aufhören oder habe ich etwas falsch verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Adamantin |
Sorry, bei den Bedingungen verlesen, vorerst keine Antwort!
Allerdings überprüf nochmal deine Angaben. Die a gibt keinen Sinn, wenn x > a gelten soll, höchstens für x größer gleich a. Denn wenn x immer größer als a ist, gibt es doch niemals Probleme! Hospital brauchst du doch nur für Fälle, bei denen eben die Grenzwertbetrachtung einen für das einsetzten nicht definierten Fall wie teilen durch 0 bringt. Genau das ist aber nur für den Fall x=a gegeben, oder sehe ich das falsch? Daher müsste für mich unter dem lim stehen x->a und dann wäre die Sache ganz einfach, beide Terme gehen dafür gegen 0, also kann man Hospital anwenden. Wenn da aber wirklich x gegen 0 und x>a steht, kann ich damit nix anfangen. Denn das wäre identisch mit x->a wobei x immer größer als a bleibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
Ich habe noch einmal nachgeguckt. Es steht da
lim und unter dem lim: x gegen 0 und dadrunter x>a
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Hallo T.T.,
> a) [mm]\limes_{x \rightarrow\ a}[/mm] _{x>a}
> [mm]\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{x-a}[/mm]
>
> Ich weiß nicht wie man das schön mit dem Formelgenerator
> schreibt.
> Also normales lim kann ich; nur hier stehen ja 2 sachen
> unter dem lim
> x gegen 0 und darunter dann noch x>a
Klick mal hier drauf: [mm] \limes_{x\to a,\ x>a}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{x-a}
[/mm]
> b) [mm]\limes_{x \rightarrow\0} \bruch{a^x - b^x}{x}[/mm]
> Wir haben
> heute die Regel von De L'Hospital gelernt.
>
> Es gibt da 3 Bedingungen, die erfüllt sein müssen.
>
> [mm]f(x)=\bruch{z(x)}{n(x)}[/mm]
>
> Es gibt ein a für das gilt
>
> 1) z(a)=n(a)=0
> 2) z,n sind diffenrenzierbar und n'(x) [mm]\not=0[/mm]
> 3) [mm]\limes_{x\rightarrow\ a} \bruch{z'(x)}{n'(x)}[/mm]
> existiert
>
> Bei der a) hänge ich gerade bei der Überprüfung des 1.
> Punktes denn es gibt ein a damit das 0 ergibt dafür
> müsste x=a sein, aber es steht ja da x>a und nicht [mm]x\ge[/mm] a
> kann ich dann hier schon mit der aufgabe aufhören oder
> habe ich etwas falsch verstanden?
So ist das beim Grenzwert. Könnte man hier x=a einsetzen, so müsste man ja keinen Grenzwert mehr bilden. Ich finde allerdings die Formulierungen, die Ihr da habt, etwas befremdlich, aber in der Sache passt es hier ja trotzdem. In der Tat kann de l'Hospital hier angewandt werden, weil an der Stelle x=a Zähler und Nenner Null werden.
Einfacher ist die Aufgabe übrigens zu lösen, wenn Du den Bruch mal mit [mm] (\wurzel{x}+\wurzel{a}) [/mm] erweiterst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
hm ich habe mal erweitert wie Sie gesagt haben und komme auf
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a, x>a} \bruch{x-a-2\wurzel{xa}}{(x-a)(\wurzel{x}-\wurzel{a})}
[/mm]
jetzt weiß ich leider immer noch nicht so genau wie man das mit Hospital macht. (Ist meine erste Aufgabe zu diesem Thema) :(
ich hätte eben als da noch unerweitert stand
[mm] \limes_{x\to a,\ x>a}\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{a}}{x-a} [/mm]
dann hätte ich ja zuerst den 1. Punkt überprüfen müssen. Das wäre dann für z(a)=n(a)=0
2. Punkt wäre ja dann z,n sind diffenrenzierbar und n'(x) [mm] \not=0 [/mm]
danach käme dann
3. mit [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} \bruch{z'(x)}{n'(x)} [/mm] existiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo T.T.!
Du hast leider nicht genau gelesen. Du solltest mit [mm] $\left( \ \wurzel{x} \ \red{+} \ \wurzel{a} \ \right)$ [/mm] erweitern.
Dann lässt sich anschließend schön kürzen und vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
achsoo...entschuldigung hätte besser hinschauen sollen.
also ich komme jetzt dann auf
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{a}}
[/mm]
jetz kann ich den Zähler ja garnicht 0 werden lassen (Punkt 1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo T.T.!
So stimmt es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Nun weiter mit der Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] a$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
muss ich nicht noch die 3 Bedingungen überprüfen?
also ich meine zB 1. punkt dass z(a)=n(a)=0
in diesem Falle wäre das doch dann nur für x=a gleich 0
aber den Zähler kann ich ja garnicht 0 werden lassen weil da ja jetzt kein x steht
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> muss ich nicht noch die 3 Bedingungen überprüfen?
>
> also ich meine zB 1. punkt dass z(a)=n(a)=0
>
> in diesem Falle wäre das doch dann nur für x=a gleich 0
>
> aber den Zähler kann ich ja garnicht 0 werden lassen weil
> da ja jetzt kein x steht
du hast durch das erweitern zu einem binom die benutzung von de l'hopital umgangen!
quasi hast du nun schon den grenzwert. (wenn nun das x gegen a wandert)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 15.11.2010 | | Autor: | T.T. |
achsooo^^
also dann wäre ja jetzt der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] a doch dann [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}}=\bruch{1}{2}a^{-1/2}
[/mm]
ok danke an alle, aber mich würde schon interessieren wie es mit L'Hospital geht.
Da wäre ja noch die b) [mm] \limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{a^x - b^x}{x} [/mm]
diesmal versuche ich es mit der Regel von L'Hospital
das wäre ja dann jetzt mit den 3 Punkten oder?
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> achsooo^^
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> also dann wäre ja jetzt der Grenzwert für x [mm]\to[/mm] a doch
> dann [mm]\bruch{1}{2\wurzel{a}}=\bruch{1}{2}a^{-1/2}[/mm]
Dagegen lässt sich nun auch nichts mehr sagen ;) Hatte ich am Anfang ja doch recht, dass im Grunde x [mm] \to [/mm] a gemeint war, wenn auch m.M. nach falsch formuliert. Also nen ganz klassischer, einfacher Fall. Du kannst es auch noch mal mit Hospital rechnen, geht genauso einfach finde ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 16.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo T.T.!
Wenn Du nun Aufgabe b.) mit Herrn de l'Hospital lösen möchtest, musst Du wirklich erst die Voraussetzungen überprüfen, ob es sich um einen Fall von [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{\pm\infty}{\pm\infty}$ [/mm] handelt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Vorschlag für b) Setze $f(x):= [mm] a^x-b^x$
[/mm]
Dann ist
$ [mm] \limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{a^x - b^x}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow\ 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= [/mm] ~??$
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:03 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
also ich habe gestern die b) gemacht
zuerst alle Bedingungen für L'Hospital überprüft und komme dann auf den Grenzwert = 0 raus weil der Quotient der Ableitungen ist [mm] a^x [/mm] - [mm] b^x [/mm]
und davon der Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 0 ist dann 1-1=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Di 16.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo T.T.!
Dass die Voraussetzungen für de l'Hospital erfüllt sind, scheint klar.
Aber bei der Grenzwertermittlung scheint einiges schief gelaufen zu sein. Bitte rechne hier doch mal im Detail vor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
also ich habe den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen ermittelt:
zu berechnen war ja [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{a^x - b^x}{x} [/mm]
Die ableitung wäre dann
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a^x -b^x}{1}=\limes_{x\rightarrow\ 0} a^x -b^x=1-1=0
[/mm]
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> also ich habe den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen
> ermittelt:
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> zu berechnen war ja [mm]\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{a^x - b^x}{x}[/mm]
>
> Die ableitung wäre dann
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a^x -b^x}{1}=\limes_{x\rightarrow\ 0} a^x -b^x=1-1=0[/mm]
das besondere der e-funktion [mm] e^x [/mm] ist, dass sie abgeleitet wieder [mm] e^x [/mm] ergibt. für [mm] a^x [/mm] gilt dies nicht!
also nochmal nachschauen
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
achsoo...habe ich mir fast gedacht, dass es daran liegt :(
also dann habe ich
[mm] \bruch{a^x -b^x}{x} [/mm] abgeleitet = [mm] xa^{x-1} -xb^{x-1}= x(a^{x-1} -b^{x-1})
[/mm]
bei dieser ableitung bin ich mir nicht sicher, wenn sie stimmt wäre lim x gegen 0 doch dann = 0 oder?
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> achsoo...habe ich mir fast gedacht, dass es daran liegt :(
>
> also dann habe ich
>
> [mm]\bruch{a^x -b^x}{x}[/mm] abgeleitet = [mm]xa^{x-1} -xb^{x-1}= x(a^{x-1} -b^{x-1})[/mm]
>
> bei dieser ableitung bin ich mir nicht sicher, wenn sie
> stimmt wäre lim x gegen 0 doch dann = 0 oder?
wieder falsch
vversuchs mal so:
[mm] a^x=(a)^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)*x}
[/mm]
das abzuleiten sollte nun drin sein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
[mm] a^x=(a)^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm]
achso stimmt, ich habe eben a als Variable und x als konstante betrachtet.
Aber ich habe noch eine kleine Nebenfrage
[mm] e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm] heben sich hier ln und e auf? sodass dann a*x da steht?
wir hatten nämlich mal irgendsowas wo sich [mm] e^{ln(a)} [/mm] und dann e und ln aufheben sodass dann nur a da steht
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> [mm]a^x=(a)^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)\cdot{}x}[/mm]
die antwort auf deine untere frage: ohne das, was du beschreibst, wäre das 2. gleichheitszeichen nicht zulässig
nun den letzten term nach x ableiten
>
> achso stimmt, ich habe eben a als Variable und x als
> konstante betrachtet.
>
> Aber ich habe noch eine kleine Nebenfrage
>
> [mm]e^{ln(a)\cdot{}x}[/mm] heben sich hier ln und e auf? sodass
> dann a*x da steht?
> wir hatten nämlich mal irgendsowas wo sich [mm]e^{ln(a)}[/mm] und
> dann e und ln aufheben sodass dann nur a da steht
>
>
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
hmm das würde ja dann heißen [mm] a^x=a*x
[/mm]
[mm] e^{ln(a)\cdot{}x}=a*x [/mm] abgeleitet ergibt ja dann a oder?
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> hmm das würde ja dann heißen [mm]a^x=a*x[/mm]
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> [mm]e^{ln(a)\cdot{}x}=a*x[/mm] abgeleitet ergibt ja dann a oder?
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heilige makrele!
[mm] a^x=e^{ln(a)*x}
[/mm]
nun nach der KETTENREGEL ableiten:
[mm] e^{ln(a)*x}*ln(a)
[/mm]
und das ist dann wiederum [mm] a^x*ln(a)
[/mm]
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
> $ [mm] a^x=(a)^x=(e^{ln(a)})^x=e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm] $
die antwort auf deine untere frage: ohne das, was du beschreibst, wäre das 2. gleichheitszeichen nicht zulässig
nun den letzten term nach x ableiten
>
> achso stimmt, ich habe eben a als Variable und x als
> konstante betrachtet.
>
> Aber ich habe noch eine kleine Nebenfrage
>
> $ [mm] e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm] $ heben sich hier ln und e auf? sodass
> dann a*x da steht?
> wir hatten nämlich mal irgendsowas wo sich $ [mm] e^{ln(a)} [/mm] $ und
> dann e und ln aufheben sodass dann nur a da steht
[mm] e^{ln(a)\cdot{}x} [/mm] wenn ich das umforme da heben sich doch e und ln auf oder? dann bleibt da ja nur noch das a*x stehen oder? das hab ich nämlich noch nicht so ganz verstanden also das mit dem umformen mit dem aufheben.
aber den teil mit der ableitung habe ich verstanden das ist ja kettenregel also äußere abl. mal innere =$ [mm] e^{ln(a)\cdot{}x}\cdot{}ln(a) [/mm] $
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Also gut, dann überlege dir mal, was überhaupt der ln ist. Du hast eine Funktion [mm] e^x [/mm] und du hast eine Funktion ln(x). Ich hoffe, die e-Funktion ist klar, daher nur die ln-Funktion: Sie ist die UMKEHRFUNKTION der natürlichen e-Funktion. Wenn du schreibst: ln(1)=y, dann ist die spezielle Basis dieses Logarithmus die Zahl e und du willst mit dieser Gleichung wissen, mit was du e potenzieren musst, um das Argument 1 zu erhalten, richtig? Gott klingt das kompliziert. Also [mm] e^x [/mm] und für welches x ergibt sich 1? Richtig, für 0. Daher lautet die Lösung von $ln(1)=0$. [mm] e^0=1. [/mm] So, jetzt nimmst du aber e nicht mit einer Zahl "hoch", sondern mit einer Funktion, nämlich ihrer Umkehrfunktion!
[mm] $e^{ln(a)}$ [/mm] Was heißt das jetzt? ln(a) bedeutet, e hoch welche Zahl ergibt a. Sagen wir, diese Zahl ist y, dann gilt ln(a)=y mit [mm] e^y=a. [/mm]
Dann ersetzten wir:
[mm] $e^{ln(a)}=e^y$ [/mm] einverstanden? Und was ist [mm] e^y [/mm] anderes als a? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 16.11.2010 | | Autor: | T.T. |
achso ja, soweit hab ichs verstanden nur da steht ja noch ein x da
also [mm] e^{ln(a)*x}=?
[/mm]
ohne das x wäre ja [mm] e^{ln(a)}=a
[/mm]
und da habe ich gedacht, dass dann [mm] e^{ln(a)*x}=a*x [/mm] aber das kann ja nicht stimmen
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Hallo,
nach den Regeln der Potenzrechnung ist ja [mm] a^{b*c}=\left(a^b\right)^c=\left(a^c\right)^b
[/mm]
Also ist [mm] e^{x*\ln(a)}=e^{(\ln{a})*x}=\left(e^{\ln{a}}\right)^x=a^x
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 17.11.2010 | | Autor: | T.T. |
ok ich habe jetzt raus
die ableitung ist [mm] e^{ln a*x}*ln [/mm] a - [mm] e^{ln b*x}*ln [/mm] b = [mm] a^x*lna [/mm] - [mm] b^x*lnb [/mm]
davon der lim für x [mm] \to [/mm] 0 ist dann ln(a)-ln(b)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo T.T.!
So stimmt es nun. Wenn Du magst, kannst Du [mm]\ln(a)-\ln(b)[/mm] noch gemäß  Logarithmusgesetz zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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