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Forum "Funktionen" - Regel von Bernoulli-l'Hospital
Regel von Bernoulli-l'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Regel von Bernoulli-l'Hospital: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Do 05.01.2017
Autor: defjam123

Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von Bernoulli-l'Hospital

[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm]

Hallo,

meine Lösung schaut hier wie folgt aus:

[mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty [/mm]

Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/
Wo liegt denn hier mein Fehler?

LG

        
Bezug
Regel von Bernoulli-l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Do 05.01.2017
Autor: Omega91

Hallo,

> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> Bernoulli-l'Hospital
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> meine Lösung schaut hier wie folgt aus:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]

1) Welche Form muss vorliegen, damit du l'Hospital verwenden kannst ?

>  
> Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/

2) Laut deiner Lösung aber auch nicht, oder bezeichnest du [mm] $\infty$ [/mm] als Grenzwert ?

>  Wo liegt denn hier mein Fehler?
>  
> LG

LG

Bezug
                
Bezug
Regel von Bernoulli-l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 05.01.2017
Autor: defjam123

Hey danke dir!
> Hallo,
>  
> > Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> > Bernoulli-l'Hospital
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
>  >

>  
> > Hallo,
>  >  
> > meine Lösung schaut hier wie folgt aus:
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x})=\bruch{1}{0}=\infty[/mm]
>  
> 1) Welche Form muss vorliegen, damit du l'Hospital
> verwenden kannst ?
>  >

l'Hospital wird bei den folgenden nicht definierten Formen verwenden:

[mm] 0*\infty [/mm] ; [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ; [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ; [mm] \infty-\infty [/mm] ; [mm] 0^{0} [/mm] ; [mm] 1^{\infty} [/mm] ; [mm] \infty^{0} [/mm]

Ich kann dann anschließend den Satz von Bernouli anwenden, wenn der Term Form eines Bruches dargestellt ist bzw. du dahin durch Umformen gebracht wurde.

Bei der gestellten Aufgabe [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] ist dies noch nicht der Fall.
Hier habe ich ja durch elementars Umformen den Term in Form von [mm] \bruch{x-1}{x^{2}} [/mm] gebracht.
Dann anschließend einmal den Satz angewendet und ich sehe, dass bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{2x}) [/mm] die Funktion gegen unendlich strebt.

Habe ich soweit alles korrekt verstanden?


> > Laut Musterlösung kommt kein Grenzwert raus :/
>  2) Laut deiner Lösung aber auch nicht, oder bezeichnest
> du [mm]\infty[/mm] als Grenzwert ?

Das stimmt. Die Funktion strebt ja nur gegen unendlich. Damit müsste doch mein Ergebnis ausreichen, um in der Klausur zu zeigen, dass kein Grenzwert für den Term bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] existiert.

> >  Wo liegt denn hier mein Fehler?

>  >  
> > LG
>
> LG

Lieben Gruß und nochmals Danke!

Bezug
                        
Bezug
Regel von Bernoulli-l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Do 05.01.2017
Autor: Stala

Hallo,

du schreibst ja richtig, dass l'Hospital bei Grenzwerten der Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] angewendet werden kann. In deinem Fall ist  der Bruch aber von der Form:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})= (\bruch{-1}{0}). [/mm]


L'Hospital geht also gar nicht, man aber direkt ablesen, dass die Funktion gegen - [mm] \infty [/mm]  für x [mm] \to [/mm] 0 strebt und somit  der Grenzwert nicht existiert

VG

Bezug
        
Bezug
Regel von Bernoulli-l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:16 Fr 06.01.2017
Autor: HJKweseleit


> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von
> Bernoulli-l'Hospital
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}})=\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{x-1}{x^{2}})[/mm]

Wie schon andere gesagt haben, kannst du l'Hospital gar nicht anwenden, da der Zähler x-1 gegen -1 geht, der Nenner aber gegen 0, also nicht beide gegen 0.

Es ist aber [mm] (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) =\bruch{1}{x}(1-\bruch{1}{x}). [/mm]

Dabei ist [mm] \limes_{x\rightarrow0} (1-\bruch{1}{x})=1, [/mm] und somit geht [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] gegen [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x}. [/mm]

Tatsächlich gibt es hier aber keinen Grenzwert, denn es ist

[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix} \infty, falls \ x > 0 \\ - \infty, falls \ x<0 \end{matrix}\right} [/mm]


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