Regel von L'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie mit Hilfe der Regel von L'Hospital(nach geeigneter Umformung) folgende Grenzwerte:
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x*ln(x);
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{x})^x [/mm] |
Guten abend. Mit diesen Beiden aufgaben komme ich nicht so richtig weiter:
Bei der zweiten Aufgabe fehlt mir irgendwie jeglicher Ansatz
Bei der dritten Aufgabe habe ich das erstmal zu einer Exponetialfunktion gemacht
[mm] (1+\bruch{a}{x})^x=\exp(x*\ln(1+\bruch{a}{x}))
[/mm]
Dann habe ich den hinteren Term abgeleitet( in der Hoffnung es kommt was schöneres raus)
1 Ableitung:
[mm] \exp(x*\ln(1+\bruch{a}{x}))*\bruch{-a+x^2+2*a*x+a^2}{x*(x+a)}
[/mm]
Bringt mich aber offensichtlich auch nicht weiter, da der Grenzwert des Hinteren 1 Ist und sonst nichts wegfällt. Also bleibt der vordere term stehen.
Ich bitte um Hilfe. Danke schon mal im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem anderen INternetforum gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Walde |
Hi blascowitz,
bei deiner Aufgabe b) brauchst du gar kein L'Hospital. Da steht:
[mm] \lim_{x\to\infty}x*\ln(x).
[/mm]
Für x gegen [mm] \infty [/mm] , geht x gegen [mm] \infty [/mm] und [mm] \ln(x) [/mm] auch, also gibt es hier keine Unklarheiten.
Ich vermute, du hast dich verschrieben und dort müsste stehen
[mm] \lim_{x\to0}x*\ln(x).
[/mm]
Dann geht x gegen 0 und [mm] \ln(x) [/mm] gegen [mm] -\infty, [/mm] da brauchst du dann L'Hospital. Das geht dann so.
Erst umformen:
[mm] x*\ln(x)=\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}. [/mm] Bei [mm] x\to0 [/mm] hast du dann etwas von der Form [mm] \bruch{-\infty}{\infty}. [/mm] Jetzt Zähler und Nenner ableiten:
[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^2}}=-x [/mm]
und das geht für [mm] x\to0 [/mm] gegen 0. Also gilt nach der Regel von L'Hospital:
[mm] \lim_{x\to0}x*\ln(x)=\lim_{x\to0}-x=0
[/mm]
Bei der c) warst du schon auf dem richtigen Weg:
[mm] (1+\bruch{a}{x})^x=\exp(x\cdot\ln(1+\bruch{a}{x})).
[/mm]
Betrachten wir jetzt erstmal den Term [mm] x\cdot\ln(1+\bruch{a}{x}). [/mm] Für x gegen [mm] \infty, [/mm] geht x gegen [mm] \infty [/mm] und [mm] \ln(1+\bruch{a}{x}) [/mm] gegen [mm] \ln(1), [/mm] also 0. Damit haben wir einen Fall für L'Hospital. Erst umformen:
[mm] x\cdot\ln(1+\bruch{a}{x})=\bruch{\ln(1+\bruch{a}{x})}{\bruch{1}{x}}, [/mm]
dann Zähler und Nenner ableiten:
[mm] \bruch{\bruch{1}{1+\bruch{a}{x}}\cdot(-\bruch{a}{x^2})}{-\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Alles klar? Im Zähler brauchst du Kettenregel. Jetzt zusammenfassen. [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] kann man kürzen, es bleibt
[mm] \bruch{a}{1+\bruch{a}{x}} [/mm] und das geht für x gegen [mm] \infty [/mm] gegen a.
d.h. nach L'Hospital [mm] \lim_{x\to\infty}x\cdot\ln(1+\bruch{a}{x})=a
[/mm]
und damit
[mm] \lim_{x\to\infty}\exp(x\cdot\ln(1+\bruch{a}{x}))=\exp(a) [/mm]
(,da die Exponentialfunktion stetig ist)
Also ist insgesamt [mm] \lim_{x\to\infty}(1+\bruch{a}{x})^x=e^a
[/mm]
Alles klar? Guten Rutsch ins neue Jahr.
lG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Fr 29.12.2006 | | Autor: | blascowitz |
Ich danke für die Antwort. Alle Klarheiten beseitigt:). Ich wünsche einen guten Rutsch ins Jahr 2007
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