Regel von L' Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir führen folgende Notation ein:
Für eine Funktion f und a [mm] \in \mathbb{R} [/mm] ist
[mm] \lim_{x\to a}\,f(x)
[/mm]
eine Kurzschreibweise für
[mm] \lim_{n\to\infty}\,f(x_n)\,,\quad x_n\to a\quad [/mm] für [mm] \quad n\to\infty\,.
[/mm]
Genauso schreiben wir
[mm] \lim_{x\to+\infty}\,f(x)\quad [/mm] und [mm] \quad\lim_{x\to-\infty}\,f(x)\,,
[/mm]
wenn [mm] x_n\to+\infty\quad [/mm] bzw. [mm] \quad x_n\to-\infty\quad [/mm] für [mm] \quad n\to\infty\,.
[/mm]
Bei welchen der folgenden Funktionen ist die Regel von L' Hospital anwendbar:
[mm] a)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{\sin{(x)}}
[/mm]
[mm] b)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{\cos{(x)}}
[/mm]
[mm] c)\lim_{x\to \pi}\,\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}
[/mm]
[mm] d)\lim_{x\to 0}\,\sqrt{x}\,\tan{(x)}
[/mm]
[mm] e)\lim_{x\to +\infty}\,\log{\left(\frac{1}{x}\right)}
[/mm]
[mm] f)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}
[/mm]
[mm] g)\lim_{x\to 0}\,\frac{x^2-1}{\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] h)\lim_{x\to \frac{1}{2}}\,\frac{x}{2x-1}
[/mm]
[mm] i)\lim_{x\to 1}\,\frac{\log{x}}{x-1}
[/mm]
[mm] j)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{e^{x}} [/mm] |
Hallo.
Diese Aufgabe soll ich lösen.
Mit dieser Regel lassen sich ja die Grenzwerte von Funktionen berechnen, die als Bruch gegen 0 konvgerieren bzw. divergieren, durch Ableitungen dieser Funktionen berechnen.
In der Uni haben wir 1. Beispiel dazu gemacht und dabei einfach die Funktion [mm] lim_{n\rightarrow{0}}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] umgeformt in [mm] lim_{n\rightarrow{0}}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] und betrachtet wie sich der Grenzwert der Funktion verhält.
Für a) erhlate ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{1}{cos(x)}=1 [/mm] -> anwendbar
[mm] b)\limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{1}{sin(x)}=\bruch{1}{0}=undefiniert [/mm] -> nicht anwendbar
[mm] c)\limes_{n\rightarrow{\pi}}\limes_{n\rightarrow{\pi}}\bruch{cos{x}}{-sin{x}}=\bruch{0}{-1}=0 [/mm] -> anwendbar
d) Hier muss man die Regel anwenden weil der man sich 0 auch von negativen Werten anwenden kann und diese nicht für [mm] \wurzel{x} [/mm] definiert sind, oder?
[mm] \\limes_{n\rightarrow{0}}bruch{1}{2\wurzel{x}}*\bruch{1}{cos^2{x}} [/mm] Theoretisch dürfte man den Grenzwert ja nicht bilden, da [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht definiert ist, aber man könnte doch wieder die Regel von L' Hospital anwenden, oder?
e) [mm] \limes_{n\rightarrow{0}}(ln{\bruch{1}{x}})'=\bruch{1}{\bruch{1}{x}}= [/mm] x -> anwendbar
f) [mm] \limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{3}{2e^{2x}}=\bruch{3}{2}=1.5 [/mm] -> anwendbar
Ich habe eigentlich immer die Ableitungen gebildet, die Funktionen gegen den Grenzwert laufen lassen und das dann in x eingesetzt. Wenn es undefiniert ist, ist die Regel nicht anwendbar, wenn es definiert ist, ist die Regel anwendbar.
Ich kann mir aber nict vorstellen, dass das der Sinn der Aufgabe ist.....
Wo liegt mein Denkfehler?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Grüße und danke im Voraus.
Ps: Mir geht es hier vor allem um das Verständnis. Also ich möchte verstehen warum eben bei den verschiedenen Funktionen die Regel anwendbar ist.
|
|
| |
|
Hallo Masseltof,
> Wir führen folgende Notation ein:
>
> Für eine Funktion f und a [mm]\in \mathbb{R}[/mm] ist
>
> [mm]\lim_{x\to a}\,f(x)[/mm]
>
> eine Kurzschreibweise für
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\,f(x_n)\,,\quad x_n\to a\quad[/mm] für [mm]\quad n\to\infty\,.[/mm]
>
> Genauso schreiben wir
>
> [mm]\lim_{x\to+\infty}\,f(x)\quad[/mm] und
> [mm]\quad\lim_{x\to-\infty}\,f(x)\,,[/mm]
>
> wenn [mm]x_n\to+\infty\quad[/mm] bzw. [mm]\quad x_n\to-\infty\quad[/mm] für
> [mm]\quad n\to\infty\,.[/mm]
> Bei welchen der folgenden Funktionen
> ist die Regel von L' Hospital anwendbar:
>
> [mm]a)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{\sin{(x)}} [/mm]
>
> [mm]b)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{\cos{(x)}}[/mm]
>
>
> [mm]c)\lim_{x\to \pi}\,\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}[/mm]
>
>
> [mm]d)\lim_{x\to 0}\,\sqrt{x}\,\tan{(x)}[/mm]
>
> [mm]e)\lim_{x\to +\infty}\,\log{\left(\frac{1}{x}\right)}[/mm]
>
>
> [mm]f)\lim_{x\to 0}\,\frac{3x}{e^{(2x)}-1}[/mm]
>
> [mm]g)\lim_{x\to 0}\,\frac{x^2-1}{\sqrt{x}}[/mm]
>
> [mm]h)\lim_{x\to \frac{1}{2}}\,\frac{x}{2x-1}[/mm]
>
> [mm]i)\lim_{x\to 1}\,\frac{\log{x}}{x-1}[/mm]
>
> [mm]j)\lim_{x\to 0}\,\frac{x}{e^{x}}[/mm]
> Hallo.
>
> Diese Aufgabe soll ich lösen.
> Mit dieser Regel lassen sich ja die Grenzwerte von
> Funktionen berechnen, die als Bruch gegen 0 konvgerieren
> bzw. divergieren, durch Ableitungen dieser Funktionen
> berechnen.
>
> In der Uni haben wir 1. Beispiel dazu gemacht und dabei
> einfach die Funktion
> [mm]lim_{n\rightarrow{0}}\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] umgeformt in
> [mm]lim_{n\rightarrow{0}}\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm] und betrachtet
> wie sich der Grenzwert der Funktion verhält.
>
> Für a) erhlate ich:
> [mm]\limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{1}{cos(x)}=1[/mm] -> anwendbar
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]b)\limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{1}{sin(x)}=\bruch{1}{0}=undefiniert[/mm]
> -> nicht anwendbar
>
> [mm]c)\limes_{n\rightarrow{\pi}}\limes_{n\rightarrow{\pi}}\bruch{cos{x}}{-sin{x}}=\bruch{0}{-1}=0[/mm]
> -> anwendbar
Die Regel ist hier nicht anwendbar, da "[mm]\bruch{-1}{0}[/mm]"
>
> d) Hier muss man die Regel anwenden weil der man sich 0
> auch von negativen Werten anwenden kann und diese nicht
> für [mm]\wurzel{x}[/mm] definiert sind, oder?
>
> [mm]\\limes_{n\rightarrow{0}}bruch{1}{2\wurzel{x}}*\bruch{1}{cos^2{x}}[/mm]
> Theoretisch dürfte man den Grenzwert ja nicht bilden, da
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] nicht definiert ist, aber man könnte doch
> wieder die Regel von L' Hospital anwenden, oder?
Die Regel ist hier nicht anwendbar.
>
> e)
> [mm]\limes_{n\rightarrow{0}}(ln{\bruch{1}{x}})'=\bruch{1}{\bruch{1}{x}}=[/mm]
Hier muss doch stehen: [mm]\bruch{\blue{0}}{\bruch{1}{x}}[/mm]
> x -> anwendbar
>
> f)
> [mm]\limes_{n\rightarrow{0}}\bruch{3}{2e^{2x}}=\bruch{3}{2}=1.5[/mm]
> -> anwendbar
>
> Ich habe eigentlich immer die Ableitungen gebildet, die
> Funktionen gegen den Grenzwert laufen lassen und das dann
> in x eingesetzt. Wenn es undefiniert ist, ist die Regel
> nicht anwendbar, wenn es definiert ist, ist die Regel
> anwendbar.
[mm]f\left(x\right)[/mm] musst Du an der Stelle [mm]x_{0}[/mm]
zurückführen auf " [mm]\bruch{0}{0}[/mm]" oder " [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]"
> Ich kann mir aber nict vorstellen, dass das der Sinn der
> Aufgabe ist.....
> Wo liegt mein Denkfehler?
>
>
> Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
>
> Grüße und danke im Voraus.
>
> Ps: Mir geht es hier vor allem um das Verständnis. Also
> ich möchte verstehen warum eben bei den verschiedenen
> Funktionen die Regel anwendbar ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Hilfestellung.
Hier der Nachtrag zur Lösung:
g) nicht anwendbar -> [mm] \bruch{-1}{0}
[/mm]
h)nicht anwendbar -> da [mm] \bruch{0.5}{0}
[/mm]
i) anwendbar -> [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
j)nicht anwendbar da -> [mm] \bruch{0}{1}
[/mm]
Damit sind die Kriterien [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] gegeben bzw. nicht gegeben.
Viele Grüße
|
|
|
|
