Regelfunktion Beweis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | | Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierte Funktion. Zeigen sie, dass wenn eine Folge [mm] (g_n)_{n\in\IN} [/mm] von Treppenfunktionen [mm] g_n: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR [/mm] existiert, sodass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}g_i [/mm] auf [a,b] normal konvergent ist und [mm] f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i, [/mm] dann ist f eine Regelfunktion. |
Hallo!
Ich habe einige Probleme mit dem Beweis dieser Aussage, hier ist das, was ich bisher gemacht habe:
Es gilt: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}g_i [/mm] auf [a,b] normal konvergent [mm] \Rightarrow g_n [/mm] ist beschränkt auf [a,b] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}||g_i||_{\infty}=\summe_{i=1}^{\infty}sup\{|g_n|: x\in [a,b]\}< \infty
[/mm]
Es gilt auch: [mm] f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN} [/mm] = f (punktweise)
Im Grunde habe ich nur Definitionen ausgepackt, aber ich bekomme das nicht wirklich zusammen. Ich muss ja irgendwie auf [mm] |f-g_n|< \varepsilon [/mm] kommen, habe aber keine Idee, wie ich das anstellen soll.:/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine auf dem abgeschlossenen
> Intervall [a,b] definierte Funktion. Zeigen sie, dass wenn
> eine Folge [mm](g_n)_{n\in\IN}[/mm] von Treppenfunktionen [mm]g_n:[/mm] [a,b]
> [mm]\to \IR[/mm] existiert, sodass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}g_i[/mm] auf
> [a,b] normal konvergent ist und [mm]f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i,[/mm]
> dann ist f eine Regelfunktion.
>
> Hallo!
>
> Ich habe einige Probleme mit dem Beweis dieser Aussage,
> hier ist das, was ich bisher gemacht habe:
>
> Es gilt: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}g_i[/mm] auf [a,b] normal
> konvergent [mm]\Rightarrow g_n[/mm] ist beschränkt auf [a,b]
Diese Implikation ist doch Unsinn ! Da [mm] g_n [/mm] eine Treppenfunktion ist, nimmt [mm] g_n [/mm] nur endlich viele Werte an und ist damit trivialerweise beschränkt.
> und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}||g_i||_{\infty}=\summe_{i=1}^{\infty}sup\{|g_n|: x\in [a,b]\}< \infty[/mm]
>
> Es gilt auch: [mm]f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN}[/mm]
> = f (punktweise)
Nicht nur punktweise, sondern auch gleichmäßig auf [a,b] !
>
> Im Grunde habe ich nur Definitionen ausgepackt, aber ich
> bekomme das nicht wirklich zusammen. Ich muss ja irgendwie
> auf [mm]|f-g_n|< \varepsilon[/mm] kommen, habe aber keine Idee, wie
> ich das anstellen soll.:/
Wenn man Dir ordentlich helfen soll, wäre es wichtig zu wissen, wie Ihr "Regelfunktion" def. habt.
Hattet Ihr das:
1. f heißt Regelfunktion, wenn f in jedem Punkt x [mm] \in [/mm] (a,b) sowohl einen linksseitigen als auch einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt und
in a einen rechtsseitigen Grenzwert und in b einen linksseitigen Grenzwert hat.
Oder das:
2. f heißt Regelfunktion
[mm] \gdw [/mm]
es gibt eine Folge von Treppenfunktionen $ [mm] t_n:[a,b]\rightarrow \IR$ [/mm] die gleichmäßig gegen $ f$ konvergiert.
Wenn Ihr 2. als Def. hattet, ist Deine obige Aufgabe sehr einfach, anderenfalls nicht.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Zero_112 |
> > Es gilt: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}g_i[/mm] auf [a,b] normal
> > konvergent [mm]\Rightarrow g_n[/mm] ist beschränkt auf [a,b]
>
> Diese Implikation ist doch Unsinn ! Da [mm]g_n[/mm] eine
> Treppenfunktion ist, nimmt [mm]g_n[/mm] nur endlich viele Werte an
> und ist damit trivialerweise beschränkt.
Da hast du wohl Recht. Unser Prof hat uns das so gegeben, von daher habe ich das einfach mal blind übernommen.
> > Es gilt auch: [mm]f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN}[/mm]
> > = f (punktweise)
>
>
> Nicht nur punktweise, sondern auch gleichmäßig auf [a,b]
> !
> Wenn man Dir ordentlich helfen soll, wäre es wichtig zu
> wissen, wie Ihr "Regelfunktion" def. habt.
>
> Hattet Ihr das:
>
> 1. f heißt Regelfunktion, wenn f in jedem Punkt x [mm]\in[/mm]
> (a,b) sowohl einen linksseitigen als auch einen
> rechtsseitigen Grenzwert besitzt und
> in a einen rechtsseitigen Grenzwert und in b einen
> linksseitigen Grenzwert hat.
>
> Oder das:
>
> 2. f heißt Regelfunktion
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> es gibt eine Folge von Treppenfunktionen
> [mm]t_n:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] die gleichmäßig gegen [mm]f[/mm]
> konvergiert.
>
> Wenn Ihr 2. als Def. hattet, ist Deine obige Aufgabe sehr
> einfach, anderenfalls nicht.
Wir hatten sogar beides.
Kann man sagen: Da die Menge der Treppenfunktionen auf [a,b] einen Vektorraum bildet, sind ja die Folgenglieder von [mm] (\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN} [/mm] ebenfalls Treppenfunktionen und weil [mm] (\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN} [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, muss f ja eine Regelfunktion sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Es gilt: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}g_i[/mm] auf [a,b] normal
> > > konvergent [mm]\Rightarrow g_n[/mm] ist beschränkt auf [a,b]
> >
> > Diese Implikation ist doch Unsinn ! Da [mm]g_n[/mm] eine
> > Treppenfunktion ist, nimmt [mm]g_n[/mm] nur endlich viele Werte an
> > und ist damit trivialerweise beschränkt.
>
> Da hast du wohl Recht. Unser Prof hat uns das so gegeben,
> von daher habe ich das einfach mal blind übernommen.
>
>
> > > Es gilt auch: [mm]f=\summe_{i=1}^{\infty}g_i \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN}[/mm]
> > > = f (punktweise)
> >
> >
> > Nicht nur punktweise, sondern auch gleichmäßig auf [a,b]
> > !
>
> > Wenn man Dir ordentlich helfen soll, wäre es wichtig zu
> > wissen, wie Ihr "Regelfunktion" def. habt.
> >
> > Hattet Ihr das:
> >
> > 1. f heißt Regelfunktion, wenn f in jedem Punkt x [mm]\in[/mm]
> > (a,b) sowohl einen linksseitigen als auch einen
> > rechtsseitigen Grenzwert besitzt und
> > in a einen rechtsseitigen Grenzwert und in b einen
> > linksseitigen Grenzwert hat.
> >
> > Oder das:
> >
> > 2. f heißt Regelfunktion
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > es gibt eine Folge von Treppenfunktionen
> > [mm]t_n:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] die gleichmäßig gegen [mm]f[/mm]
> > konvergiert.
> >
> > Wenn Ihr 2. als Def. hattet, ist Deine obige Aufgabe sehr
> > einfach, anderenfalls nicht.
>
> Wir hatten sogar beides.
>
> Kann man sagen: Da die Menge der Treppenfunktionen auf
> [a,b] einen Vektorraum bildet, sind ja die Folgenglieder
> von [mm](\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN}[/mm] ebenfalls
> Treppenfunktionen und weil [mm](\summe_{i=1}^{n}g_i)_{n\in\IN}[/mm]
> gleichmäßig gegen f konvergiert, muss f ja eine
> Regelfunktion sein.
>
Jedes [mm] g_i [/mm] ist eine Treppenfunktion. Ist [mm] s_n:=g_1+g_2+...+g_n, [/mm] so ist [mm] s_n [/mm] eine Treppenfunktion.
[mm] (s_n) [/mm] konv. auf [a,b] glm. gegen f, also ist f eine Treppenfunktion.
FRED
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