Regelfunktion, Integral, etc. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 09.05.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktion:
$f(x):= [mm] \left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{n}\text{\quad falls }x\in\mathbb{Q}\text{ mit teilerfremden Darstellung }x=\dfrac{m}{n}\\0\quad\text{sonst}\end{array}\right.$ [/mm] |
Hallo.
Ich bin nun schon so weit, dass ich weiß, dass es sich um eine Regelfunktion handelt.
Nun noch zwei kurze Fragen:
1) Geh ich zu recht davon aus, dass [mm] $\int_{0}^1f(x)$ [/mm] = 0, da f an jeder Stelle x den Limes 0 hat?
2) Handelt es sich vllt sogar um eine Treppenfunktion?
Danke und Gruß
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
> Man betrachte die Funktion:
> [mm]f(x):= \left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{n}\text{\quad falls }x\in\mathbb{Q}\text{ mit teilerfremden Darstellung }x=\dfrac{m}{n}\\0\quad\text{sonst}\end{array}\right.[/mm]
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> Hallo.
> Ich bin nun schon so weit, dass ich weiß, dass es sich um
> eine Regelfunktion handelt.
> Nun noch zwei kurze Fragen:
> 1) Geh ich zu recht davon aus, dass [mm]\int_{0}^1f(x)[/mm] = 0, da
> f an jeder Stelle x den Limes 0 hat?
Nein, denn 1. hat f nicht an jeder Stelle den Limes x f(1/2)=1/2 und nicht null
und 2. auch eine punktweise gegen 0 konvergierende Funktionenfolge kann ein von 0 unterschiedliches Grenzintegral haben.
hat in keinem Punkt eine links oder rechtsseitigen Grenzwert - also sicher keine Regelfunktion.......
Aber das Integral ist trotzdem null, da die Menge der Punkte von von 0 verschiedenen Funktionswerten abzählbar ist und daher das Lebesgue Maß 0 hat.
> 2) Handelt es sich vllt sogar um eine Treppenfunktion?
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> Danke und Gruß
> Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 09.05.2007 | | Autor: | peter_d |
> hat in keinem Punkt eine links oder rechtsseitigen Grenzwert - also sicher
> keine Regelfunktion.......
Ich seh das etwas anders, wenn ich falsch liege, bitte korriegieren:
f hat an jeder Stelle x den Grenzwert 0, denn zu [mm] $\varepsilon$>0 [/mm] gibt es nämlich nur endlich viele rationale Zahlen [mm] $\dfrac{m}{n}$ [/mm] mit [mm] $\dfrac{1}{n}>\varepsilon$ [/mm] => f ist eine Regelfunktion
?? ICh bin der Meinung, das is so richtig.
Bleibt dann noch die Frage, ob f eine Treppenfunktion ist und ob das Integral von 0 bis 1 0 ist (ohne Lebesque, den kenn ich (noch) nicht...).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
du hast recht
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